【正文】 115 122 (1) y 與 x 是否具有線性相關(guān)關(guān)系？ (2) 如果 y 與 x 具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程； (3) 據(jù)此估計(jì)加工 200 個(gè)零件所用時(shí)間為多少？ 解 ： （ 1） ? 查表可得 和 n2 相關(guān)系數(shù)臨界 ? ， 由 ? 知 y 與 x 具有線性相關(guān)關(guān)系 . （ 2）回歸直線方程為 ?? x 1 0 1 2 y 1 0 1 1 （ 3）估計(jì)加工 200 個(gè)零件所用時(shí)間 189 分 . 【反饋演練】 1．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系不是函數(shù)關(guān)系的是 ④ . ①角度與它的余弦值 ②正方形的邊長(zhǎng)與面積 ③正 n邊形的邊數(shù)和頂點(diǎn)角度之和 ④人的年齡與身高 2．為了考察兩個(gè)變量 x 和 y之間的線性相關(guān)性，甲、乙兩個(gè)同學(xué)各自獨(dú)立的做 10 次和 15 次試驗(yàn)，并且 利用線性回歸方法，求得 回歸直線分布為 1l 和 2l ，已知在兩人的試驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)對(duì)變量 x 的觀察數(shù)據(jù)的平均值 恰好相等都為 s，對(duì)變量 y的觀察數(shù)據(jù)的平均值恰好相等都為 t,那么下列說(shuō)法正確的是 ① . ①直線 1l 和 2l 有交點(diǎn)（ s,t） ②直線 1l 和 2l 相交，但是交點(diǎn)未必是（ s,t） ③ 直線 1l 和 2l 平行 ④ 直線 1l 和 2l 必定重合 3．下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系是相關(guān)關(guān)系的是 ④ . ①正方體的棱長(zhǎng)和體積 ②單位圓中角的度數(shù) 和所對(duì)弧長(zhǎng) ③單產(chǎn)為常數(shù)時(shí)，土地面積和總產(chǎn)量 ④日照時(shí)間與水稻的畝產(chǎn)量 4．對(duì)于回歸方程 y=+257,當(dāng) x=28時(shí) ,y的估計(jì)值為 390 . 5． 某高校 “統(tǒng)計(jì)初步 ”課程的教師隨機(jī)調(diào)查了選該課的一些學(xué)生情況，具體數(shù)據(jù)如下表： 性別 專業(yè) 非統(tǒng)計(jì)專業(yè) 統(tǒng)計(jì)專業(yè) 男 13 10 女 7 20 為了判斷主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)是否與性別有關(guān)系，根據(jù) 表中的數(shù)據(jù)，得到 22 5 0 (1 3 2 0 1 0 7) 4 .8 4 42 3 2 7 2 0 3 0? ? ? ? ???? ? ?， 因?yàn)?2 ? ? ，所以判定主修統(tǒng)計(jì)專業(yè)與性別有關(guān)系，那么這種判斷出錯(cuò)的可能性為 5% . ，抽取了 89 名被試者，他們的暈船情況匯總?cè)缦卤恚鶕?jù)獨(dú)立性假設(shè)檢驗(yàn)的方法， 不能 認(rèn)為在失重情況下男性比女性更容易暈船（填能或不能） 暈機(jī) 不暈機(jī) 合計(jì) 男性 23 32 55 女性 9 25 34 合計(jì) 32 57 89 ，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問(wèn)：每一晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？ 患心臟病 未患心臟病 合計(jì) 每一 晚都打鼾 30 224 254 不打鼾 24 1355 1379 合計(jì) 54 1579 1633 解：提出假設(shè) H0：打鼾與患心臟病無(wú)關(guān)，根據(jù)數(shù)據(jù)得 22 1 6 3 3 ( 3 0 1 3 5 5 2 4 2 2 4 ) 6 8 . 0 3 .5 4 1 5 7 9 2 5 4 1 3 7 9? ? ? ? ???? ? ? 當(dāng) H0成立時(shí)， 2 ? ? 的概率為 1%，而這時(shí) 2 ,? ??所以我們有 99%的把握認(rèn)為打鼾與患心臟病有關(guān) . 第 5 課 古典概型 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 ，了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性及頻率的穩(wěn)定性，進(jìn)一步了解概率的意義以及概率與頻率的區(qū)別 . ： 1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)； 2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等 . 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. 某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示： 射擊次數(shù) n 10 20 50 100 200 500 擊中靶心次數(shù) m 8 19 44 92 178 455 擊中靶心的頻率nm （ 1）填寫表中擊中靶心的頻率； （ 2）這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？ 分析 ： 事件 A 出現(xiàn)的頻數(shù) nA與試驗(yàn)次數(shù) n 的比值即為事件 A 的頻率，當(dāng)事件 A 發(fā)生的頻率 fn（ A）穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上時(shí)，這個(gè)常數(shù)即為事件 A 的概率 . 解： （ 1）表中依次填入的數(shù)據(jù)為： ， ， ， ， ， . （ 2）由于頻率穩(wěn)定在常數(shù) ，所以這個(gè)射手擊一次，擊中靶心的概率約是 . 點(diǎn)評(píng) 概率實(shí)際上是頻率的科學(xué)抽象，求某事件的概率可以通過(guò)求該事件的頻率而得之 . 2．將一枚硬幣向上拋擲 10次，其中正面向上恰有 5次是 隨機(jī) 事件 （必然 、 隨機(jī)、 不可能） 3．下列說(shuō)法正確的是 ③ . ① 任一事件的概率總在（ ）內(nèi) ② 不可能事件的概率不一定為 0 ③ 必然事件的概率一定為 1 ④ 以上均不對(duì) 3次，只有一次出現(xiàn)正面的概率是 83 5. 從分別寫有 A、 B、 C、 D、 E的 5張卡片中，任取 2張，這 2張卡片上的字母恰好是按字母順序相鄰的概率為 52 【范例解析】 例 1. 連續(xù)擲 3枚硬幣，觀察落地后這 3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面 . （ 1）寫出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件； （ 2）求這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)； （ 3）“恰有兩枚正面向上”這一事件包含哪幾個(gè)基本事件 ? 解 ：（ 1）這個(gè)試驗(yàn)的基本事件 Ω ={（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（正，反，反），（反 ，正，正），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反） }； （ 2）基本事件的總數(shù)是 8. （ 3）“恰有兩枚正面向上”包含以下 3個(gè)基本事件：（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正） . 點(diǎn)評(píng) 一次試驗(yàn)中所有可能的結(jié)果都是隨機(jī)事件，這類隨機(jī)事件稱為基本事件 . 例 2. 拋擲兩顆骰子，求： （ 1）點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn) 7點(diǎn)的概率； （ 2）出現(xiàn)兩個(gè) 4點(diǎn)的概率 . 解 ：作圖，從下圖中容易看出基本事件空間與點(diǎn)集 S={（ x， y） |x∈ N， y∈ N， 1≤ x≤ 6， 1≤ y≤ 6}中的元 素一一對(duì)應(yīng) .因?yàn)?S中點(diǎn)的總數(shù)是 6 6=36（個(gè)） ，所以基本事件總數(shù) n=36. O xy665544332211 （ 1）記“點(diǎn)數(shù)之和出現(xiàn) 7點(diǎn)”的事件為 A，從圖中可看到事件 A包含的基本事件數(shù)共 6個(gè)：（ 6， 1），（ 5，2），（ 4， 3），（ 3， 4），（ 2， 5），（ 1， 6），所以 P（ A） =61366?. （ 2）記“出現(xiàn)兩個(gè) 4點(diǎn)”的事件為 B，則從圖中可看到事件 B包含的基本事件數(shù)只有 1個(gè)：（ 4， 4） .所以 P（ B） =361. 點(diǎn)評(píng) 在古典概型下求 P （ A），關(guān)鍵要找出 A 所包含的基本事件個(gè)數(shù)然后套用公式() AmPA n? 事 件 包 含 基 本 事 件 的 個(gè) 數(shù)基 本 事 件 的 總 數(shù) 變題 .在一次口試中，考生要從 5道題中隨機(jī)抽取 3道進(jìn)行回答，答對(duì)其中 2 道題為優(yōu)秀，答對(duì)其中 1道題為及格，某考生 能答對(duì) 5 道題中的 2 道題，試求： （ 1）他獲得優(yōu)秀的概率為多少； （ 2）他獲得及格及及格以上的概率為多少； 點(diǎn)撥：這是一道古典概率問(wèn)題，須用枚舉法列出基本事件數(shù) . 解 ：設(shè)這 5 道題的題號(hào)分別為 1,2， 3， 4， 5，則從這 5道題中任取 3道回答，有（ 1， 2， 3），（ 1， 2， 4），（ 1， 2， 5），（ 1， 3， 4），（ 1， 3， 5），（ 1， 4， 5），（ 2， 3， 4） ,（ 2， 3， 5）， （ 2， 4， 5），（ 3， 4， 5）共 10 個(gè)基本事件． （ 1）記“獲得優(yōu)秀”為事件 A，則隨機(jī)事件 A 中包含的基本事件個(gè)數(shù)為 3，故 3()10PA? ． （ 2）記“獲得及 格及及格以上”為事件 B，則隨機(jī)事件 B 中包含的基本事件個(gè)數(shù)為 9，故 9()10PB? ． 點(diǎn)評(píng) ：使用枚舉法要注意排列的方法，做到不漏不重 . 例 3. 從含有兩件正品 a1， a2和一件次品 b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩 次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率 . 解： 每次取出一個(gè)，取后不放回地連續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有 6個(gè)，即（ a1， a2），（ a1， b2），（ a2， a1），（ a2， b1），（ b1， a1），（ b2， a2） .其中小括號(hào)內(nèi)左邊的字母表示第 1次取出的產(chǎn)品， 右邊的字母表示第 2次取 出的產(chǎn)用 A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則 A=[（ a1， b1），（ a2， b1），（ b1， a1），（ b1， a2） ] 事件 A由 4個(gè)基本事件組成，因而， P（ A） =64 =32 【反饋演練】 ，共射擊 10 次，其中有 2 次中 10 環(huán)，有 3 次環(huán)中 9 環(huán)，有 4 次中 8 環(huán)，有 1 次未中靶，試計(jì)算此人中靶的概率，假設(shè)此人射擊 1 次，試問(wèn)中靶的概率約為 中 10 環(huán)的概率約為 . 分析： 中靶的頻數(shù)為 9，試驗(yàn)次數(shù)為 10，所以中靶的頻率為109=，所以中靶的概率約為 ． 解 ： 此人中靶的概率約為 ；此人射擊 1 次，中靶的概率為 ；中 10 環(huán)的概率約為 ． 4個(gè)單元，甲乙兩人被分配住進(jìn)該樓，則他們同住一單元的概率是 . 3. 在第 1,3,6,8,16路公共汽車都要?？康囊粋€(gè)站（假定這個(gè)站只能?？恳惠v汽車），有一位乘客等候第6 路或第 16路汽車 .假定當(dāng)時(shí)各路汽車首先到站的可能性相等，則首先到站正好是這位乘客所需乘的汽車的 概率等于 52 ，出 現(xiàn) 2枚正面向上，一枚反面向上的概率是 83 5根細(xì)木棒，長(zhǎng)度分別為 1,3 ,5 ,7 ,9，從中任取三根，能搭成三角形的概率是 103 6. 從 1， 2， 3，?， 9這 9個(gè)數(shù)字中任取 2個(gè)數(shù)字， （ 1） 2個(gè)數(shù)字都是奇數(shù)的概率為 185 （ 2） 2個(gè)數(shù)字之和為偶數(shù)的概率為 94 7. 某小組共有 10名學(xué)生，其中女生 3名，現(xiàn)選舉 2名代表，至少有 1名女生當(dāng)選的概率為 158 8. A、 B、 C、 D、 E 排成一排， A 在 B 的右邊（ A、 B 可以不相鄰）的概率是 21 9．在大小相同的 5個(gè)球中， 2個(gè)是紅球， 3個(gè)是白球，若從中任取 2個(gè)，則所取的 2個(gè)球中至少有一個(gè)紅球的概率是 107 10. 用紅、黃、藍(lán)三種不同顏色給下圖中 3個(gè)矩形隨機(jī)涂色，每個(gè)矩形只涂一種顏色，求： （ 1） 3個(gè)矩形顏色都相同的概率；（ 2） 3個(gè)矩形顏色都不同的概率 . 解：所有可能的基本事件共有 27個(gè)，如圖所示 . 紅 紅 紅紅 紅 紅紅 紅 紅紅 紅 紅紅 黃 藍(lán)黃 黃 黃黃 黃 黃黃 黃 黃黃 黃 黃藍(lán) 藍(lán) 藍(lán)藍(lán) 藍(lán) 藍(lán)藍(lán) 藍(lán) 藍(lán)藍(lán) 藍(lán) 藍(lán) （ 1）記“ 3個(gè)矩形都涂同一顏色”為事件 A，由圖知，事件 A的基本事件有 1 3=3個(gè)，故 P（ A） = 91273? . （ 2）記“ 3個(gè)矩形顏色都不同”為事件 B，由圖可知，事件 B的基本事件有 2 3=6個(gè)，故 P（ B） = 92276? . 11. 甲、乙兩個(gè)均勻的正方體 玩具，各個(gè)面上分別刻有 1， 2， 3， 4， 5， 6六個(gè)數(shù)字，將這兩個(gè)玩具同時(shí) 擲一次 . （ 1）若甲上的數(shù)字為十位數(shù)，乙上的數(shù)字為個(gè)位數(shù)，問(wèn)可以組成多少個(gè)不同的數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字與十位數(shù)字均相同的數(shù)字的概率是多少 ? （ 2）兩個(gè)玩具的數(shù)字之和共有多少種不同結(jié)果 ?其中數(shù)字之和為 12的有多少種情況 ?數(shù)字之和為 6的共有多少種情況 ?分別計(jì)算這兩種情況的概率 . 解：（ 1）甲有 6種不同的結(jié)果，乙也有 6種不同的結(jié)果，故基本事件總數(shù)為 6 6=36個(gè) .其中十位數(shù)字共有 6 種不同的結(jié)果，若十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同，十位數(shù)字確定后，個(gè)位數(shù)字也即 確定 .故共有 6 1=6種不同的結(jié)果，即概率為61366?. （ 2）兩個(gè)玩具的數(shù)字之和共有 2， 3， 4， 5， 6， 7， 8， 9， 10， 11， 12共 11種不同結(jié)果 .從中可以看出，出現(xiàn) 12的只有一種情況，概率為361.出現(xiàn)數(shù)字之和為 6的共有（ 1， 5），（ 2， 4），（ 3， 3），（ 4， 2），（ 5，1） 五種情況，所以其概率為365. 10 件，其中 8件為正品， 2件為次品： （ 1）如果從中取出一件，然后放回，再取一件，求連續(xù) 3次取出的都是正品的概率； （ 2）如果從中一次取 3件，求 3件都是正品的概率． 解： （ 1）有放回地抽取 3次，按抽取順序（ x,y,z）記錄結(jié)果，則 x,y,z都有 10種可能，所以試驗(yàn)結(jié)果有