【正文】 )()()0,(0 ?????ttuxfxu??????????????????lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000???ESP400 ??2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 35 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 4/lx04/l2/l0P 0P系統(tǒng)的自由振動是無窮多個主振動的疊加： ?????1)s i n(),(iiiii tatxu ?????? ???????????? ??10201 s i nc oss i niii tlaiBtlaiBlxi ???),2,1(,0 ??? ilaii ??,. ..)2,1(,s in)( ?? il xicx ii ??2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 36 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 4/lx04/l2/l0P 0P??? ???????????? ??10201 s i nc oss i n),(iii tlaiBtlaiBlxitxu ???初始條件： 0)()()0,(0 ?????ttuxfxu應(yīng)用位移初始條件： ????11 s i n)(ii lxiBxf ?兩邊乘 )( xS j?? 并沿桿長積分，然后利用正交性條件： ?? li dxl xixflB 01 s i n)(2 ?應(yīng)用速度初始條件： 02 ?iB2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 37 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 4/lx04/l2/l0P 0P?? li dxl xixflB 01 s i n)(2 ???????????????????lxlxllxlxllxxxf43 )(434 )2(40 )(000???ESP4 00 ??02 ?iB????????????? ?lll lldxlxixldxlxixldxlxixl4/34/04/34/0s i n)( s i n)2(s i n2????4/)2(220 )1( ??? iESilP?, . . . )10,6,2( ?i2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 38 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 4/lx04/l2/l0P 0P??? ???????????? ??10201 s i nc oss i n),(iii tlaiBtlaiBlxitxu ???02 ?iB, . .. )10,6,2()1( 4/)2(2201??? ?iESilPB ii?系統(tǒng)響應(yīng)： ??????,...10,6,2024/)2(20 c oss i n)1(iitlailxiiESlP ???2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 39 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 思考題： 有一根以常速度 v 沿 x 軸運動的桿。 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 lx0k2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 22 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 解： 邊界條件： lx0k0),0( ?tu ),(),( tlxuEStlku????)()(),( tqxtxu ??0201 c oss in)( axcaxcx ??? ??0)0( ?? ),()( tlxESlk ???? ??得出： 02 ?c000c oss i n a laESa lk ??? ??常數(shù)??? klESal altg00/)/(?? 頻率方程 振型函數(shù)： xacx ii0s i n)( ?? ?2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 23 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 例： 一均質(zhì)桿，左端固定，右端與一集中質(zhì)量 M固結(jié)。 （ 3）軸的扭轉(zhuǎn)振動 ),(1222022txpIxatp??? ??????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 13 ? 固有頻率和模態(tài)函數(shù) 以等直桿的縱向振動為對象 方程： ),(1222022 txpSx uat u ???????縱向自由振動方程： 222022xuatu??????/0 Ea ?假設(shè)桿的各點作同步運動，即設(shè) ： )()(),( tqxtxu ??q(t) 表示運動規(guī)律的時間函數(shù) )(x? 桿上距原點 x 處的截面的縱向振動振幅 代入，得： ??? ????? )( )()( )( 20 xxatq tq??),( txplx0連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 14 ??? ??? )( )()( )(39。 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 3 教學(xué)內(nèi)容 ? 一維波動方程 ? 梁的彎曲振動 ? 集中質(zhì)量法 ? 假設(shè)模態(tài)法 ? 模態(tài)綜合法 ? 有限元法 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 4 （ 1）本章討論的連續(xù)體都假定為線性彈性體，即在彈性范圍內(nèi)服從虎克定律。連續(xù)系統(tǒng)的振動 第六章 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 2 ? 實際的振動系統(tǒng)都是連續(xù)體，它們具有連續(xù)分布的質(zhì)量與彈性，因而又稱 連續(xù)系統(tǒng) 或 分布參數(shù)系統(tǒng)。 ? 在物理本質(zhì)上，連續(xù)體系統(tǒng)和多自由度系統(tǒng)沒有什么差別， 連續(xù)體振動的基本概念與分析方法與有限多自由度系統(tǒng)是完全類似的。 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 5 ? 一維波動方程 ? 動力學(xué)方程 ? 固有頻率和模態(tài)函數(shù) ? 主振型的正交性 ? 桿的縱向強迫振動 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 6 ? 動力學(xué)方程 （ 1）桿的縱向振動 討論等截面細直桿的縱向振動 桿長 l 假定振動過程中各橫截面仍保持為平面 截面積 S ?材料密度 彈性模量 E 忽略由縱向振動引起的橫向變形 ),( txplx0),( txp 單位長度桿上分布的縱向作用力 桿參數(shù)： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 7 ),( txu 桿上距原點 x 處截面在時刻 t 的縱向位移 微段分析 ),( txplx0x dxdxtxp ),(dxudxxuu ???22xuSdx???dxxFF ???F微段應(yīng)變： xudxudxxuu????????)(?橫截面上的內(nèi)力： xuESESF???? ?由達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx ),()(22 ?????????連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 8 ),( txu桿上距原點 x 處截面在時刻 t 的縱向位移 ),( txplx0x dx橫截面上的內(nèi)力： xuESESF???? ?由達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFFtuSdx ),()(22 ?????????),()(22 txpxuESxt uS ?????????代入，得： 桿的縱向強迫振動方程 對于等直桿， ES 為常數(shù) ),(1222022 txpSxuatu????????/0 Ea ? 彈性縱波沿桿的縱向傳播速度 有： 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 9 （ 2）弦的橫向振動 弦兩端固定，以張力 F 拉緊 在分布力作用下作橫向振動 yxFF ),( txpx dx),( txyo建立坐標(biāo)系 xoy),( txy 弦上距原點 x 處的橫截面在 t 時刻的橫向位移 ),( txp 單位長度弦上分布的作用力 ? 單位長度弦的質(zhì)量 微段受力情況 達朗貝爾原理： dxtxpFdxxFtydx ),()(22 ???????? ????弦的橫向強迫振動方程 ?/0 Ea ?令： xy????并考慮到： ),(1222022txpx yat y ???????得： 彈性橫波的縱向傳播速度 0apdx22tydx????dxx??? ??dx FF連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 10 （ 3）軸的扭轉(zhuǎn)振動 細長圓截面等直桿在分布扭矩作用下作扭轉(zhuǎn)振動 假定振動過程中各橫截面仍保持為平面 截面的極慣性矩 Ip ?材料密度 切變模量 G ),( txp ：單位長度桿上分布的外力偶矩 桿參數(shù)： ),( tx? 為桿上距離原點 x 處的截面在時刻 t 的角位移 截面處的扭矩為 T 微段 dx 受力 ),( txpx0x dxpdxT dxxTT ???22tdxI p ?? ??dxIp? ：微段繞軸線的轉(zhuǎn)動慣量 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 11 代入，得： 微段 dx 受力 ),( txpx0x dxpdxT dxxTT ???22tdxI p ?? ??達朗貝爾原理： pdxTdxxTTtdxI p ???????? )(22 ??材料力學(xué)： xGIT p ??? ?即： ),(22txpxTtI p ?????? ??),()(22txpxGIxtI pp ???????? ???圓截面桿的扭轉(zhuǎn)振動強迫振動方程 對于等直桿，抗扭轉(zhuǎn)剛度 GIp 為常數(shù) ),(1222022txpIxatp??? ??????有： ?Ga ?0剪切彈性波的縱向傳播速度 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 一維波動方程 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 12 小結(jié)： （ 1）桿的縱向振動 ),(1222022 txpSxuatu???????（ 2）弦的橫向振動 ),(1222022txpx yat y ???????雖然它們在運動表現(xiàn)形式上并不相同，但它們的運動微分方程是類同的，都屬于 一維波動方程 。 推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程。假定在桿上作用有兩個集中力，如圖所示。 提示： 2022年 2月 1日 《振動力學(xué)》 40 連續(xù)系統(tǒng)的振動 / 桿的縱向振動 右半部分為一端固定、另一端自由的桿。* tSd ??? s in2??設(shè)解為： ????1* )()(iii tqxu ? )(xi?為歸一化的正則模態(tài) ,...5,3,1,2c o s2)( ?? ixlilxi ??代入方程，得： tSdE S qqSiiiii ?????? s i n)(2,...5,3,139。 ???????)(xj?用 乘上式，并沿桿長積分： ?? ?? ????ljiljiiljii dxtSddxESqdxSq 021 039