高中數學北師大版選修2-1第二章《第二課時 直線與平面的夾角》-全文預覽
【正文】 AB| ＝－ 12 1AB|1AO||1AB| ＝1 ＋12??????－122＋ 12＋??????－122 5 第二課時 把握 熱點考向 應用創(chuàng)新演練 考點一 考點二 理解教材新知 第二課時 直線與平面的夾角 在上節(jié)研究的山體滑坡問題中， A、 B兩點到直線 l(水平地面與山坡的交線 )的 距離分別為 AC和 BD，直線 BD與地面 ACD的夾角為 φ. 問題 1 ： φ 與〈 CA ， DB 〉有什么關系？ 提示： φ ＝ π －〈 CA ， DB 〉． 問題 2 ： φ 與〈 DB ， n 〉有何關系？ ( n 為地面法向量 ) 提示： φ ＝π2－〈 DB ， n 〉或 φ ＝〈 DB ， n 〉－π2，即 s in φ ＝ | c os 〈 BD ， n 〉 |. 直線與平面的夾角 ( 1) 一條直線與它在該平面內的 的夾角叫作該直線與此平面的夾角． ( 2) 如果一條直線與一個平面垂直，這條直線與平面的 夾角為 . ( 3) 如果一條直線與一個平面平行或在平面內，這條直線與平面的夾角為 . 平面外 投影 π2 0 ( 4) 設直線 l 的方向向量為 a ，平面 α 的法向量為 n ， l 與α 的夾角為 θ ，則， 當〈 a ， n 〉 ≤π2時， θ ＝ ； 當〈 a ， n 〉 π2時， θ ＝ . 即 sin 〈 a ， n 〉＝ . π2 －〈 a ， n 〉 |cos〈 a， n〉 | 〈 a ， n 〉－π2 ( 1) 直線與平面夾角范圍是??????0 ，π2； ( 2) 求直線與平面夾角 θ 時，可用定義求解；也可用直線的方向向量 s 、平面的法向量 n 的夾角進行求解，但要注意 sin θ ＝ | c os 〈 s ， n 〉 |. [例 1] 在正方體 AC1中，試求直線 A1B與平面A1B1CD的夾角． [思路點撥 ] 建立空間直角坐標系，得到相關點的坐標，準確找出 A1B在平面 A1B1CD內的投影，利用空間向量的數量積可求夾角．也可利用直線 A1B的方向向量與平面 A1B1CD的法向量的夾角求解． [精解詳析 ] 法一： 如圖以 D為原點， 分別以 DA、 DC、 DD1所在直線為 x軸、 y軸、 z軸建立空間直角坐標系． 設正方體 AC1的棱長為 1， 則 A(1,0,0)， B(1,1,0)， C(0， 1,0)， D(0,0,0)， A1(1,0,1)，B1(1,1,1)． 連接 BC1， CB1相交于點 O，則 BO⊥ B1C， BO⊥ A1B1，B1C∩A1B1＝ B1. ∴ BO⊥ 平面 A1B1CD， A1O就是 A1B在平面 A1B1CD上的投影，故 ∠
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