【正文】 ) ( ) ( ) ( ) ( )f x y f x f y g x g y? ? ?， 0()(0 ) 1, lim 1xgxf x???. (約定 a0) （ 1） )()( axfxf ?? ，則 )(xf 的周期 T=a； （ 2） 0)()( ??? axfxf ， 或 )0)(()(1)( ??? xfxfaxf， 或 1()()f x a fx? ?? ( ( ) 0)fx?, 或 ? ?21 ( ) ( ) ( ) , ( ( ) 0 , 1 )2 f x f x f x a f x? ? ? ? ?,則 )(xf 的周期 T=2a； (3) )0)(()( 11)( ???? xfaxfxf，則 )(xf 的周期 T=3a； (4))()(1 )()()( 21 2121 xfxf xfxfxxf ? ???且 1 2 1 2( ) 1 ( ( ) ( ) 1 , 0 | | 2 )f a f x f x x x a? ? ? ? ? ?，則 )(x 的周期 T=4a； (5) ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a? ? ? ? ? ? ? ( ) ( ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 )f x f x a f x a f x a f x a? ? ? ? ?,則 )(xf 的周期 T=5a； (6) )()()( axfxfaxf ???? ，則 )(xf 的周期 T=6a. (1) 1mnn ma a?（ 0, ,a m n N ???，且 1n? ） . （高中數(shù)學(xué)） 5 (2) 1mn mna a? ? （ 0, ,a m n N ???，且 1n? ） . 31．根式的性質(zhì) （ 1） ()nn aa? . （ 2）當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， n naa? ； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， ,0||,0n n aaaa aa????????. 32．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) (1) ( 0 , , )r s r sa a a a r s Q?? ? ? ?. (2) ( ) ( 0 , , )r s r sa a a r s Q? ? ?. (3) ( ) ( 0 , 0 , )r r ra b a b a b r Q? ? ? ?. 注： 若 a＞ 0， p是一個(gè)無(wú)理數(shù)，則 ap表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，對(duì)于無(wú)理數(shù)指數(shù)冪都適用 . log ba N b a N? ? ?( 0, 1, 0)a a N? ? ?. loglog logmamNN a? ( 0a? ,且 1a? , 0m? ,且 1m? , 0N? ). 推論 log logm n aa nbbm?( 0a? ,且 1a? , ,0mn? ,且 1m? , 1n? , 0N? ). 35．對(duì)數(shù)的四則運(yùn)算法則 若 a＞ 0， a≠ 1， M＞ 0， N＞ 0，則 (1) l og ( ) l og l oga a aM N M N??。 如果函數(shù))(ufy? 和 )(xgu? 在其對(duì)應(yīng)的定義域上都是減函數(shù) ,則復(fù)合函數(shù) )]([ xgfy ? 是增函數(shù) . 18．奇偶函數(shù)的圖象特征 奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y軸對(duì)稱 。（高中數(shù)學(xué)） 1 高中數(shù)學(xué)常用公式及常用結(jié)論 1. 元素與集合的關(guān)系 Ux A x C A? ? ? , Ux C A x A? ? ?. ( ) 。 (3)零點(diǎn)式 12( ) ( ) ( ) ( 0)f x a x x x x a? ? ? ?. ()N f x M??常有以下轉(zhuǎn)化形式 ()N f x M??? [ ( ) ] [ ( ) ] 0f x M f x N? ? ? ? | ( ) |22M N M Nfx ????? () 0()f x NM f x? ?? ? 11()f x N M N???. 0)( ?xf 在 ),( 21 kk 上有且只有一個(gè)實(shí)根 ,與 0)()( 21 ?kfkf 不等價(jià) ,前者是后者的一個(gè) 必要而不是充分條件 .特別地 , 方程 )0(02 ???? acbxax 有且只有一個(gè)實(shí)根在 ),( 21 kk 內(nèi) ,等價(jià)于 0)()( 21 ?kfkf ,或0)( 1 ?kf 且 22 211 kkabk ???? ,或 0)( 2 ?kf 且 221 22 kabkk ???? . 二次函數(shù) )0()( 2 ???? acbxaxxf 在閉區(qū)間 ? ?qp, 上的最值只能在 abx 2?? 處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得，具體如下： (1)當(dāng) a0時(shí)，若 ? ?qpabx ,2 ??? ，則 ? ?m i n m a x m a x( ) ( ) , ( ) ( ) , ( )2bf x f f x f p f qa? ? ?； ? ?qpabx ,2 ??? ， ? ?m a x m a x( ) ( ) , ( )f x f p f q? ， ? ?m in m in( ) ( ) , ( )f x f p f q? . (2) 當(dāng) a0 時(shí) ， 若 ? ?qpabx ,2 ??? ，則 ? ?m in( ) m in ( ) , ( )f x f p f q? ，若 ? ?qpabx ,2 ??? ，則? ?m a x( ) m a x ( ) , ( )f x f p f q? ， ? ?m in( m in ( ) , ( )f x f p f q? . （高中數(shù)學(xué)） 2 依據(jù)：若 ( ) ( ) 0f m f n ? ，則方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ( , )mn 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 . 設(shè) qpxxxf ??? 2)( ，則 （ 1）方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ),( ??m 內(nèi)有根的充要條件為 0)( ?mf 或 2 402pqp m? ????????；（ 2）方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ( , )mn 內(nèi)有根的充要條件為 ( ) ( ) 0f m f n ? 或2( ) 0( ) 0402fmfnpqpmn??? ???? ???? ?? ???或 ( ) 0( ) 0fmaf n ??? ??或 ( ) 0( ) 0fnaf m??? ??； （ 3）方程 0)( ?xf 在區(qū)間 ( , )n?? 內(nèi)有根的充要條件為 ( ) 0fm? 或 2 402pqp m? ???????? . (1)在給定區(qū)間 ),( ???? 的子區(qū)間 L （形如 ? ???, ， ? ??,?? ， ? ???,? 不同）上含參數(shù)的二次不等式( , ) 0f x t ? (t 為參數(shù) )恒成立的充要條件是 m in( , ) 0( )f x t x L??. (2)在給定區(qū)間 ),( ???? 的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式 ( , ) 0f x t ? (t 為參數(shù) )恒成立的充要條件是( , ) 0( )m anf x t x L??. (3) 0)( 24 ???? cbxaxxf 恒成立的充要條件是 000abc????????或2040ab ac??? ???. ｐ ｑ 非ｐ ｐ或ｑ ｐ且ｑ 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 原結(jié)論 反設(shè)詞 原結(jié)論 反設(shè)詞 是 不是 至少有一個(gè) 一個(gè)也沒(méi)有 都是 不都是 至多有一個(gè) 至少有兩個(gè) 大于 不大于 至少有 n 個(gè) 至多有（ 1n? ）個(gè) 小于 不小于 至多有 n 個(gè) 至少有（ 1n? ）個(gè) 對(duì)所有 x ， 成立 存在某 x ， 不成立 p 或 q p? 且 q? 對(duì)任何 x ， 不成立 存在某 x ， 成立 p 且 q p? 或 q? （高中數(shù)學(xué)） 3 原命題 互逆 逆命題 若ｐ則ｑ 若ｑ則ｐ 互 互 互 為 為 互 否 否 逆 逆 否 否 否命題 逆否命題 若非ｐ則非ｑ 互逆 若非ｑ則非ｐ （ 1）充分條件：若 pq? ，則 p 是 q充分條件 . （ 2）必要條件：若 qp? ，則 p 是 q必要條件 . （ 3）充要條件：若 pq? ，且 qp? ，則 p 是 q充要條件 . 注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然 . (1)設(shè) ? ? 2121 , xxbaxx ??? 那么 ? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x? ? ?? ? ?baxfxx xfxf ,)(0)()(2121 在???? 上是增函數(shù)； ? ?1 2 1 2( ) ( ) ( ) 0x x f x f x? ? ? ? ? ?baxfxx xfxf ,)(0)()(2121 在???? 上是減函數(shù) . (2)設(shè)函數(shù) )(xfy? 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果 0)( ??xf ，則 )(xf 為增函數(shù)；如果 0)( ??xf ，則 )(xf 為減函數(shù) . )(xf 和 )(xg 都是減函數(shù) ,則在公共定義域內(nèi) ,和函數(shù) )()( xgxf ? 也是減函數(shù) 。 若 )()( axfxf ??? ,則 函數(shù))(xfy? 為周期為 a2 的周期函數(shù) . 22．多項(xiàng)式函數(shù) 110() nnnnP x a x a x a??? ? ? ?的奇偶性 多項(xiàng)式函數(shù) ()Px是 奇函數(shù) ? ()Px的偶次項(xiàng) (即奇數(shù)項(xiàng) )的系數(shù)全為零 . 多項(xiàng)式函數(shù) ()Px是偶函數(shù) ? ()Px的奇次項(xiàng) (即偶數(shù)項(xiàng) )的系數(shù)全為零 . ()y f x? 的圖象的對(duì)稱性 (1)函數(shù) ()y f x? 的 圖象關(guān)于直線 xa? 對(duì)稱 ( ) ( )f a x f a x? ? ? ? ( 2 ) ( )f a x f x? ? ?. （高中數(shù)學(xué)） 4 (2)函數(shù) ()y f x? 的圖象關(guān)于直線2abx ??對(duì)稱 ( ) ( )f a m x f b m x? ? ? ? ( ) ( )f a b m x f m x? ? ? ?. (1)函數(shù) ()y f x? 與函數(shù) ()y f x??的圖象關(guān)于直線 0x? (即 y 軸 )對(duì)稱 . (2)函數(shù) ()y f mx a??與函數(shù) ()y f b mx??的圖象關(guān)于直線2abx m??對(duì)稱 . (3)函數(shù) )(xfy? 和 )(1 xfy ?? 的圖象關(guān)于直線 y=x對(duì)稱 . )(xfy? 的圖象右移 a 、上移 b 個(gè)單位，得到函數(shù) baxfy ??? )( 的圖象； 若將曲線0),( ?yxf 的圖象右移 a 、上移 b 個(gè)單位，得到 曲線 0),( ??? byaxf 的圖象 . 26． 互 為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的關(guān)系 abfbaf ??? ? )()( 1. )( bkxfy ?? 存在反函數(shù) ,則其反函數(shù)為 ])([1 1 bxfky ?? ? ,并不是 )([ 1 bkxfy ?? ? ,而 函數(shù))([ 1 bkxfy ?? ? 是 ])([1 bxfky ?? 的反函數(shù) . (1)正比例函數(shù) ()f x cx? , ( ) ( ) ( ) , (1 )f x y f x f y f c? ? ? ?. (2)指數(shù)函數(shù) () xf x a? , ( ) ( ) ( ) , (1 ) 0f x y f x f y f a? ? ? ?. (3)對(duì)數(shù)函數(shù) ( ) logaf x x? , ( ) ( ) ( ) , ( ) 1 ( 0 , 1 )f x y f x f y f a a a? ? ? ? ?. (4)冪函數(shù) ()f x x?? , 39。若 )(xf 的值域?yàn)?R ,則 0?a ，且 0?? .對(duì)于 0?a 的情形 ,需要單獨(dú)檢驗(yàn) . 37. 對(duì)數(shù)換底不等式及其推廣 若 0a? , 0b? , 0x? , 1xa?,則函數(shù) log ( )axy bx? (1)當(dāng) ab? 時(shí) ,在 1(0, )a和 1( , )a??上 log ( )axy bx? 為 增函數(shù) . ， (2)當(dāng) ab? 時(shí) ,在 1(0, )a 和 1( , )a?? 上 log ( )axy bx? 為減函數(shù) . 推論 :設(shè) 1nm??， 0p? ， 0a? ，且 1a? ，則 （ 1） log ( ) logm p mn p n? ??. （ 2） 2lo g lo g lo g 2a a a mnmn ??. 38. 平均增長(zhǎng)率的問(wèn)題 如果原來(lái)產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為 N，平均