【正文】 相和相等的振幅在兩個相互垂直的平面內運 動，它的傳播速度 c的方向與兩個向量的方向垂直。 第一節(jié) 經典物理學與舊量子論的局限 167。 ③單位時間內光電子的數目即光電流的大小與光子的強度成正比。 h?② 光子不但具有能量 E0， 而且還具有質量 m。 第一章 量子力學基礎 3. 光子說對光電效應實驗現(xiàn)象的解釋 ① 當光照射到金屬表面時 ， 光子的能量 被電子吸收 ， 能量的分配 符合 Einstein光電效應方程： h?2012 m V h W??? ② 入射 光子的頻率越大，電子逸出金屬表面后的初動能 越大， 且隨頻率直線增加。 光 光在傳播過程中表現(xiàn)為波動性，光不是經典概念中的波，但具有經典概念中波的某些性質 二象性表達 E h?P ?h粒子性 波動性 可用 E、 P、 ν 和 λ 表達 第一章 量子力學基礎 167。 ?? mhPh ???hP?de Brolie波：實物粒子具有的波，或稱物質波。這表明，動量為 P的自由電子的衍射行為與波長為 λ 的平面波的衍射行為相同。 ：波動性粒子在 x， y， z方向坐標和動量的不確定程度 的乘積關系 以 Δx和 ΔPx分別表示 微觀粒子的橫坐標和動量在橫坐標方向上的分量的 測定值與平均值之差，則兩者之間的關系為： ????? yPy????? zPz同理： ????? xPx hPxx ????hPy y ????hPz z ????第一章 量子力學基礎 3. 測不準關系可用于檢驗經典力學適用程度 經典場合： h是極小的數值，約為 0，測不準關系不起作用， 波動性不顯著。 例如：一個 2電子體系，粒子 1和粒子 2的坐標分別為 (x1, y1, z1)和 (x2, y2, z2)， 則描述體系狀態(tài)的波函數 Ψ=Ψ(x1, y1, z1, x2, y2, z2, t) 第一章 量子力學基礎 1. 波函數 頻率為 ν， 波長為 λ的沿著 x方向傳播的平面波可用下式表示 ( , ) 2 xx t A C o s t? ? ???????? ????????既然動量為 P的自由電子的衍射行為與波長為 的光的衍射行為相似，將 和 代入上式所得之波就可用來描述自由電子的行為： hPhP??Eh??? ?2( , )x t A C o s x P E th?? ???????? 這就是 de Brolie波或物質波。 (3) 幾率密度： 在時間 t及空間某點 (x， y， z)單位體積內出現(xiàn)粒子的幾率 d?2( , , , )( , , , ) ( , , , )d w x y z tw x y z t K x y z td ????w(x， y， z， t)稱為幾率密度 第一章 量子力學基礎 3. 歸一化波函數 將波函數乘上一個常數因子并不改變它所描述的狀態(tài) 。 K歸一化波函數 歸一化常數 Φ絕對值平方等于幾率密度 第一章 量子力學基礎 4. 波函數的性質和必須滿足的標準化條件 (1) Ψ(x， y， z， t)是微觀粒子運動規(guī)律的統(tǒng)計結果，其自身的物理意義不明顯，但其平方則代表幾率密度； (2) KΨ(x， y， z， t)并不改變 Ψ所描述的狀態(tài)，即與 Ψ所描述狀態(tài)相同。 ttqq ?? ? ,? 若用 表示某一算符， 表示被施以運算的對象，記為 ，稱為算符 作用于 。s i ns i n 。 微觀體系中任何一個力學量對應的算符都是線性厄米算符 —— 量子力學基本假定之二。 ? ?B?,A?? ? ? ? 算符的對易關系式；—常數）(A?B?B?A?B?,A? c???? ? ? ? 可相互對易；則—若 B?,A?0A?B?B?A?B?,A? ???? ? ? ? 不可相互對易則—若 B?,A?0A?B?B?A?B?,A? ???? ? 0)(?)(?,? ????? ?ixuPxxxuPxP xxx例如： 所以 不能相互對易。 0)( )( 2*1 ??? dxxΨxΨ第一章 量子力學基礎 本征函數正交性定理 Ⅰ ： 屬于同一厄米算符 的不同本征值 am和 an的本征函數 Ψm和 Ψn彼此正交。 A?A?第一章 量子力學基礎 2. 本征函數的完備系列 A? Ψn1= aΨn1 A? Ψn2= aΨn2 A? Ψnf= aΨnf A? Ψn= aΨn， 其中 Ψn=c1Ψn1+c2Ψn2+…+ cfΨnf 若： ，則函數 Ψ1(x)和 Ψ2(x)彼此正交。 微觀粒子的運動狀態(tài)要用波函數 Ψ(x， y， z， t)來描述，波函數 Ψ(x， y，z， t)隨時間的變化要由 Schr246。 ( , , , ) ( , , , ) ( , , ) ( , , )x y z t x y z t x y z x y z? ? ? ???? ? ?因此，定態(tài)粒子的狀態(tài)可用不顯含 t 的函數 ψ (x， y， z)來描寫， ψ(x， y， z)—— 定態(tài)波函數，簡稱波函數。 或 ),(),(H? zyxEzyx ?? ?第一章 量子力學基礎 Schr246。 (3) Laplace算符： 一維箱中粒子的 Schr246。 第一章 量子力學基礎 四、態(tài)疊加原理 假設 Ⅳ ：體系屬于力學量 M的本征態(tài)的任意線性組合 也是體 系的一個可能狀態(tài) . Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+…+ Ψn = ??n1iii?c說明 ： (1) ci大小反應 ψi對 ψ的性質的貢獻大小。 而 M的平均值： NNmNmNmNmM nn332211 ...... ?????其中 2ii cNN ?第一章 量子力學基礎 所以： ???????n1ii2in2n222121 ...... mcmcmcmcM(2) 非本征態(tài)力學量的平均值： 若 ψ1, ψ2, …… , ψn不是該體系的本征函數，即對應力學量 M無本征值，則當體系處于 ψ所描述的狀態(tài)時，力學量 M的平均值仍可表示為： * ?MMd? ? ?? ? ? ?但 ???n1ii2i mcM第一章 量子力學基礎 2. 力學量同時具有確定值的條件定理 不同力學量同時具有確定值的充分必要條件：這兩個力學量算符可相互對易。 (2) 光譜的精細結構 說明電子的運動形式 描述電子運動狀態(tài)的完全波函數是 軌道運動 自旋運動 空間坐標的函數 自旋坐標的函數 第一章 量子力學基礎 2. Pauli原理的量子力學表述 若對描述多電子體系軌道運動和自旋運動的全波函數中任意 2個電子的全部坐標進行交換，一定得反對稱波函數。對電子而言， ψ是反對稱波函數。 Bose子 —— 光子、聲子、氘 (2H)和 α粒子 (42He)等自旋量子數 s為整數的粒 子。 5 箱中粒子的 Schr246。39。 39。 39。經典力學中能量是連續(xù)的。 第一章 量子力學基礎 (3) 宏觀物體，按經典力學模型，箱中粒子在箱內所有位置出現(xiàn)的幾率相 同，粒子有經典的運動軌跡； 微觀粒子在無力場作用下，在箱中不同位置出現(xiàn)的幾率不同，幾率密度分布呈現(xiàn)波動性，服從波動方程，無經典的運動軌跡。 三維箱中粒子的 Schr246。dinger方程 2 11222() ( ) 0xmEdx xdx? ???2 22222() ( ) 0ymEdy ydy? ???2 3322() 2 ( ) 0zdz mE zdz? ???其解為 第一章 量子力學基礎 221 22( ) , , 1 , 2 , 。 ,x y zn n n, ( , , )x y zn n n x y z?,x y zn n nE如果箱子是立方的，即 a = b = c， 則其解為 , 38( , , )x y zya zn n nnynx nzx y z S in S in S ina a aa?? ?? ???? ?????? ???? ???? ??? ?2 2 2 2, 28x y zn n n x y zhE n n nma? ? ?第一章 量子力學基礎 立方箱中，每一組 就確定一個狀態(tài)，與長方箱不同的是，不同的 組合，只要保持 值相等，就具有相同的能量 。 11 2 12 1 21 1, ? ? ? 和 ? ?22 2 221 1 2 8hma??2268hma第一章 量子力學基礎 例題 1： 求一維箱中粒子處于狀態(tài) 時，粒子的能量 E、 坐標 x、 動量 Px及動量平方 Px2有無確定值。 第一章 量子力學基礎 (2) 坐標算符就是其自身： ，將其作用到 ψ2(x)上 x?x?)(( x )x? 22 xx ?? ?所以坐標無確定值，需求其平均值： adxxanxqdxxanaxxanadxxxxaaa2s i n2 s i n2s i n2)(x?)(02002*2????????????????????????????????22 2 2?P ( ) C o sxxxia a a??? ? ? ? ?(3) 將動量算符 作用到 ψ2(x)上，得 dxdix ???P?第一章 量子力學基礎 220002 2 2 2( ) ( )2 2 2 2 0aaxad x d xP x i x dx Si n i Si n dxdx a a dx a axxi Si n C os dxa a a a????? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ????????因此動量 Px不具有確定值。s i nc o sc o