復(fù)變函數(shù)與積分變換解析函數(shù)的cr條件-全文預(yù)覽
【正文】 復(fù)變函數(shù)與積分變換? 初等函數(shù) 復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換yieyezf xx si nc o s)( ??1 2 1 2( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ( )xf x e f x f xf x f x f x x???? ? ?一、指數(shù) 函數(shù) )(s i nc os)s i n()c os()(zfyieyeyexiyexzfxxxx??????????復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換)()s i n ()c os ()s i ns i ns i nc os(s i ns i nc os)s i nc os)(s i nc os()()( 21212121212112211212121212121212211zzfyyieyyeyyeyyeiyyeyeyieyeyieyezfzfxxxxxxxxxxxxxxxx????????????????????I m ( ) 0 ( ) xz z x f z e? ? ?特 別 地 , 當(dāng) 即 時(shí)復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換1( ) c o s sin ( c o s sin )( )x x xf z e y ie y e y i yz E x p o n e n tialf u n c tion? ? ? ?、 定 義稱(chēng) 為 的 指 數(shù) 函 數(shù) 記 作()( c o s sin ) e x p ( ) ( c o s sin )z x xfzw e e y i y z e y i y? ? ? ? ?類(lèi) 似 一 元 實(shí) 函 數(shù) ， 記 指 數(shù) 函 數(shù) 為或yiye，iyzxzekyeA r geeiyzzxzs i nc o s0)R e (0,2)(,||?????????變?yōu)闅W拉公式時(shí)即當(dāng)注 ?復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換2( 1 ) , 2z z k ie e T i? ????周 期 性 。Czfkzf，zf ?? )(,)(a r g)()3( 證且解析已知( ) ( , ) ( , ) , 0 , 0x y x yf z u x y iv x y u vu u v v??? ? ? ?? ? ? ?需 證 中 的 均 為 常 數(shù)即 證復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換( ) ,ta n , ta n? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ??x y y xx y y xf z u v u vu u k u u kv消又 解 析 ， 故222ta n , ( 1 ta n ) 00 ( 1 ta n 1 )x x xxu u k k uu k k? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ?為實(shí)數(shù)，C)z(f,vvu yxy ??????? 即，代入，得 00kuvkuvkuvkuvzfyyxx t a n,t a nt a na r ct a n)(a r g???????????由復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換yvvyuxvxvvxuyvRCyxvu????????????????????2,2)4( 2 條件得求偏導(dǎo)數(shù)并由和兩端分別對(duì)。)(a r g).3()](R e [).2(。于 是即 在 點(diǎn) 可 導(dǎo) ， 此 時(shí) ： ( ) D z , D C R( ) zf z u vf z D??注： 在 內(nèi)任一點(diǎn) 可導(dǎo) 在 內(nèi)任一點(diǎn)可微且 方程成立在 內(nèi)任一點(diǎn) 解析復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換二、舉例 兩種判別法 (定義法， C— R條件判可導(dǎo)） 3 ( ) R e ( ) 0 ( 0 ) .f z z z zf???例 試證明函數(shù) 僅在點(diǎn) 可導(dǎo)？并求22( ) ( ) ,( , ) , ( , ) , 2 , 0 , , .x y x yf z x iy x x x y iu x y x v x y x y u x u v y v x? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?證 因 為 即00( ) Re ( ) 0 ( 0 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) 0? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?顯 然 ， 處 處 可 微 ， 而 方 程 僅 在 即 處 成 立 , 所 以?xún)H 在 點(diǎn) 可 導(dǎo) ， 且 有事 實(shí) 上 ， 該 題 也 可 用 導(dǎo) 數(shù) 的 定 義 求 證 ， 留 給 讀 者 練 習(xí)xxu v C R x y zf z z z z f u iv復(fù)變函數(shù)與積分變換 Complex Analysis and Integral Transform 復(fù)變函數(shù)與積分變換12124 ( ) ( , ) ( , )D ( ) 0.( , ) ( , )( , ) ( , )f z u x y iv x yfzu x y c v x y cc c u x y v x yD??? ???例 設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)處處解析且 試證：曲線族 與曲線族正交，其中 和 分別為 和在 內(nèi)某點(diǎn)處的函數(shù)值。且此時(shí)： ,x y y xu v
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