【正文】 ； (2) 由 CD 是 ⊙ O 的直徑，即可得 ∠ DAC ＝ 90 176。 湛江 ] 如圖 29 － 1 ，已知點 E 在直角 △ ABC 的斜邊 AB 上，以 AE 為直徑的 ⊙ O 與直角邊 BC 相切于點 D . ( 1) 求證： AD 平分 ∠ BAC ； ( 2) 若 BE ＝ 2 ， BD ＝ 4 ，求 ⊙ O 的半徑． 圖 29 － 1 第 29講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] (1) 先連 接 OD ，則 OD ⊥ BC ，且 AC ⊥ BC ，再由平行從而得證； (2) 設(shè)圓的半徑為 R ，在 Rt △ BOD 中利用勾股定理即可求出半徑． 第 29講 ┃ 歸類示例 解： (1) 證明： 連 接 OD ， ∵ BC 與 ⊙ O 相切于點 D ， ∴ OD ⊥ BC . 又 ∵∠ C ＝ 90 176。 . 第 29講 ┃ 直線和圓的位置關(guān)系 第 29講 ┃ 考點聚焦 考點聚焦 考點 1 直線和圓的位置關(guān)系 ( 1) 直線 l 和 ⊙ O 相交 ? ________ ( 2) 直線 l 和 ⊙ O 相切 ? ________ 設(shè) ⊙ O 的半徑為 r ，圓心 O 到直線 l 的距離為 d ，那么 ( 3) 直線 l 和 ⊙ O 相離 ? ________ dr d＝ r dr 第 29講 ┃ 考點聚焦 考點 2 圓的切線 切線的性質(zhì) 圓的切線 __ ______ 過切點的半徑 推論 (1) 經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必過________ (2) 經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必過________ 切線的判定 (1) 和圓有 _ _______ 公共點的直線是圓的切線 (2) 如果圓心到一條直線的距離等于圓的________ ，那么這條直線是圓的切線 (3 ) 經(jīng)過半徑的外端并且 ________ 這條半徑的直線是圓的切線 常添輔助線 連 接 圓心和切點 垂直于 切點 圓心 唯一 半徑 垂直于 第 29講 ┃ 考點聚焦 考點 3 三角形的內(nèi)切圓 三角形的 內(nèi)切圓 與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，這個三角形叫圓的外切三角形 三角形 的內(nèi)心 三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．它是三角形 ____ ________ ____ 的交點，三角形的內(nèi)心到三邊的 ________ 相等 三條角平分線 距離 第 29講 ┃ 考點聚焦 規(guī)律清單 ⊙ I 內(nèi)切于 △ ABC ，切點分別為 D 、 E 、 F ，如圖．則( 1) ∠ B I C ＝ 90 176。 . ∴∠ C P B ＝ ∠ CAB ＝ 60 176。 . 又 ∵∠ CAB ＝ ∠ DPC ， ∴△ PC D ∽△ ABC . (2) 如圖，當(dāng)點 P 運動到 PC 為直徑時， △ PC D ≌△ ABC . 理由如下： ∵ PC 為直徑， ∴∠ PB C ＝ 90 176。 湘潭 ] 如圖 28 － 4 ，在 ⊙ O 上位于直徑 AB 的異側(cè)有定點 C 和動點 P ， AC ＝12AB ，點 P 在半圓弧 AB 上運動 ( 不與 A 、B 兩點重合 ) ，過點 C 作直線 PB 的垂線 CD 交 PB 于 D 點． (1) 如圖 ① ，求證： △ PCD ∽△ ABC ； (2) 當(dāng)點 P 運動到什么位置時， △ PCD ≌△ ABC ？請在圖 ② 中畫出 △ PCD ，并說明理由； (3) 如圖 ③ ，當(dāng)點 P 運動到 CP ⊥ AB 時，求 ∠ BCD 的度數(shù)． 圖 28 － 4 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] (1) 由 AB 是 ⊙ O 的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，即可得 ∠ ACB ＝ 90 176。 D 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 先根據(jù)弦 AB ∥ CD 得出 ∠ ABC ＝ ∠ BCD ＝ 40 176。 ，則 ∠ BOD ＝ ( ) 圖 28 － 3 A. 20 176。 資陽 ] 直角三角形的兩邊長分別為 16 和12 ，則此三角形的外接圓半徑是 ________ ． 10或 8 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 直角三角形的外接圓圓心是斜邊的中點，那么半徑為斜邊的一半，分兩種情況： ① 當(dāng)直角三角形的斜邊長為 16 時，這個三角形的外接圓半徑為 8 ； ② 當(dāng)兩條直角邊長分別為 16 和 12 時，則直角三角形的斜邊長為 162＋ 122＝ 20 ，因此這個三角形的外接圓半徑為 10. 綜上所述：這個三角形的外接圓半徑等于 8 或 10. ? 類型之二 垂徑定理及其推論 第 28講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 垂徑定理的應(yīng)用； 2. 垂徑定理的推論的應(yīng)用 ． [ 2021 的圓周角所對的弦是 ______ 推論 3 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是 ________ 三角形 相等 一半 相等 直角 直徑 直角 第 28講 ┃ 考點聚焦 考點 8 圓內(nèi)接多邊形 圓內(nèi)接多邊形 如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，這個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形 ． 這個圓叫做這個多邊形的外接圓 圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 圓內(nèi)接四邊形的對角 ______ 互補 第 28講 ┃ 考點聚焦 考點 9 反證法 定義 不直接從命題的已知得出結(jié)論，而是假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾 斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法 步驟 ( 1 ) 假設(shè)命題結(jié)論的反面是正確的，即提出與命題結(jié)論相反的假設(shè)； ( 2 ) 從假設(shè)的結(jié)論出發(fā)，通過邏輯推理、推出與公理，已知的定理、定義或已知條件相矛盾； ( 3 ) 由矛盾的結(jié)果說明假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論正確 第 28講 ┃ 歸類示例 歸類示例 ? 類型之一 確定圓的條件 命題角度： 1. 確定圓的圓心、半徑； 2. 三角形的外接圓圓心的性質(zhì) ． [ 2021 湘潭 ] 如圖 28 － 3 ，在 ⊙ O 中，弦 AB ∥ CD ，若∠ ABC ＝ 40 176。 D. 80 176。 . 第 28講 ┃ 歸類示例 圓周角定理及其推論建立了圓心角、弦、弧、圓周角之間的關(guān)系，最終實現(xiàn)了圓中的角 ( 圓心角和圓周角 ) 的轉(zhuǎn)化． ? 類型之五 與圓有關(guān)的開放性問題 第 28講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1. 給定一個圓，自由探索結(jié)論并說明理由； 2. 給定一個圓，添加條件并說明理由 ． 第 28講 ┃ 歸類示例 [ 2021 ，通過證 △ P CB為等邊三角形，由 CD ⊥ PB ，即可求出 ∠ BCD 的度數(shù)． 第 28講 ┃ 歸類示例 解： (1) 證明： ∵ AB 為直徑， ∴∠ ACB ＝ ∠ D ＝ 90 176。 ， ∠ CAB ＝ 60 176。 ， ∴△ P B C 為等邊三角形 ． 又 CD ⊥ PB ， ∴∠ BCD ＝ 30 176。 無錫 ] 已知 ⊙ O 的半徑為 2 ，直線 l 上有一點 P 滿足 PO ＝ 2 ，則直線 l 與 ⊙ O 的位置關(guān)系是 ( ) A ． 相切 B ．相離 C ． 相離或相切 D ． 相切或相交 D 第 29講 ┃ 歸類示例 [ 解析 ] 分 OP 垂直于直線 l ， OP 不垂直于直線 l 兩種情況討論． 當(dāng) OP 垂直于直線 l 時，即圓心 O 到直線 l 的距離 d ＝ 2 ＝ r ， ⊙ O 與 l 相切； 當(dāng) OP 不垂直于直線 l 時，即圓心 O 到直線 l 的距離 d 2 ＝ r ， ⊙ O 與直線 l 相交． 故直 線 l 與 ⊙ O 的位置關(guān)系是相切或相交． 第 29講 ┃ 歸類示例 在判斷直線與圓的位置關(guān)系的時候可以根據(jù)定義法，也可以利用圓心到直線的距離與圓的半徑的大小關(guān)系進行比較，在判斷其關(guān)系時要結(jié)合題目的已知條件選擇正確的方法 ． ? 類型之二 圓的切線的性質(zhì) 第 29講 ┃ 歸類示例 命題角度： 1.