方案高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第七章不等式、推理與證明第二節(jié)一元二次不等式及其解法-預(yù)覽頁
【正文】 結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象求得不等式的解集． ?1．解關(guān)于 x的不等式 ax2－ 2≥2x－ ax(a－ 2)． 解析： 原不等式變形為 ax2＋ ( a － 2) x － 2 ≥ 0 ， ① a ＝ 0 時(shí)， x ≤ － 1 ； ② a ≠ 0 時(shí) ，不等式即為 ( ax － 2) ( x ＋ 1) ≥ 0 ， ( * ) 當(dāng) a 0 時(shí)，2a － 1. ∴ 由 ( *) 式得 x ≥2a或 x ≤ － 1. 當(dāng)－ 2 a 0 時(shí)，由于2a－ ( － 1) ＝a ＋ 2a0 ∴2a － 1 ，由 ( *) 式得2a≤ x ≤ － 1. 綜上所述， a ＝ 0 時(shí)，解集為 { x | x ≤ － 1} ； a 0 時(shí)，解集為 { x | x ≥2a或 x ≤ － 1} ； － 2 a 0 時(shí)，解集為 { x |2a≤ x ≤ － 1}. ? 已知 f(x)＝ x2－ 2ax＋ 2(a∈ R)， 當(dāng) x∈ [－ 1， ＋ ∞)時(shí) ， f(x)≥a恒成立 ， 求 a的取值范圍 ． ?【 思路導(dǎo)引 】 可從函數(shù)的角度考慮 ， 轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題 ， 也可從方程的解角度考慮 ，轉(zhuǎn)化為對方程根的討論 ． 【解析】 法一： f ( x ) ＝ ( x － a )2＋ 2 － a2，此二次函數(shù)圖象的對稱軸為 x ＝ a ， ① 當(dāng) a ∈ ( － ∞ ，－ 1) 時(shí)， f ( x ) 在 [ － 1 ，＋ ∞ ) 上單調(diào)遞增， f ( x )m in＝ f ( － 1) ＝ 2 a ＋ 3. 要使 f ( x ) ≥ a 恒成立，只需 f ( x )m in≥ a ，即 2 a ＋ 3 ≥ a ， 解得－ 3 ≤ a － 1 ； ② 當(dāng) a ∈ [ － 1 ，＋ ∞ ) 時(shí)， f ( x )m in＝ f ( a ) ＝ 2 － a2， 由 2 － a2≥ a ，解得－ 1 ≤ a ≤ 1. 綜上所述，所求 a 的取值范圍為－ 3 ≤ a ≤ 1. 法二： 令 g ( x ) ＝ x2－ 2 ax ＋ 2 － a ，由已知， 得 x2－ 2 ax ＋ 2 － a ≥ 0 在 [ － 1 ，＋ ∞ ) 上恒成立， 即 Δ ＝ 4 a2－ 4( 2 － a ) ≤ 0 或????? Δ 0 ，a － 1 ，g ? － 1 ? ≥ 0. 解得－ 3 ≤ a ≤ 1. 【方法探究】 不等式 ax2＋ bx ＋ c 0( a ≠ 0) 在 [ m ， n ] 上恒成立，一般按軸分類，即－b2 a相對 [ m ， n ] 分三類來完成．更一般的不等式恒成立，通常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值來解決．如 f ( x ) ≤ a 恒成立 ? f ( x )m ax≤ a . ?2．當(dāng) a為何值時(shí)，不等式 (a2－ 1)x2－ (a－ 1)x－ 10的解是全體實(shí)數(shù)． 解析： ① 當(dāng) a2－ 1 ≠ 0 ，即 a ≠ 177。 {100 ＋25 ? 1 － k2?k－ k 陜西高考 〈 理 〉 )若不等式 x2－ x≤0的解集為 M， 函數(shù) f(x)＝ ln(1－ |x|)的定義域?yàn)?N，則 M∩N為 ( ) ?A． [0,1) B． (0,1) ?C． [0,1] D． (－ 1,0) ?解析： 不等式 x2－ x≤0的解集 M＝ {x|0≤x≤1}，f(x)＝ ln(1－ |x|)的定義域 N＝ {x|－ 1x1}， ?則 M∩N＝ {x|0≤x1}． ?答案： A 2 ． ( 201 11
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