【正文】 為：LXi，i=1，2，…，N。變分運算屬于變合運算的逆運算，相當于對基箱面或基箱體的分解，可將均勻或不均勻空間分解為不均勻或均勻空間。當變值系數恒為1時，二者完全相同。設原變值系數為：KX0i=KX0i(Yi)和KY0i=KY0i(Xi),則新變值系數為: KXi(Y)= TXiKX0i(TYiYi)和KYi(X)=TYiKY0i(TXiXi)仿照上述二元通基變換可得三元和三元以上的通基系數為：TXi=LXi/LX，TYi=LYi/LY，TZi=LZi/LZ，…；進而可得對應通基函數為：Hi=Hi(X,Y,Z,…)=H0i(Xi,Yi,Zi,…)=H0i(TXiX,TYiY,TZiZ ,…), （7）以上通基變換可使異基函數變?yōu)橥瘮?，但通常難以使異系函數變?yōu)橥岛瘮怠Ｍɑ鶗r，可先采用同時縮小之法求出通基前后的基距之比（可叫通基系數，一般為常數），即：TXi=LXi/LX=Xi/Xi=KX/KX0，亦即：LX=LXi/TXi或LXi=TXiLX，X=Xi/TXi或Xi=TXiX，KX=TXKX0或KX0=KX/TX。通基變換常采用自變量與其基距同時縮小之法（也可采用同時擴大之法）。注意通基后變值系數的求法與一元的區(qū)別即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/KY，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、KY=KY0/TY或KY0=TYKY。進而可得一元變基函數為：H=H0(X0)=H0(X/TX)=H(X)或H=H(X)=H(TXX0)=H0(X0), （3）上式中的H0(X0)與H(X)互為一元變基函數，當以X0和X=TXX0分別代入H=H0(X0)和H=H(X)式時可得到相同的H值。若同時擴大，則變基系數=新基距/原基距=原基值單位/新基值單位=原變值系數/新變值系數；若同時縮小，則變基系數為同時擴大時的倒數（常用于通基變換）。（2）變基運算：變基運算是指改變基值單位或基箱體的基距時對變值函數進行恒等變換的一種運算。此時，自變量取值和基距數值同時擴大了TX 倍，但變值系數縮小了TX；另當X/=X/TX，B/=TXB時，則自變量取值和基距數值同時縮小了TX 倍，但變值系數擴大了TX。現將變值函數的部分算法作一簡要說明，其中，包含積分運算的有關算法只限于正箱坐標系（與斜箱坐標系對應的積分運算目前尚不成熟）。這些擴展算法與等值算法的根本區(qū)別在于變值系數不再恒為1，其中，尤其是各種異基四則運算（基距不同的四則運算）和各種積分運算等，更是變值算法所特有。在以上三種求法中，直接推導法的實質屬于常規(guī)方法，其它兩種求法為變值函數所特有，但當變值系數全為1時則同樣屬于常規(guī)方法。當變換后的函數項（因變量）的變值系數（新變系數）為1時，則得到變值函數（此時，若坐標系隨之而變，則變?yōu)榈戎底鴺讼岛偷戎岛瘮担?；若函數項的新變系數不?，則得到相應變值坐標系的基值函數。當變值系數的確定比較合理時，其基值函數通常均較簡單，這里需要搞清函數（因變量）與自變量、各變量與變值系數的相互對應。其中，線性扭面方程為四項，由此可知，當變質系數一定時，線性扭面可由四點確定。（1）直接推導法：本法是指通過適當的數學推導直接求出變值函數的方法。由于變值函數和基值函數是對等值函數的繼承和擴展，因此，只要熟悉后者的有關求法和算法并對前者的有關思路和方法有所了解，則對其掌握和運用將并非難事，但應注意兩者的異同。其中，等值函數可視為變值函數和基值函數的一種特例（即變值系數恒為1），因此，后者是對前者的繼承和擴展。不僅如此，上述箱變坐標系（基值單位處處相等，可叫等基變值坐標系）還可擴展為變基變值坐標系（基值單位處處可變，如同沿坐標軸做變速運動的速度一樣），從而更能揭示物質空間的動態(tài)性和時空之間的動態(tài)對應等客觀世界的根本規(guī)律。二者的根本區(qū)別在于坐標系數：后者恒為常數1（無須標注），故只有三個構成要素；前者可為某一函數（須做標注），故須有四個構成要素。另當高距和寬距系數均為常數1時，則箱面坐標系變?yōu)槌Ｒ?guī)的平面直角坐標系。設定法（無基箱體時）可根據實際需要直接將坐標系數設定為首項為1的某一連續(xù)型初等函數，此時，任取一組基距便可獲得某一基箱體；基箱法（有基箱體時）通常是將某一基箱體的基側面與笛卡兒坐標平面相互重合（屬最簡位置），并求出其長距、寬距和高距的函數式（即各自對應的變側面方程），然后除以同名基距（亦即各自函數的截距）而得（此時首項為1）。當R=0、KA=1時，則K=KA=1，此時的箱變坐標系變?yōu)榈芽▋旱戎底鴺讼怠ＭǔＪ醉棡檎龜?，當為負數時可用于反向移位問題。變值系數。由于箱變坐標系仍屬于直角坐標系（坐標軸互垂），故也可稱其為直角變值坐標系。、箱變坐標系的數學約定如圖5所示，箱變坐標系常以某一標準正箱體（圖中實線）為基準或原型（叫基箱體），按照等比對應或變值對應進行網狀分割而成（圖中虛線）。 Z 0 X Y 圖5 線性變值坐標系KX(Y)=1+KXBY，KY(X)=1+KYBX KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXY正箱體可分為八種基本類型（如圖4，圖中均為標準正箱體）。一般正箱體均可通過降維變換而成標準正箱體。四個側面均可為平面或直線型曲面（如柱狀拋物面）；頂底面均可為平面、曲面或扭面；與四個側面同垂的平面叫箱基面或基面（J面），四個側面在基面上的投影叫基底面或基底（常為四邊形）。此外，除正箱體以外的凸棱六面體叫斜箱體。進而可得二次扭面方程為：H(X,Y)=AH+BHxX+BHyY+CHxxX2+CHxyXY+CHyyY2+DHxxyX2Y+DHxyyXY2， （2）式中，AH=H11，BHx=BHX1，BHy=BHY1，CHxx=CHX1，CHxy=(BHX2KX2BHX1)/LY1+(BHY2KY2BHY1)/LX1(H22H21H12+H11)/LX1/LY1，CHyy=CHY1，DHxxy=(CHX2KX22CHX1)/LY1，DHxyy=(CHY2KY22CHY1)/LX1。如圖2所示，H11H12H21H22為一非線性扭面，其基本求法是：先將MM2兩面間的縱、橫坐標單位數變?yōu)楦髯蕴幪帉嗟?，并求出四個側面上的正厚度函數，然后按縱、橫兩個方向求出側面間的兩個非線性函數和一個線性函數，進而便可求得該扭面方程。其基本方法是：先設定某一基準坐標單位，然后將其附加一個非0系數（可叫坐標系數）即可。由此便可推知，若能通過適當變換使兩面平行等寬或兩面間X、Y的坐標單位數各自處處對應相等（如均為LXLY1），便可仿照上述的常規(guī)方法（采用坐標單位數）直接進行精確表達，所得扭面方程仍如（1）式所示。對各種函數來說，當只考慮一個自變量時可稱之為偏函數（一元函數可視為一種特殊的偏函數）。當MM2兩面平行等寬時（圖中虛線），則兩面上的對應正厚度算式為：HX1=HX1(X)=H11+(H12H11)X/LX1=AH1+BHX1X，式中，AH1=H11，BHX1=(H12H11)/LX1，HX2=HX2(X)=H21+(H22H21)X/LX2=AH2+BHX2X，式中，AH2=H21，BHX2=(H22H21)/LX1。但問題并非絕對，只要對常規(guī)數學思路與方法有所擴展或突破，此類問題便不難解決。當導線和母線均為直線時則為線性扭面(如圖1中的H11H12H21H22面),否則，既可為非線性扭面也可為線性扭面（見正箱體）。為便于交流和節(jié)約篇幅，現將其基本思路和方法略述于后，以示概貌。本文概略介紹了本法的基本思路及其部分求法和算法。本法（還可再做擴展）不僅從根本上解決了諸如扭面方程、非線性不均勻動態(tài)空間、函數與圖象的動態(tài)對應等各類疑難問題，更從根本上擴充了現代數學的基石，其推廣應用將會引起現代數學及其相關學科的某些重大突破或變革。雖然這一方法還比較初級和原始，但卻揭示了某種帶有根本性的數學規(guī)律，不僅解決了目前難以解決的各種扭面問題、非線性不均勻空間、函數與圖象的動態(tài)對應和與之有關的各類數學難題，并從根本上擴充了現代數學的基石，其推廣應用將會引起現代數學及其相關學科的某些重大突破或變革。2．扭面和扭面方程初識所謂扭面可由一條母線沿著兩條異面導線適當移動或伴有某種變化而成，因其兩條異面導線?？捎赡撤N常規(guī)的同面導線經適當扭動而成而故名，其扭動角度可叫扭面角或扭角。目前，各種扭面方程的精確表達和有關運算尚屬空白。試求其對應方程。這里的一次是指整冪多項式中單個自變量最高為一次?？疾焐鲜鰞擅嫫叫械葘挄r的求法可知：在笛卡兒坐標系中，兩面間的縱、橫坐標單位數各自處處對應相等，式中自變量的取值實際上均為同名坐標單位數。以上兩種變換的實質和結果完全等同，其中，后者更便于進行數學表達。 H H12 H11 M1 O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 圖2 非線性變化儲量塊段（2）非線性扭面方程的基本求法：此類方程也可按照上