[經(jīng)濟(jì)學(xué)]北大應(yīng)用多元統(tǒng)計(jì)分析課件第三章-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 Zα～ Np(0,Σ)(α=1,…, n)相互獨(dú)立 .則 .)(D)(E)(E1 1????? ? ?? ?nZZZWn n? ????北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 22 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Hotelling T 2分布的性質(zhì) 性質(zhì) 1 設(shè) X(α) ～ Np(μ,Σ) (α＝ 1,…, n) 是來(lái)自 p元總體 Np(μ,Σ)的隨機(jī)樣本 , X和 A分別為總體Np(μ,Σ)的樣本均值向量和離差陣 ,則統(tǒng)計(jì)量 事實(shí)上 ,因 )1,(~)()()())(1(2112????????????npTXSXnXAXnnT????).,0(~)(),1,(~ ??? pp NXnnNX ?? 則北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 25 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Hotelling T 2分布的性質(zhì) 一般地： (性質(zhì) 2的嚴(yán)格證明見(jiàn)參考文獻(xiàn) [2]) 其中 ξ＝ X′Σ1 X～ χ2(p,δ) (δ＝ 0)， 還可以證明 χ2(np+1),且 ξ與 η獨(dú)立 . 北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 29 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Hotelling T 2分布的性質(zhì) 一元統(tǒng)計(jì)中 (p=1時(shí) ),t 統(tǒng)計(jì)量與參數(shù) σ2無(wú)關(guān) .類(lèi)似地有以下性質(zhì) . 性質(zhì) 4 T2統(tǒng)計(jì)量的分布只與 p,n有關(guān) ,而與 Σ無(wú)關(guān) . 即 則相互獨(dú)立和又設(shè)獨(dú)立相互和設(shè)。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wilks Λ分布的定義 一元統(tǒng)計(jì)中 ,設(shè) ξ～ χ2(m),η～ χ2(n), 且相互獨(dú)立 ,則 在總體 N(μ1,σ2(x))和 N(μ2,σ2(y))方差齊性檢驗(yàn)中 ,設(shè)X(i)(i=1,…, m)為來(lái)自總體 N(μ1,σ2(x))的樣本 , Y (j) (j=1 ,…, n)為來(lái)自總體 N(μ2,σ2(y))的樣本 .取 σ2(x)和 σ2(y)的估計(jì)量 (樣本方差 )分別為 ??????????njjymiix YYnsXXms12)(212)(2 ,)(11,)(11).,(~//nmFnmF???北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 34 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wilks Λ統(tǒng)計(jì)量的 性質(zhì) 在實(shí)際應(yīng)用中 ,常把 Λ統(tǒng)計(jì)量化為 T2統(tǒng)計(jì)量 ,進(jìn)而化為 F統(tǒng)計(jì)量 ,利用我們熟悉的 F統(tǒng)計(jì)量來(lái)解決多元統(tǒng)計(jì)分析中有關(guān)檢驗(yàn)的問(wèn)題 . 結(jié)論 1 當(dāng) n2＝ 1時(shí) ,設(shè) n1=n＞ p,則 注意 :在這里記號(hào) Λ(p,n,1)有兩重含義 :①統(tǒng)計(jì)量 (也是隨機(jī)變量 )。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wilks Λ統(tǒng)計(jì)量的 性質(zhì) 利用分塊矩陣求行列式的公式 (見(jiàn)附錄的推論 ): ,)1()1(1 ?? ??? nn XXWW又因||1)1(11)1()1(1)1(11)1(1)1()1(1WXXWXWXWpXXWnnnnnn??????????????????2112212112212111212211 AAAAAAAAAAA?? ????北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 41 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 幾個(gè)重要統(tǒng)計(jì)量的分布 Wilks Λ統(tǒng)計(jì)量的 性質(zhì) 結(jié)論 4 當(dāng) p=2時(shí)，則 結(jié)論 5 當(dāng) n2＞ 2,p＞ 2時(shí) ,可用 χ2統(tǒng)計(jì)量或 F統(tǒng)計(jì)量近似 . Box(1949) 設(shè) Λ～ Λ(p, n, n2),則當(dāng) n→∞ 時(shí)， rlnΛ～ χ2(p n2 ), 其中 r = n(p n2+1)/2. (二個(gè)重要結(jié)論不要求 ) 北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 44 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 單總體均值向量的檢驗(yàn) 設(shè)總體 X～ Np(μ,Σ),隨機(jī)樣本 X(α) (α＝1,…, n).檢驗(yàn) H0: μ＝ μ0 (μ0為已知向量 ),H1: μ≠μ0 1. 當(dāng) Σ＝ Σ0已知時(shí)均值向量的檢驗(yàn) 利用二次型分布的結(jié)論 (“ 1”)知 ).,0(~)(),1,(~ 00 ??? pp NXnnNX ??因北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 47 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 單總體均值向量的檢驗(yàn) p值的直觀含義可以這樣看 ,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 T20的大小反映 X與 μ0的偏差大小 ,當(dāng) H0成立時(shí) T20 值應(yīng)較小 .現(xiàn)在由觀測(cè)數(shù)據(jù)計(jì)算 T20值為 d； 當(dāng) H0 成立時(shí)統(tǒng)計(jì)量 T20 ～ χ2(p),由 χ2分布可以計(jì)算該統(tǒng)計(jì)量 ≥d的概率值 (即 p值 ). 比如 p值 =＜ α=,表示在 μ＝ μ0的假設(shè)下，觀測(cè)數(shù)據(jù)中極少會(huì)出現(xiàn) T20的值大于等于 d值的情況，故在 定原假設(shè)，即認(rèn)為 μ與 μ0 有顯著地差異 . 北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 51 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 單總體均值向量的檢驗(yàn) 由定義 利用 T 2與 F分布的關(guān)系，檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量取為 北大 數(shù)學(xué)學(xué)院 55 第三章 多元正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) 167。 單總體均值向量的檢驗(yàn) —例 對(duì)給定 α=,按傳統(tǒng)的檢驗(yàn)方法 ,可查 F分布臨界值表得 λα=F3,17()=,比較由樣本值計(jì)算得到的 F值及臨界值 ,因 F值 =＜ ,故 H0相容 . 利用統(tǒng)計(jì)軟件進(jìn)行檢驗(yàn)時(shí) ,首先計(jì)算 p值 (此時(shí)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量 F～ F(3,17))： p=P{F≥}= . 因 p值 =＞ =α,故 H0相容 .在這種情況下，可能犯第二類(lèi)錯(cuò)誤 ,且第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率為 β=P{ F≤|μ=X }= (假定總體均值 μ=μ1≠μ0,取 μ1=X).
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