【正文】 1） G的單位元 e的像 f(e)是 G’的單位元 e’，即 f(e) = e’． 2） G的任意元 a的逆元 a－１ 的像 f(a?1)是 f(a)的逆元，即 f(a?1) = f(a) ?1． 3） G在 f下的像的集合 {f(a)?a?G} 是 G’的子群，稱為 f的 像子群 ．當(dāng) f是滿同態(tài)時，像子群就是 G’本身． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 證明 1）：由于 f(e)f(e) = f(e2) = f(e)， 兩邊同乘 f(e) ?1，得 f(e) = e’． 2） ? a?G有 f(a?1)f(a) = f(a ? １ a) = f(e) = e’ 所以 f(a)?1 = f(a?1) ． 3）如果 a’， b’ ?{f(a)?a?G}，設(shè) a’ = f(a)， b’ = f(b)，則 a’ b’ ?1 = f(a) f(b)?1 = f(a) f(b?1) = f(ab?1)?{f(a)?a?G}= G’ ， 由定理 ，得 {f(a)?a?G}是 G’的子群． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 定義 設(shè) G和 G’是兩個群，如果存在一個 G到G’的同構(gòu)映射，則稱 G與 G’ 同構(gòu) ，記為 G ? G’．如果 G = G’，則稱 G自同構(gòu) ． 例 整數(shù)加法群 Z和偶數(shù)加法群 E同構(gòu)． 例 實數(shù)加法群 R和正實數(shù)乘法群 R+同構(gòu)．同構(gòu)映射為 f(a) = ea． 例 任意一個二階群都與乘法群 {1， ?1}同構(gòu)． 證明 ：設(shè)一個任意二階群為 A={e， a}， e為單位元．構(gòu)造如下 A到乘法群 {1， ?1}的映射： f： e?1， b? ?1 顯然 f是同構(gòu)映射，于是 A與乘法群 {1， ?1}同構(gòu)． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)和同構(gòu) 可以看出，群的同構(gòu)具有反身性，對稱性和傳遞性，即它是等價關(guān)系： 1） G ? G； 2）由 G ? G’可推出 G’ ? G； 3）由 G ? G’和 G’ ? G’’可推出 G ? G’’． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)映射的核 假設(shè) f是 G到 G’的同態(tài)映射． ? a’ ?G’，集合 {a? f(a) = a’ ,a?G} 可能是空集，也可能包含一個以上的元素（當(dāng) f不是單射時可能有多個元素）．我們稱這個集合是 a’的 完全反像 ．特別地，單位元的完全反像稱為 同態(tài)映射 f的核 ，記為 ker(f)，即 ker(f) = {a? a?G ,f(a) = e’ }= f 1(e’ ) ． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)映射的核 定理 ker(f)是 G的子群，稱為 f的 核子群 ． 證明 由于一定有 e?ker(f)，所以 ker(f)不會是空集．如果 a， b?ker(f)，則 f(a) = e’， f(b) = e’， f(b) ?1 = (e’ ) ?1= e’， 于是 f(ab?1) = f(a)f(b?1) = f(a)f(b)?1 = e’ e’ = e’， 所以 ab?1?ker(f)，故 ker(f)是 G的子群． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)映射的核 定理 3 G到 G’的同態(tài)映射 f是單同態(tài)的充分必要條件是 ker(f) = {e}，即核子群只含有單位元． 證明 先證充分條件． 用反證法．如果 ker(f) = {e}，但存在 a， b?G， a ? b，有 f(a) = f(b)， 于是 f(a)f(b)?1 = e’，由于 f是同態(tài)，則 f(ab?1) = e’． 而由 a ? b，有 ab?1 ? e，這與 ker(f) = {e}矛盾，故 f是單射，因而是單同態(tài)． 必要條件證明：由于 e?ker(f)，如果 ker(f)還包含其他元素，則 f不是單射，故 ker(f) = {e}． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 同態(tài)映射的核 同態(tài)映射和核子群、像子群的關(guān)系可以形象地表示如圖 ． e’ ker(f) 像子群 G’ G f 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 變換群與置換群 變換是一個集合到自身的映射． 例 實數(shù)集合 R到 R的一個變換 f：對于 ? a?R， f(a) ＝ a2． 例 集合 A = {1， 2}，它的全部變換為： f1： 1?1， 2?1， f2： 1?2， 2?2， f3： 1?1， 2?2， f4： 1?2， 2?1． 其中 f3和 f4是一一變換． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 變換群 我們規(guī)定集合 A上的兩個 變換 f和 g的乘法 (變換的復(fù)合 )如下： ? a?R， fg(a) = f(g(a))． 例 集合 A = {1， 2， 3， 4}．設(shè)變換 f為： 1?2， 2?4， 3?1， 4?3． 變換 g為： 1?3， 2?1， 3?2， 4?4． 則 fg為： 1?1， 2?2， 3?4， 4?3． 定義 一個集合的若干變換如果對于變換的乘法構(gòu)成群，則稱為 變換群 ． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 變換群 定理 （ Cayley定理） 任何一個群都同構(gòu)于一個變換群． 證明 證明的思路是對于任意一個群，我們構(gòu)造出與之同構(gòu)的一個變換群． 設(shè) G是一個群，我們構(gòu)造一個變換集合 T如下： T = {?x?G， f(x) = ux | u?G} 我們可以證明 T是一個一一變換群 現(xiàn)在我們構(gòu)造 G到 T的同構(gòu)映射．我們建立一個 G到 T的映射如下： ?： ?a?G， a?(?x?G， f(x) = ax) 對于 a， b?G， ?(ab) = (?x?G， f(x) = abx) = ?(a)?(b)， ?是一個同構(gòu)映射，所以 G與 T同構(gòu)． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 變換群 例 構(gòu)造與非零實數(shù)乘法群 R*＝ R\{0}同構(gòu)的變換群． R*的變換集合 T = {?x? R*， f(x) = ux | u? R*}是一個變換群． R*到 T的同構(gòu)映射： ?： ?a? R*， a?(?x? R*， f(x) = ax)． T與 R*同構(gòu)． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 置換群 定義 一個有限集合的一一變換稱為 置換 ． 設(shè)一個有限集合 A有 n個元素， A = {a1， a2， a3， ?， an}， 則一個置換 ?可以表示為： ai? ， i = 1， 2， 3， … ， n 也可表示為： 如果抽掉元素的具體內(nèi)容，置換 ?還可表示為： 實際上，第一行元素的任意一個排列都是一種表示，但一般情況下我們還是用 (1， 2， 3， … ， n)次序表達(dá)． 1212nnkkk?????? 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 置換群 例 n = 3，置換 ?： a1? a2， a2? a3， a3? a1 于是 一個有限集合的若干置換構(gòu)成的群稱為置換群． 電子科技大學(xué) 計算機(jī)科學(xué)與工程學(xué)院 UESTC Press 第二章 群 置換群 定理 一個有限集合的所有置換對于變換的乘法構(gòu)成一個群． 證明 設(shè)一個有限集合 A的所有置換的集合為 S． 假設(shè) f， g?S，對于任意 a， b?A，如果 a ? b，則有 g(a) ? g(b)， f(g(a)) ? f(g(b))， fg(a) ? fg(b) 所以 fg是單射，又由于 g和 f是滿射，因此 fg也是滿射，故 fg是一一變換， S對于乘法是封閉的． 假設(shè) f， g， h?S，對于任