[理學(xué)]第八節(jié) 定積分的幾何應(yīng)用舉例-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 s ba d)(1 2? ??? xnxn ds i n10? ?? ?ntx ? tnt ds i n10 ????tttttn d2c o s2s i n22c o s2s i n022? ??????????????? ?tttn d2c o s2s i n0? ?????? ?? ? .4n?例 計(jì)算曲線 tty x dc o s2? ?? ?的弧長(zhǎng) . ]2,2[ ????x 解 xy c os??dxys ba? ??? 21 xx dc o s122? ? ????xx dc os12 20? ???xx d2c o s22 20???202s i n24???????? x4?例 計(jì)算曲線 xxy x d332???? 的弧長(zhǎng) . 解 23 xy ???dxys ba? ??? 21 xx d43 3 2?? ??xx d42 30 2? ??曲線弧為 ,)( )(??? ?? ty tx ?? )( ?? ?? t其中 )(),( tt ?? 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) .22 )d()d(d yxs ?? 222 )d) ] (()([ ttt ?? ????ttt d)()( 22 ?? ????弧長(zhǎng) .d)()( 22 ttts ? ???? ?? ??參數(shù)方程情形 例 3 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 的全長(zhǎng) .解 星形線的參數(shù)方程為 ?????taytax33si nc o s)20( ??? t根據(jù)對(duì)稱性 14ss ?? ? ? ? tyx d4 2022? ?????ttta dc oss i n34 20???.6 a?? ?第一象限部分的弧長(zhǎng) 例 4 證明正弦線 xay s i n? )20( ??? x 的弧長(zhǎng)等于橢圓??????taytxsi n1c o s2 )20( ??? t 的周長(zhǎng) .證 設(shè)正弦線的弧長(zhǎng)等于 1sdxys ? ? ??? 20 21 1 dxxa? ? ?? 20 22 c o s1設(shè)橢圓的周長(zhǎng)為 2s2? dxxa? ??0 22 c o s1橢圓積分 ? ? ? ? ,20 222 dtyxs ? ? ????根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知 ? ? ? ?? ? dttats ? ? ??? 0 2222 c o s1s i n22? ,1s?故原結(jié)論成立 . dtta? ? ?? 0 22 c o s12dxxa? ??0 22 c o s1曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?其中 )(?r 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) . ?????????si n)(c o s)(ryrx?)( ??? ??22 )d()d(d yxs ??? ,d)()( 22 ??? rr ???弧長(zhǎng) .d)()( 22 ?????? ??? rrs極坐標(biāo)情形 例 5 求極坐標(biāo)系下曲線33sin ??????? ?ar 的長(zhǎng) .)0( ?a解 ????? d)()( 22? ???? rrs313c o s3si n32?????????? ??ar? ,3c o s3s i n 2 ?? ???????? a.23 a??? ?????? d3c o s3s i n3s i n3024262? ???????????????????? aa?? d23s in ??????? ?? 30a?? ?0( )3?例 6 求阿基米德螺線 ?ar ? )0( ?a 上相應(yīng)于? 從 0 到 ?2 的弧長(zhǎng) . 解 ,ar ???????? drrs ? ???? )()( 22? ?.)412l n(4122 22 ???? ?????? a?? ?? 20 ?? daa 222 ? ? ?? 20a ?? d12 ?3s ec x d x?Cxxxx ????? )t anseclnt an( s e c21平面曲線弧長(zhǎng)的概念 直角坐標(biāo)系下 參數(shù)方程情形下 極坐標(biāo)系下 弧微分的概念 求弧長(zhǎng)的公式 ?????小結(jié) 思考題 閉區(qū)間 ],[ ba 上的連續(xù)曲線 )( xfy ?是否一定可求長(zhǎng)？思考題解答 不一定．僅僅有曲線連續(xù)還不夠，必須保證曲線光滑才可求長(zhǎng)．
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