關(guān)于冪零矩陣的幾個注記-全文預覽
【正文】 nnAC?? ，如果有正整數(shù) m 使 0mA? ，則 2(adj ) 0A ? ． 文獻 [3]在證明上述結(jié)論的過程中，是通過考慮矩陣 A 的 若爾當標準形 ，利用極限過程的方法進行的， 證明過程 顯得 過 于 繁瑣 ． 下面， 我們將僅僅利用高等代數(shù)中的幾個常見的基本結(jié)論（引理 引理 引理 8），對定理 2 予以簡證： 定理 2 的簡證 由 0mA? ，知 rank( )An? ，且由引理 6，得 (adj ) 0mA ? ． 若 rank( ) 1An??，由引理 7，得 rank(adj ) 0A ? ，即得 adj 0A? ，故 2(adj ) 0A ? ；若 8 rank( ) 1An??，由引理 7，得 rank(adj ) 1A ? ，由引理 8，得 2(adj ) (adj )A k A? ，從而有 1(a dj ) (a dj )mmA k A?? ，即 1 (adj ) 0mkA? ? ，根據(jù) rank(adj ) 1A ? ，知 adj 0A? ，必有 1 0mk ? ? ，從而 0k? ，因此 2(a dj ) (a dj ) 0A k A??． 注 2 文獻 [3]中由于用到 若爾當標準形 及極限過程，自然要求矩陣 A 在復數(shù)域上考慮，根據(jù)我們的證明知道， 可以推廣這個結(jié)論到任何的無限域 ． 注 3 在早期的不少文獻中也證明了冪零矩陣的伴隨矩陣是冪零的，如文 [4]等 ． 其證明過于復雜，如果僅證明該結(jié)論的話，由前面的引理 6，可以導出公式adj( ) (adj )mmAA? ，于是立得 0 (a dj ) 0mmAA? ? ?結(jié)論 ． 冪零矩陣的伴隨還原陣 問題 在《大學數(shù)學》期刊 2020年第 5期 發(fā)表了 孫勝先的 “冪等和冪零陣的伴隨陣的反問題”一文， 該文中提出了 冪零矩陣 的一個 論斷 “ 非零的冪零陣的伴隨還原陣 (若存在 ) 必不是冪零的 ”，我們將舉出一個反例對該結(jié)論予以否定 ． 為討論的方便起見，先給出 伴隨還原陣 的定義及必要的一些說明： 定義 2[6] 對于復數(shù)域上 n 階方陣 A ，若有 n 階方陣 B 滿足 adj( )BA? ， B 稱為 A 的一個伴隨還原陣 ． 對于 復數(shù)域上任一 n 階方陣 A ，根據(jù)引理 7， ? ?rank (adj ) ,1, 0An? ． 反之，若? ?rank ( ) ,1, 0An? ，文獻 [6]證明了必有 n 階方陣 B 滿足 adj( )BA? ，即 A 一定存在伴隨還原陣，但一般不唯一 ． 對任何 n 階方陣 A ，當 2n ? 時 ，如果 1 rank( )An??，則 A 一定不存在任何伴隨還原陣 ． 文獻 [5]中討論了滿足 2 0A? 與 rank( ) 1A ? 的 伴隨還原陣 問題，給出了下面的命題 命題 1[5] 設(shè) nnAC?? ， 2 0A? ， rank( ) 1A ? ， 當 2n? 時 ， A 不存在冪零的伴隨還原陣 . 我們指出該結(jié)論不真，為此構(gòu)造反例： 9 反例 取 n 階方陣0 0 10 0 00 0 0A?????????，01010B?????????，可以驗證： 2 0A? ， rank( ) 1A ? ， 0nB? ，且 adj( )BA? ，說明 B 是 A 的 一個 n? 冪零 伴隨還原陣 . 以上反例說明， 文獻 [5]中 論斷 “ 非零的冪零陣的伴隨還原陣 (若存在 ) 必不是冪零的 ”不真，我們把它修正為 命題 2 設(shè) nnAC?? ， 2 0A? ， rank( ) 1A ? ， 當 2n? 時 ， A 不存在 2冪零的伴隨還原陣 . 證明參見 文 [5]，略 . 4 冪零矩陣的一個等價條件與應用 引理 1 與引理 2 是關(guān)于 冪零矩陣 的兩個常用充分必要條件，為了下面的應用需要，我們給出 冪零矩陣 的又一等價刻畫： 定理 3 設(shè) nnAP?? ， A 是冪零矩陣 ? tr( ) 0iA ? ， 1,2,i? . 證明 由 引理 1 知 A 是冪零矩陣 ? A 的特征值全為零 ， 故只需證 A 的特征值全為零 ? tr( ) 0iA ? ， 1,2,i? . 若 A 的特征值 12, , , n? ? ? 全為零 ，則對任一給定的正整數(shù) i ，矩陣 iA 的 n 個特征值為 12, , ,i i in? ? ? 也全為 零 ，則1tr ( ) 0niijjA ?????. 若 tr( ) 0iA ? ， 1,2,i? .下證 A 的所有特征值為 0， 用反證法 .若不然 ， 則 A存在 非零 的 特征值 ， 設(shè) A 的互不相同的特征值為 s??? , 21 ? ， 且對應的重數(shù)分別為 skkk , 21 ? ，這里1sjj kn? ??.于是 iA 的 所有 特征值為 1i? （ 1k 重）， 2i? （ 2k 重），?， is? （ sk 重） 從而 1 1 2 2tr ( ) 0i i i issA k k k? ? ?? ? ?
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