【正文】 ??? － 1≤ α＋ β≤ 1，1≤ α＋ 2β≤ 3， 試求 α＋ 3β的取值范圍． 解 設(shè) α＋ 3β＝ x(α＋ β)＋ y(α＋ 2β)＝ (x＋ y)α＋ (x＋ 2y)β. 由 ??? x＋ y＝ 1，x＋ 2y＝ 3， 解得 ??? x＝－ 1，y＝ 2. ∵ － 1≤ － (α＋ β)≤ 1,2≤ 2(α＋ 2β)≤ 6， ∴ 兩式相加，得 1≤ α＋ 3β≤ 7. 考向四 利用不等式的性質(zhì)證明簡單不等式 【例 4】 ?設(shè) a＞ b＞ c，求證： 1a－ b＋ 1b－ c＋ 1c－ a＞ 0. [審題視點 ] 充分運用已知條件及不等式性質(zhì)進行求證． 證明 ∵ a＞ b＞ c， ∴ － c＞－ b. ∴ a－ c＞ a－ b＞ 0， ∴ 1a－ b＞ 1a－ c＞ 0. ∴ 1a－ b＋ 1c－ a＞ b－ c＞ 0， ∴ 1b－ c＞ 0. 1a－ b＋1b－ c＋1c－ a＞ 0. (1)運用不等式性質(zhì)解決問題時，必須注意性質(zhì)成立的條件． (2)同向不等式的可加性與可乘性可推廣到兩個以上的不等式． 【訓(xùn)練 4】 若 a＞ b＞ 0， c＜ d＜ 0， e＜ 0， 求證： e?a－ c?2＞ e?b－ d?2. 證明 ∵ c＜ d＜ 0， ∴ － c＞－ d＞ 0. 又 ∵ a＞ b＞ 0， ∴ a－ c＞ b－ d＞ 0. ∴ (a－ c)2＞ (b－ d)2＞ 0.∴ 0＜ 1?a－ c?2＜ 1?b－ d?2. 又 ∵ e＜ 0， ∴ e?a－ c?2＞ e?b－ d?2. 難點突破 15—— 數(shù)式大小比較問題 數(shù)式大小的比較是高考中最常見的一種命題方式，涉及的知識點和問題求解的方法不僅局限于不等式知識，而且更多的關(guān)聯(lián)到函數(shù)、數(shù)列、三角函 數(shù)、向量、解析幾何、導(dǎo)數(shù)等知識，內(nèi)容豐富多彩．命題的方式主要是選擇題、填空題，考查不等式性質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用． 一、作差法 【示例】 ? (2020浙江 )若實數(shù) x， y 滿足不等式組??? x＋ 3y－ 3≥ 0，2x－ y－ 3≤ 0，x－ my＋ 1≥ 0，且 z＝ x＋y 的最大值為 9，則實數(shù) m 等于 ( )． A．－ 2 B．－ 1 C． 1 D． 2 第 1 講 不等關(guān)系與不等式 【高考會這樣考】 結(jié)合命題真假判斷、充要條件、大小比較等知識考查不等式性質(zhì)的基本應(yīng)用． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 不等式的性質(zhì)是解 (證 )不等式的基礎(chǔ)，關(guān)鍵是正確理解和運用，要弄清條件和結(jié)論，近幾年高考中多以小題出現(xiàn)，題 目難度不大，復(fù)習(xí)時，應(yīng)抓好基本概念，少做偏難題． 基礎(chǔ)梳理 1．不等式的定義 在客觀世界中，量與量之間的不等關(guān)系是普遍存在的，我們用數(shù)學(xué)符號 ＞、＜、≥ 、 ≤ 、 ≠ 連接兩個數(shù)或代數(shù)式以表示它們之間的不等關(guān)系，含有這些不等號的式子，叫做不等式． 2． 比較兩個實數(shù)的大小 兩個實數(shù)的大小是用實數(shù)的運算性質(zhì)來定義的，有 a－ b＞ 0? a＞ b； a－ b＝ 0? a＝ b； a－ b＜ 0? a＜ ，若 b＞ 0，則有 ab＞ 1? a＞ b； ab＝ 1? a＝ b； ab＜ 1? a＜ b. 3． 不等式的性質(zhì) (1)對稱性： a＞ b? b＜ a； (2)傳遞性： a＞ b， b＞ c? a＞ c； (3)可加性： a＞ b? a＋ c＞ b＋ c， a＞ b， c＞ d? a＋ c＞ b＋ d； (4)可乘性： a＞ b， c＞ 0? ac＞ bc； a＞ b＞ 0， c＞ d＞ 0? ac＞ bd； (5)可乘方： a＞ b＞ 0? an＞ bn(n∈ N， n≥ 2)； (6)可開方： a＞ b＞ 0? n a＞ n b(n∈ N， n≥ 2)． 一個技巧 作差法變形的技巧：作差法中變形是關(guān)鍵，常進行因式分解或配方． 一種方法 待定系數(shù)法：求代數(shù)式的范圍時，先用已知的代數(shù)式表示目標(biāo)式，再利用多項式相等的法則求出參數(shù)，最后利用不等式的性質(zhì)求出目標(biāo)式的范圍． 兩條常用性質(zhì) (1)倒數(shù)性質(zhì)： ① a＞ b， ab＞ 0? 1a＜ 1b； ② a＜ 0＜ b? 1a＜ 1b； ③ a＞ b＞ 0,0＜ c＜ d? ac＞ bd； ④ 0＜ a＜ x＜ b或 a＜ x＜ b＜ 0? 1b＜ 1x＜ 1a. (2)若 a＞ b＞ 0， m＞ 0，則 ① 真分數(shù)的性質(zhì)： ba＜b＋ ma＋ m；ba＞b－ ma－ m(b－ m＞ 0)； ② 假分數(shù)的性質(zhì)： ab＞a＋ mb＋ m；ab＜a－ mb－ m(b－ m＞ 0)． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )給出下列命題： ① a＞ b? ac2＞ bc2； ② a＞ |b|? a2＞b2； ③ a＞ b? a3＞ b3； ④ |a|＞ b? a2＞ ( )． A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ①④ 解析 當(dāng) c＝ 0 時， ac2＝ bc2， ∴① 不正確； a＞ |b|≥ 0， a2＞ |b|2＝ b2， ∴② 正確；a3－ b3＝ (a－ b)(a2＋ ab＋ b2)＝ (a－ b)O A→ 的最大值為 ( )． A． 3 B． 4 C． 3 2 D． 4 2 [審題視點 ] 作出平行域 D，然后解出目標(biāo)函數(shù) z的表達式，用截距法求 z的最大值． 解析 畫出區(qū)域 D，如圖中陰影部分所示，而 z＝ O M→ 第 3 講 二元一次不等式 (組 )與簡單的線性規(guī)劃問題 【高考會這樣考】 1．考查二元一次不等式組表示的區(qū)域面積和目標(biāo)函數(shù)最值 (或取值范圍 )． 2．考查約束條件、目標(biāo)函數(shù)中的參變量的取值范圍． 【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】 1．掌握確定平面區(qū)域的方法 (線定界、點定域 )． 2．理解目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，掌握解決線性規(guī)劃問題的方法 (圖解法 )，注意線性規(guī)劃問題與其他知識的綜合． 基礎(chǔ)梳理 1．二元一次不等式表示的平面區(qū)域 (1)一般地，直線 l： ax＋ by＋ c＝ 0 把直角坐標(biāo)平面 分成了三個部分： ① 直線 l 上的點 (x， y)的坐標(biāo)滿足 ax＋ by＋ c＝ 0； ② 直線 l 一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點 (x， y)的坐標(biāo)滿足 ax＋ by＋ c＞ 0； ③ 直線 l 另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點 (x， y)的坐標(biāo)滿足 ax＋ by＋ c＜ 0. 所以，只需在直線 l 的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點 (x0， y0)，從 ax0＋ by0＋ c 值的正負，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域． (2)由于對直線 Ax＋ By＋ C＝ 0 同一側(cè)的所有點 (x， y)，把它的坐標(biāo) (x， y)代入 Ax＋ By＋ C 所得到實數(shù)的符號都 相同 ，所以只需在此直線的某一側(cè)取一個特殊點(x0， y0)，由 Ax 0＋ By0＋ C 的 符號 即可判斷 Ax＋ By＋ C＞ 0 表示直線 Ax＋ By＋ C＝ 0 哪一側(cè)的平面區(qū)域． 2． 線性規(guī)劃相關(guān)概念 名 稱 意 義 目標(biāo)函數(shù) 欲求 最大值 或 最小值 的函數(shù) 約束條件 目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組 線性約束條件 由 x， y 的一次不等式 (或方程 )組成的不等式組 線性目標(biāo)函數(shù) 目標(biāo)函數(shù)是關(guān)于變量的一次函數(shù) 可行解 滿足 線性約束條件 的解 可行域 所有 可行解 組成的集合 最優(yōu)解 使目標(biāo)函數(shù)取得 最大值 或 最小值 的點的坐標(biāo) 線性規(guī)劃問題 在線性約束條件下，求線性目標(biāo)函數(shù)的 最大值 或 最 小值問題 一種方法 確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經(jīng)常采用 “ 直線定界，特殊點定域 ” 的方法． (1)直線定界，即若不等式不含等號，則應(yīng)把直線畫成虛線；若不等式含有等號，把直線畫成實線． (2)特殊點定域，即在直線 Ax＋ By＋ C＝ 0 的某一側(cè)取一個特殊點 (x0， y0)作為測試點代入不等式檢驗，若滿足不等式，則表示的就是包括該點的這一側(cè)，否則就表示直線的另一側(cè)．特別地，當(dāng) C≠ 0 時，常把原點作為測試點；當(dāng) C＝ 0 時，常選點 (1,0)或者 (0,1)作為 測試點． 一個步驟 利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是： (1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域； (2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進行變形； (3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解； (4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值． 兩個防范 (1)畫出平面區(qū)域．避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化． (2)求二元一次函數(shù) z＝ ax＋ by(ab≠ 0)的最值，將函數(shù) z＝ ax＋ by轉(zhuǎn)化為直線的斜截式： y＝－ abx＋ zb，通過求直線的截距 zb的最值間接求出 z的最值．要注意：當(dāng) b＞ 0時，截距 zb取最大值時， z也取最大值；截距 zb取最小值時， z也取最小值；當(dāng)b＜ 0時，截距 zb取最大值時， z取最小值；截距 zb取最小值時， z取最大值． 雙基自測 1． (人教 A 版教材習(xí)題改編 )如圖所示的平面區(qū)域 (陰影部分 )，用不等式表示為 ( )． A． 2x－ y－ 3＜ 0 B． 2x－ y－ 3＞ 0 C． 2x－ y－ 3≤ 0 D． 2x－ y－ 3≥ 0 解析 將原點 (0,0)代入 2x－ y－ 3 得 2 0－ 0－ 3＝－ 3＜ 0，所以不等式為 2x－ y－ 3＞ 0. 答案 B 2．下列各點中，不在 x＋ y－ 1≤ 0 表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是 ( )． A． (0,0) B． (－ 1,1) C． (－ 1,3) D． (2，－ 3) 解析 逐一代入得點 (－ 1,3)不在 x＋ y－ 1≤ 0 表示的平面區(qū)域內(nèi)． 答案 C 3．如圖所示，陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示的是 ( )． A.??? x＋ y－ 1≥ 0x－ 2y＋ 2≥ 0 B.??? x＋ y－ 1≤ 0x－ 2y＋ 2≤ 0 C.??? x＋ y－ 1≥ 0x－ 2y＋ 2≤ 0 D.??? x＋ y－ 1≤ 0x－ 2y＋ 2≥ 0 解析 兩條直線方程為： x＋ y－ 1＝ 0， x－ 2y＋ 2＝ 0. 將原點 (0,0)代入 x＋ y－ 1 得－ 1＜ 0， 代入 x－ 2y＋ 2 得 2＞ 0， 即點 (0,0)在 x－ 2y＋ 2≥ 0 的內(nèi)部， 在 x＋ y－ 1≤ 0 的外部， 故所求二元一次不等式組為 ??? x＋ y－ 1≥ 0，x－ 2y＋ 2≥ 0. 答案 A 4． (2020廣東 )已知平面直角坐標(biāo)系 xOy 上的區(qū)域 D 由不等式組????? 0≤ x≤ 2，y≤ 2，x≤ 2y給定．若 M(x， y)為 D 上的動點，點 A的坐標(biāo)為 ( 2， 1)則 z＝OM→ 山東 )設(shè)變量 x， y 滿足約束條件??? x＋ 2y－ 5≤ 0，x－ y－ 2≤ 0，x≥ 0，則目標(biāo)函數(shù) z＝ 2x＋ 3y＋ 1 的最大值為 ( )． A． 11 B． 10 C． 9 【示例 2】 ? (2020包頭模擬 )若 a＞ 0＞ b＞－ a， c＜ d＜ 0，則下列命題： (1)ad＞ bc；(2)ad＋ bc＜ 0； (3)a－ c＞ b－ d； (4)a許昌模擬 )若不等式 ax2＋ bx－ 2＜ 0 的解集為 ????? ?