【正文】 （3）A、B等價(jià)（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：實(shí)對稱矩陣相似必合同，合同必等價(jià)（四）正定二次型與正定矩陣正定的定義二次型xTAx，如果任意x≠0，恒有xTAx＞0，則稱二次型正定，并稱實(shí)對稱矩陣A是正定矩陣?！铮?）正交變換法：通過正交變換x=Qy，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n個(gè)特征值，Q為A的正交矩陣注:正交矩陣Q不唯一，γi與λi對應(yīng)即可。（3）上（下）三角或主對角的矩陣的特征值為主對角線各元素。特征多項(xiàng)式、特征方程的定義：|λEA|稱為矩陣A的特征多項(xiàng)式（λ的n次多項(xiàng)式）。C=（α1，α2，…，αn）1（β1，β2，…，βn）（六）Schmidt正交化1Schmidt正交化設(shè)α1，α2，α3線性無關(guān)（1）正交化令β1=α1（2）單位化線性方程組（一）方程組的表達(dá)形與解向量解的形式：(1)一般形式(2)矩陣形式：Ax=b；(3)向量形式：A=（α1，α2，…，αn）解的定義：若η=（c1，c2，…，）T滿足方程組Ax=b，即Aη=b，稱η是Ax=b的一個(gè)解（向量）（二）解的判定與性質(zhì)齊次方程組：（1）只有零解←→r（A）=n（n為A的列數(shù)或是未知數(shù)x的個(gè)數(shù)）（2）有非零解←→r（A）＜n非齊次方程組：（1）無解←→r（A）＜r（A|b）←→r（A）=r（A）1（2）唯一解←→r（A）=r（A|b）=n（3）無窮多解←→r（A）=r（A|b）＜n解的性質(zhì)：（1）若ξ1，ξ2是Ax=0的解，則k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解（2）若ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，則ξ+η是Ax=b的解（3）若η1，η2是Ax=b的解，則η1η2是Ax=0的解【推廣】（1）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，則k1η1+k2η2+…+ksηs為Ax=b的解（當(dāng)Σki=1）Ax=0的解（當(dāng)Σki=0）（2）設(shè)η1，η2，…，ηs是Ax=b的s個(gè)線性無關(guān)的解，則η2η1，η3η1，…，ηsη1為Ax=0的s1個(gè)線性無關(guān)的解。（2）若n維列向量α1，α2，α3線性無關(guān)，β1，β2，β3可以由其線性表示，即（β1，β2，β3）=（α1，α2，α3）C，則r（β1，β2，β3）=r（C），從而線性無關(guān)。1（二）線性組合和線性表示線性表示的充要條件：非零列向量β可由α1，α2，…，αs線性表示(1)←→非齊次線性方程組（α1，α2，…，αs）（x1，x2，…，xs）T=β有解。B）≤r（A）177。A1(k≠0)（2）（AB）1=B1（二）重要行列式上（下）三角（主對角線）行列式的值等于主對角線元素的乘積副對角線行列式的值等于副對角線元素的乘積乘Laplace展開式：（A是m階矩陣，B是n階矩陣），則n階（n≥2）范德蒙德行列式數(shù)學(xué)歸納法證明★對角線的元素為a，其余元素為b的行列式的值：（三）按行（列）展開按行展開定理：（1）任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各個(gè)元素與另一行（列）對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于0（四）行列式公式行列式七大公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A|總之，數(shù)學(xué)題目千變?nèi)f化，有各種延伸或變式，同學(xué)們要在學(xué)習(xí)過程中一定要認(rèn)真仔細(xì)地預(yù)習(xí)和復(fù)習(xí)，華而不實(shí)靠押題碰運(yùn)氣是行不通的，必須要重視三基，多思多議，不斷地總結(jié)經(jīng)驗(yàn)與教訓(xùn)，做到融會(huì)貫通。三、注重知識點(diǎn)的銜接與轉(zhuǎn)換，知識要成網(wǎng)，努力提高綜合分析能力。這里給出五點(diǎn)建議：一、 線性代數(shù)常常涉及大型數(shù)組，故先將容易的問題搞明白，再解決有難度的問題，例如行列式定義，首先將3階行列式定義理解好，自然可以推廣到n階行列式情形；由低而高 運(yùn)用技巧，省時(shí)不少，無論是行列式還是矩陣，在低階狀態(tài)，找出適合的計(jì)算方法，則可自如推廣運(yùn)用到高階情形；由簡而繁 一些運(yùn)算法則，先試用于簡單情形，進(jìn)而應(yīng)用于復(fù)雜問題，例如，克萊姆法則，線性方程組解存在性判別，對角化問題等等；由淺而深線性代數(shù)中一些新概念如秩，特征值特征向量，應(yīng)當(dāng)先理解好它們的定義，在理解基礎(chǔ)之上，才能深刻理解它們與其他概念的聯(lián)系、它們的作用，一步步達(dá)到運(yùn)用自如境地。線性代數(shù)中常見的證明題型有：證｜A｜＝0；證向量組α1，α2，?αt的線性相關(guān)性，亦可引伸為證α1，α2?，αt是齊次方程組Ax＝0的基礎(chǔ)解系；證秩的等式或不等式；證明矩陣的某種性質(zhì)，如對稱，可逆，正交，正定，可對角化，零矩陣等；證齊次方程組是否有非零解；線性方程組是否有解(亦即β能否由α1，α2?，αs線性表出)；對給出的兩個(gè)方程組論證其同解性或有無公共解；證二次型的正定性，規(guī)范形等。又比如，對于n階行列式我們知道：若｜A｜＝0，則Ax＝0必有非零解，而Ax＝b沒有惟一解(可能有無窮多解，也可能無解)，而當(dāng)｜A｜≠0時(shí)，可用克萊姆法則求Ax＝b的惟一解；可用｜A｜證明矩陣A是否可逆，并在可逆時(shí)通過伴隨矩陣來求A1；對于n個(gè)n維向量α1，α2，?αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2?αn｜是否為零來判斷向量組的線性相關(guān)性；矩陣A的秩r(A)是用A中非零子式的最高階數(shù)來定義的，若r(A)＜r，則A中r階子式全為0；求矩陣A的特征值，可以通過計(jì)算行列式｜λEA｜，若λ＝λ0是A的特征值，則行列式｜λ0EA｜＝0；判斷二次型xTAx的正定性，可以用順序主子式全大于零。線性代數(shù)中運(yùn)算法則多，應(yīng)整理清楚不要混淆，基本運(yùn)算與基本方法要過關(guān)，重要的有：行列式(數(shù)字型、字母型)的計(jì)算，求逆矩陣，求矩陣的秩，求方陣的冪，求向量組的秩與極大線性無關(guān)組，線性相關(guān)的判定或求參數(shù)，求基礎(chǔ)解系，求非齊次線性方程組的通解，求特征值與特征向量(定義法，特征多項(xiàng)式基礎(chǔ)解系法)，判斷與求相似對角矩陣，用正交變換化實(shí)對稱矩陣為對角矩陣(亦即用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形)。線性代數(shù)的概念很多，重要的有：代數(shù)余子式，伴隨矩陣，逆矩陣，初等變換與初等矩陣，正交變換與正交矩陣，秩(矩陣、向量組、二次型)，等價(jià)(矩陣、向量組)，線性組合與線性表出，線性相關(guān)與線性無關(guān)，極大線性無關(guān)組，基礎(chǔ)解系與通解，解的結(jié)構(gòu)與解空間，特征值與特征向量，相似與相似對角化，二次型的標(biāo)準(zhǔn)形與規(guī)范形，正定，合同變換與合同矩陣。一是要會(huì)求特征值、特征向量，對具體給定的數(shù)值矩陣，一般用特征方程 ?OλEA?O=0及（λEA）ξ=0即可，抽象的由給定矩陣的特征值求其相關(guān)矩陣的特征值（的取值范圍），可用定義Aξ=λξ，同時(shí)還應(yīng)注意特征值和特征向量的性質(zhì)及其應(yīng)用，二是有關(guān)相似矩陣和相似對角化的問題，一般矩陣相似對角化的條件。在 Rn中，基、坐標(biāo)、基變換公式，坐標(biāo)變換公式，過渡矩陣，線性無關(guān)向量組的標(biāo)準(zhǔn)正交化公式，應(yīng)該概念清楚，計(jì)算熟練，當(dāng)然在計(jì)算中列出關(guān)系式后，應(yīng)先化簡，后代入具體的數(shù)值進(jìn)行計(jì)算。例如在解矩陣方程中，首先進(jìn)行矩陣的符號運(yùn)算，將矩陣方程化簡，然后再代入數(shù)值，算出具體的結(jié)果，矩陣的求逆（包括簡單的分塊陣）（或抽象的，或具體的，或用定義，或是用公式 A1= 1 A*，或 A用初等行變換），A和A*的關(guān)系，矩陣乘積的行列式，方陣的冪等也是?？嫉膬?nèi)容之一。把我們手頭上的事做好才是最關(guān)鍵，我還是喜歡軍訓(xùn)中我的那個(gè)“胖胖”所說的話：“一個(gè)蘿卜，一個(gè)坑”，一步一個(gè)腳印，腳踏實(shí)地。這其實(shí)就是一道最簡單的線性代數(shù)題了，設(shè)x代表小雞，y代表公雞，z代表母雞：則根據(jù)題意有線性方程組x3+3y+5z=100x+y+z=100解此線性方程組得x=3z/4+75y=7z/4+25 z=z用z作為循環(huán)變量控制，這個(gè)程序不到十行就可以編出來。一個(gè)人的解決問題的能力應(yīng)該和他所掌握的知識成正比。其實(shí)，就是學(xué)會(huì)如何去操作，這是我們掌握數(shù)學(xué)工具的使用方法的重要途徑，所以這部分的工作是我們的學(xué)習(xí)中心和重點(diǎn)。總之，我們現(xiàn)在要為以后遇到問題而積累解決問題的方法，我們現(xiàn)在是在為以后的人生在打基礎(chǔ)。其實(shí)這一點(diǎn)和第一點(diǎn)有點(diǎn)重復(fù)。所以我們要想把知識學(xué)好，就得在概念上下功夫。只能我們明白我們自己要學(xué)習(xí)什么之后，我們才會(huì)有動(dòng)力去學(xué)習(xí)，在我們的大學(xué)里，有些同學(xué)不明白學(xué)習(xí)課本知識有何作用，認(rèn)為學(xué)習(xí)與不學(xué)習(xí)沒有什么區(qū)別，或者認(rèn)為學(xué)習(xí)課本知識沒有多大的作用，就干脆不學(xué)（當(dāng)然我在這里沒有貶低任何人的意思）。從這門課程中，我們學(xué)會(huì)的不僅僅是線性代數(shù)的一些相關(guān)知識（行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面的系統(tǒng)知識），更重要的是，從這門課程中我們應(yīng)該掌握一種很重要的思想——學(xué)習(xí)如何去使用工具的方法。這門課程的學(xué)習(xí)目標(biāo)：《線性代數(shù)》是物理系等專業(yè)的一門重要的基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得線性代數(shù)的基本思想方法和行列式、線性方程組、矩陣論、二次型、線性空間、線性變換等方面 的系統(tǒng)知識，它一方面為后繼課程（如離散數(shù)學(xué)、計(jì)算方法、等課程）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識；另一方面還對提高學(xué)生的思維能力，開發(fā)學(xué)生智能、加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識、基本理論、基本理論）及培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造型能力，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維和邏輯推理能力等重要作用。2．用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。引入特征值和特征向量的概念是為了方便討論矩陣的相似對角化。3．矩陣可相似對角化的條件包括兩個(gè)充要條件和兩個(gè)充分條件。本章知識要點(diǎn)如下： 1．特征值和特征向量的定義及計(jì)算方法 就是記牢一系列公式如、和。4．關(guān)于秩的一些結(jié)論： 1）； 2）； 3）； 4）；5）若有、滿足，則 ； 6）若 是可逆矩陣則有 ； 7）若 可逆則有 ； 8）。3）若 線性無關(guān)，而 線性相關(guān)，則向量 可由向量組 線性表示，且表示法唯一。應(yīng)記住的一些性質(zhì)與結(jié)論 1．向量組線性相關(guān)的有關(guān)結(jié)論：1）向量組 線性相關(guān)243。 可由克萊姆法則判斷有唯一解，而 僅有零解 對于一般矩陣 則有： 243。 有：方陣 可逆243。當(dāng) 時(shí)，的列向量組 線性相關(guān)，此時(shí)齊次線性方程組 有非零解，且齊次線性方程組 的解向量可以通過 個(gè)線性無關(guān)的解向量（基礎(chǔ)解系）線性表示?？梢栽O(shè)想線性相關(guān)無關(guān)的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。1）齊次線性方程組與線性相關(guān)、無關(guān)的聯(lián)系齊次線性方程組 可以直接看出一定有解，因?yàn)楫?dāng) 時(shí)等式一定成立；印證了向量部分的一條性質(zhì)“零向量可由任何向量線性表示”。向量與線性方程組的內(nèi)容聯(lián)系很密切，很多知識點(diǎn)相互之間都有或明或暗的相關(guān)性。對于抽象行列式的求值，考點(diǎn)不在求行列式，而在于、等的相關(guān)性質(zhì)，及性質(zhì)（其中 為矩陣 的特征值）。復(fù)習(xí)線代時(shí)，要做到“融會(huì)貫通”。第二篇：線性代數(shù)總結(jié)線性代數(shù)總結(jié) [轉(zhuǎn)貼 20080504 13:04:49]字號：大 中 小線性代數(shù)總結(jié)一、課程特點(diǎn)特點(diǎn)一：知識點(diǎn)比較細(xì)碎。且初等矩陣的逆矩陣仍是初等矩陣。 初等矩陣都是可逆的。 方正A可逆的充分必要條件是A可以寫成有限個(gè)初等矩陣的乘積。這種聯(lián)系不僅僅是指在后面幾章中用到前兩章行列式和矩陣的相關(guān)知識，更重要的是在于不同章節(jié)中各種性質(zhì)、定理、判定法則之間有著相互推導(dǎo)和前后印證的關(guān)系。行列式的核心內(nèi)容是求行列式，包括具體行列式的計(jì)算和抽象行列式的計(jì)算，其中具體行列式的計(jì)算又有低階和 階兩種類型；主要方法是應(yīng)用行列式的性質(zhì)及按行列展開定理化為上下三角行列式求解。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性