重慶八中初中畢業(yè)暨高中招生全真模擬試卷(三)含答案-預(yù)覽頁
【正文】 重慶市 2022 年初中畢業(yè)暨高中招生考試（全真模擬） 數(shù)學(xué)試題 第 10 頁 共 ８ 頁 26．如圖，拋物線 y=－ x2+2x+3 與 x 軸交于 A， B 兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) C，點(diǎn) D， C 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，直線 AD 與 y 軸相交于點(diǎn) E． （ 1）求直線 AD 的解析式； （ 2）如圖 1，直線 AD 上方的拋物線上有一點(diǎn) F，過點(diǎn) F 作 FG⊥ AD 于點(diǎn) G，作 FH 平行于 x 軸交直線 AD 于點(diǎn) H，求 △ FGH 周長的最大值； （ 3）如圖 2，點(diǎn) M 是拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn) P 是 y 軸上一動點(diǎn)，點(diǎn) Q 是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，四邊形 APQM 是以 PM 為對角線的平行四邊形，點(diǎn) Q′與點(diǎn) Q 關(guān)于直線 AM 對稱，連接 M Q′， P Q′．當(dāng) △PM Q′與 □ APQM 重合部分的面積是 □ APQM 面積的 14時，求 □ APQM 面積． 圖 1 圖 2 備用圖 解：（ 1）令 － x2+2x+3=0，解得 x1=－ 1， x2=3， ∴ A（－ 1， 0）， C（ 0， 3）， ∵ 點(diǎn) D， C 關(guān)于拋物線的對稱軸對稱， ∴ D（ 2， 3）， ∴ 直線 AD 的解析式為： y=x+1； （ 2）設(shè)點(diǎn) F（ x，－ x2+2x+3）， ∵ FH∥ x 軸， ∴ H（－ x2+2x+2，－ x2+2x+3）， ∴ FH=－ x2+2x+2－ x=－（ x－ 12） 2+94， ∴ FH 的最大值為 94， 易得 △ FHG 為等腰直角 △ ，故 △ FGH 周長的最大值為 9+9 24 ； （ 3） ① 當(dāng) P 點(diǎn)在 AM 下方時， 如圖， 設(shè) P（ 0， p）， 易知 M（ 1， 4），從 而 Q（ 2， 4+p）， ∵ △ PM Q′與 □ APQM 重合部分的面積是 □ APQM 面積的 14， ∴ PQ′必過 AM 中點(diǎn) N（ 0， 2），∴ 可知 Q′在 y 軸上，易知 ′的中點(diǎn) T 的橫坐標(biāo)為 1，而點(diǎn) T 必在直線 AM 上，故 T（ 1， 4），從而 T、 M 重合，故 □ APQM 是矩形， ∵易得直線 AM 解析式為： y=2x+2，而 MQ⊥ AM，過 M，∴直線 ′： y=－ 12x+92， ∴ 4+p=－ 12 2+92，∴ p=－ 12，（注：此處也可用 AM2+AP2=MP2 得出 p=－ 12），∴ PN=52， ∴ S□ APQM=2S△ AMP=4S△ ANP=4 12 PN AO=4 12 52 1=5； 重慶市 2022 年初中畢業(yè)暨高中招生考試（全真模擬） 數(shù)學(xué)試題 第 11 頁 共 ８ 頁 ② 當(dāng) P 點(diǎn)在 AM 上 方時， 如圖， 設(shè) P（ 0， p）， 易知 M（ 1， 4），從而 Q（ 2， 4+p）， ∵ △ PM Q′與 □ APQM 重合部分的面積是 □ APQM 面積的 14， ∴ PQ′必過 QM 中點(diǎn) R（ 32， 4+p2）， 易得直線 ′： y=－ 12x+p+5， 聯(lián)立???y=2x+2y=－ 12x+p+5 解得： x=6+2p5 ， y=22+4p5 ，∴ H（6+2p5 ，22+4p5 ）， ∵ H 為 ′中點(diǎn)，故易得 Q′（ 2+4p5 ， 24+3p5 ）， 由 P（ 0， p） 、 R（ 32， 4+p2） 易得直線 PR 解析式為： y=（ 83－ p3） x+p， 將 Q′（ 2+4p5 ， 24+3p5 ）代入到 y=（ 83－ p3） x+p 得： 24+3p5 =（ 83－ p3） 2+4p5 +p， 整理得： p2－ 9p+14=0，解得 p1=7， p2=2（ 與 AM 中點(diǎn) N 重合，舍去 ） ， ∴ P（ 0， 7），∴ PN=5， ∴ S□ APQM=2S△ AMP=212PN∣ xM － xA∣ =21252=10． 綜上所述， □ APQM 面積 為 5 或 10． 重慶市 2022 年初中畢業(yè)暨高中招生考試（全真模擬） 數(shù)學(xué)試題 第 12 頁 共 ８ 頁
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