20xx高中數(shù)學(xué)人教a版必修四第三章 1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 練習(xí)題含答案-全文預(yù)覽
【正文】 π )， sin θ ＋ cos θ ＝ 3－ 12 ， 則 tan θ 的值為 ________． (3)已知 sin α ＋ cos α ＝－ 13， 其中 0απ ， 求 sin α － cos α 的值 ． 解： (1)選 sin2α ＋ cos2α ＝ 1， 得 （ m－ 3）2132 ＋（ 4－ 2m） 2132 ＝ 1， 解得 m＝ 8 或 m＝－ 185 .當(dāng) m＝－ 185 時(shí) ， sin α 0， 故舍去；當(dāng) m＝ 8 時(shí) ， 滿(mǎn)足條件 ． 故選 B. (2)將 sin θ ＋ cos θ ＝ 3－ 12 兩邊平方 ， 得 1＋ 2sin θ cos θ ＝ 1－ 32 ， 即 sin θ cos θ＝－ 34 . 因?yàn)?θ∈ (0， π )， 所以 sin θ 0， 又 sin θ cos θ 0， 所以 θ∈ ?? ??π 2 ， π ， 則 sin θ 0，cos θ 0， 故 sin θ － cos θ ＝ 1－ 2sin θ cos θ ＝ 3＋ 12 ， 綜合已知可得 sin θ ＝ 32 ， cos θ ＝－ 12， 所以 tan θ ＝－ － 3. (3)因?yàn)?sin α ＋ cos α ＝－ 13， 所以 (sin α ＋ cos α )2＝ 19， 所以 1＋ 2sin α cos α ＝ 19，所以 sin α cos α ＝－ 0απ 且 sin α cos α 0， 所以 sin α 0， cos α 0， 所以 sin α － cos α (sin α － cos α )2＝ 1－ 2sin α cos α ＝ 179 ， 所以 sin α － cos α ＝ 173 . 1． 已知 α是第四象限角 ， tan α ＝－ 512， 則 sin α ＝ ( ) B． － 15 C. 513 D． － 513 解析： 選 tan α ＝ sin αcos α ＝－ 512， sin2α ＋ cos2α ＝ 1， 所以 sin α ＝ 177。 － sin 40176。 － cos 40176。 － cos 40176。 cos 40176。 － 1－ cos240176。 1－ cos x|sin x| ＝ sin x|sin x| ＝?????1， x∈ ?? ??2kπ ， 2kπ ＋ π2 ∪ ?? ??2kπ ＋ π 2 ， 2kπ ＋ π（ k∈ Z） ，－ 1， x∈ ?? ??2kπ ＋ π ， 2kπ ＋ 3π2 ∪ ?? ??2kπ ＋ 3π2 ， 2kπ ＋ 2π（ k∈ Z） . 若把本例 (1)中 “ α 為第二象限角 ” 改為 “ α 為第四象限角 ” ， 則結(jié)果如何？ 解： 由上面化簡(jiǎn)過(guò)程知 sin2α － sin4α ＝ |sin α cos α |. 因?yàn)?α為第四象限角 ， 所以 sin α 0， cos α 0， 所以 |sin α cos α |＝－ sin α cos α ， 所以 sin2α － sin4αcos α ＝－ sin α cos αcos α ＝－ sin α . 方法歸納 (1)三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法 對(duì)于三角函數(shù)式的化簡(jiǎn) ， 其本質(zhì)是一種不指定答案的恒等變形 ， 體現(xiàn)了由繁到簡(jiǎn)的最基本的數(shù)學(xué)解題原則 ， 因此 ， 不僅要熟悉和靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式 ， 還要熟悉并靈活應(yīng)用這些公式的等價(jià)變形 ． (2)對(duì)三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則 ① 使三角函數(shù)式的 次數(shù)盡量低； ② 使式中的項(xiàng)數(shù)盡量少； ③ 使三角函數(shù)的種類(lèi)盡量少； ④ 使式中的分母盡量不含有三角函數(shù)； ⑤ 使式中盡量不含有根號(hào)和絕對(duì)值符號(hào)； ⑥ 能求值的要求出具體的值 ， 否則就用三角函數(shù) 式來(lái)表示 ． 2． (1)已知 sin θ 0， tan θ 0， 則 1－ sin2θ 化簡(jiǎn)的結(jié)果為 ( ) A． cos θ B． － cos θ C． 177。 cos2α ＝ |sin α cos α |. 因?yàn)?α為第二象限角 ， 則 cos α 0， sin α 0， 則 |sin α cos α |＝－ sin α cos α ， 所以原式＝－ sin α . (2)由于 tan α 2－ 36＋ 2179。 ??? ???－ 110 － 9179。 110－ 9179。 3 1010 C． － 3 1010 D． － 1010 (2)已知 tan α ＝ 3， 則 2sin2α ＋ 4sin α cos α － 9cos2α 的值為 ( ) A． 3 B． 2110 D． 130 (3)已知 tan θ ＝ 2， 求： ① cos θ ， sin θ ； ② 4sin θ － 3cos θ6cos θ ＋ 2sin θ . 解： (1)選 tan α ＝ sin αcos α ＝ 13， 故 cos α ＝ 3sin α ， 代入 sin2α ＋ cos2α ＝ 1得 sin2α ＝ 110， 因?yàn)?α為第三象限的角 ， 所以 sin α ＝－ 1010 ， 故 cos α ＝ － 3 1010 . (2)選 ： 因?yàn)?tan α ＝ 3， 即 sin αcos α ＝ 3， 所以 sin α ＝ 3cos α . 又因?yàn)?sin2α ＋ cos2α ＝ 1， 所以 cos2α ＝ 110， 所以 cos α ＝ 177。 cos α ＝ (－ 2)179。 (4)179。 第三章 三角恒等變形 167。 (3)179。 ??? ???－ 55 ＝ 2 55 . 當(dāng) α為第四象限角時(shí) ， cos α 0， 所以 cos α ＝ 11＋ tan2α ＝ 11＋（－ 2） 2＝ 55 ， 所以 sin α ＝ tan α 1－ cos2α 時(shí) ， 要根據(jù)角 α所在的象限 ， 恰當(dāng)選定根號(hào) 前面的正負(fù)號(hào) ． 這類(lèi)題通常有下列幾種情況： (1)如果已知三角函數(shù)的值 ， 而且角的象限已被指定 ， 那么只有一組解 ． (2)如果已知三角函數(shù)的值 ， 但 沒(méi)有指定角在哪個(gè)象限 ， 那么由已知三角函數(shù)值確定角可能在的象限 ， 然后再求解 ， 這種情況一般有兩組解 ． (3)如果所給的三角函數(shù)值是用字母表示的 ， 且沒(méi)有指定角在哪個(gè)象限 ， 則需要進(jìn)行討論 ． 1． (1)已知 α為第三象限的角 ， 且 tan α ＝ 13， 則 cos α 的值為 ( ) 1010 B． 177。 310179。 ??? ???－ 310 179。 3－ 932＋ 1 ＝2110. (3)① 由題意得 ?????tan θ ＝ 2，sin2θ ＋ cos2θ ＝ 1， 即 ?????sin θcos θ ＝ 2，sin2θ ＋ cos2θ ＝ 1. 所以?????sin θ ＝ 2cos θ ，sin2θ ＋ cos2θ ＝ 1， 所以 4cos2θ ＋ cos2θ ＝ 1， 即 cos2θ ＝ 15， 若 θ為第一象限角 ， 則 cos θ ＝ 55 ， sin θ ＝ 2 55 . 若 θ為第三象限角 ， 則 cos θ ＝－ 55 ， sin θ ＝－ 2 55 . ② 原式＝ 4tan θ － 36＋ 2t
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