何曉群多元正態(tài)分布-預(yù)覽頁(yè)
【正文】 的協(xié)方差陣 ∑是對(duì)角陣 , 則 X的各分量是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量。而反之則不一定成立，即若一個(gè)隨機(jī)向量的任何邊緣分布均為正態(tài)，并不能導(dǎo)出它是多元正態(tài)分布。 若設(shè) X~Np(μ,Σ) ，而 m維隨機(jī)向量 Zmⅹ 1=AX+b， 其中 A=(aij)是 mⅹ p 階的常數(shù)矩陣， b是 m維的常向量。若 X給定，則 d2為 X到 μ的馬氏距離。下一個(gè)定理指出： 正態(tài)分布的條件分布仍為正態(tài)分布。在制定服裝標(biāo)準(zhǔn)時(shí)需抽樣進(jìn)行人體測(cè)量，現(xiàn)從某年齡段女子測(cè)量取出部分結(jié)果如下： 1 5 4 .9 8 2 9 .6 68 3 .3 9 6 .5 1 3 0 .5 37 0 .2 6 1 .8 5 2 5 .5 4 3 9 .8 66 1 .3 2 9 .3 6 3 .5 4 2 .2 3 7 .0 39 1 .5 2 1 0 .3 4 1 9 .5 3 2 0 .7 0 5 .2 1 ??????????????????μ Σ 2 7 .3 6???????? X1：身高， X2：胸圍， X3：腰圍， X4：上體長(zhǎng)， X5：臀圍，已知它們遵從 N5(μ, Σ)，其中 服裝標(biāo)準(zhǔn)例子 40 ( 1 ) / ( 2 ) ( 3 )1 2 3 4 5( , , ) , ( ) , ( ) ,X X X X X? ? ?X X X若 取服裝標(biāo)準(zhǔn)例子 則12 534XX XEXX??????????????1515 4. 98 10 .3 483 .3 9 19 .5 3( 27 .3 6) ( 91 .5 2)70 .2 6 20 .7 061 .3 2 5. 21X?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?5555 ( ) ( )= ( ) ( )XXXX????????????????41 12 534XX XDXX??????????????服裝標(biāo)準(zhǔn)例子 1 4 3( ) ( 0 1?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? , , , ) ?????????42 ? 再利用（ ）式得 141235 16. 59 ( ) ( , , ) 10. 76 24. 19 XXDXXX??? ? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ???? ????????服裝標(biāo)準(zhǔn)例子 43 ? 這說(shuō)明 ,若已知一個(gè)人的上體的長(zhǎng)和臀圍 ,則身高、胸圍和腰圍的條件方差比原來(lái)的方差大大縮小。 條件分布和獨(dú)立性 其中， ,1,:,1:,1: )()( kjSSSSX jjjjjjjj ?????? ?jiXX ijk ??? 對(duì)一切相互獨(dú)立當(dāng)且僅當(dāng)則 ,0, )()1( ?證明參見(jiàn)文獻(xiàn) [3]. 定理 ：設(shè) ， Σ0，將 X， μ， Σ剖分如下： ),(~ ??pNX47 167。 均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì) ( 1. 31 ) 11?2112111)(1????????????????????????????????????????????????pipniiniiniiniXXXXXXnXn ??Xμ即均值向量 μ的估計(jì)量 ,就是樣本均值向量 .這可由極大似然法推導(dǎo)出來(lái)。)(1)( )()(11 ???? ????? ? XXXXnLn iniip???????????????????????????????? ?????? ?????????nipipninipipiinipipiniiXXXXXXXXXXXXXXn121 1222221111211)())(()())(()(1???51 167。 ?pΣ1?1 Ln? ?Σ52 167。 分布與 Wishart分布 2? 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 ,若 ( ),且相互獨(dú)立 ,則 所服從的分布為自由度為 的 分布 (chi squared distribution),記為 . 1, 2 , ,in?21nii X?? n2?2()n?(0 ,1)iXN 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 55 167。 分布與 Wishart分布 2?59 由 Wishart分布的定義知 ,當(dāng) 時(shí) , 退化為 ,此時(shí)中心 Wishart分布就退化為 ,由此可以看出 , Wishart分布實(shí)際上是 分布在多維正態(tài)情形下的推廣 . 1p? ? 2?22()n??2?下面不加證明的給出 Wishart分布的 5條重要性質(zhì) : 個(gè)隨機(jī)樣本 , 為樣本均值 , 樣本離差陣為 維正態(tài)總體 ( ) 1 2( , , , , )pX X X X? ? ? ? ?? ? ?1, 2 , , n? ? p? ?,pN ? ? n X( ) ( )1( ) ( )nL X X X X??? ??? ? ?? 是從 中抽取的 ，則 . 相互獨(dú)立 . 和 (1) X L? ?1,p nXN ? ? ( 1 , )pL W n ??(2) , 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 167。 分布與 分布 t2T 在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中 ,若 X~N(0,1), Y~χ2(n),且 X與 Y相互獨(dú)立 ,則稱 服從自由度為 n的 t分布 ,又稱為學(xué)生分布 (student distribution),記為 T ~ t (n). XTY n? 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果將 T平方 ,即 ,則 T2~F(1,n),即 t(n)分布的平方服從第一自由度為 1第二自由度為 F的中心分布 . 22 XTnY?63 中心 T2分布可化為中心 F分布 ,其關(guān)系為 : ? ?21 , ( , 1 )np T p n F p n ppn?? ? ? ?顯然 ,當(dāng) 時(shí) ,有 . 1p? 2 (1 , ) (1 , )T n F n?定義 設(shè) , , n≥p,Σ0,W與 X相互獨(dú)立 ,則稱隨機(jī)變量 ( , )pW W n ? (0 , )pXN ?21 T n X W X??? () p n 2T所服從的分布稱為第一自由度為 第二自由度為 的中心 分布 ,記為 22( , )T T p n 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 167。 中心分布與 Wilks分布 F66 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束
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