留數(shù)在物理學(xué)中的應(yīng)用-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 （1）其中C為鄰域內(nèi)的任意一條簡(jiǎn)單閉合曲線.但是如果是的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，且周線C 全在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)，并包圍點(diǎn)，則積分 的值，一般說(shuō)來(lái)，不再為零并且利用洛朗級(jí)數(shù)公式很容易計(jì)算出它的值來(lái) ＝ （2）我們把（留下的）這個(gè)積分值除以2ｉ后所得的數(shù)為在的留數(shù),記作Res，即 Res= （3）從而有 Res= （4）此處的是函數(shù)通過(guò)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的第負(fù)一次項(xiàng)系數(shù). 留數(shù)定理定理一 設(shè)函數(shù)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇，...，那么 =2 （5）利用這個(gè)定理，求沿封閉曲線C的積分，就轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C中的各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù).定理二 如果函數(shù)在擴(kuò)充復(fù)平面內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)，那么在所有各奇點(diǎn)（包括點(diǎn)）的留數(shù)的總和必等于零. 留數(shù)求法及一般規(guī)則I 如果是的可去奇點(diǎn)，那么 Res=0，以為此時(shí)在的展開(kāi)式是泰勒展開(kāi)式，所以=0 II 如果是本性奇點(diǎn)，那就往往只能把在展開(kāi)成洛朗級(jí)數(shù)的方法來(lái)求. III 在是極點(diǎn)情形，有以下三種特殊情況下的規(guī)則 規(guī)則一 如果為的一級(jí)極點(diǎn)，那么 Res=（z） （6） 規(guī)則二 如果為的m級(jí)極點(diǎn)，那么 Res= （7） 規(guī)則三 設(shè)=，P(z)及Q(z)在都解析，如果P(z)≠0，Q（z）=0，Q(z)≠0，那么為的一級(jí)極點(diǎn)，而 Res= （8） 規(guī)則四 （9） 留數(shù)定理的拓展對(duì)于復(fù)變函數(shù)積分，無(wú)論留數(shù)定理還是柯西定理、柯西公式及高階導(dǎo)數(shù)公式都只能處理解析函數(shù)沿內(nèi)部有有限個(gè)極點(diǎn)的閉曲線的復(fù)積分問(wèn)題，對(duì)于積分區(qū)線上有極點(diǎn)的情況沒(méi)有提及． 如果用極限的方法，不但相當(dāng)復(fù)雜且不能保證最終求出． 當(dāng)被積函數(shù)滿足一定的條件，即區(qū)域D 的境界線為C，函數(shù) 在D 內(nèi)解析且在C 上連續(xù)并滿足H246。本文介紹留數(shù)概念，留數(shù)定理，對(duì)留數(shù)定理進(jìn)行一定的拓展，以及留數(shù)理論在電磁學(xué)中安培環(huán)路定理、高斯定理公式推導(dǎo)，以及在阻尼振動(dòng)、熱傳導(dǎo)、光的衍射等問(wèn)題中積分計(jì)算上的的一些應(yīng)用，大大簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。因此方程(20)式可以看作磁學(xué)中的磁高斯定理，它表示通過(guò)環(huán)路C的總“二維磁通量”為零 這表明B線應(yīng)該是閉合環(huán)線，這也就是我們通常所說(shuō)的磁場(chǎng)為渦旋場(chǎng)。解析延拓主要有兩種方法:(1 ) 將原來(lái)的積分區(qū)間變換為新復(fù)數(shù)平面的一條閉合回路(+) , (2) 選擇另一段積分與原積分區(qū)間, 構(gòu)成復(fù)數(shù)平面的閉合回路(+) , 如圖l所示 圖3 積分區(qū)間變換圖即： （28）利用留數(shù)定理求出(1) 式左邊的值及右邊的第二項(xiàng)復(fù)變函數(shù)積分, ,利用留數(shù)定理進(jìn)行求解,問(wèn)題如下:如圖4 所示, 一無(wú)限長(zhǎng)載流直導(dǎo)線與一半徑為R 的圓電流處于同一平面內(nèi), 它們的電流強(qiáng)度分別為與 , 直導(dǎo)線與圓心相距為a , 求作用在圓電流上
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