【正文】 為：LXi，i=1，2，…，N。變分運算屬于變合運算的逆運算，相當(dāng)于對基箱面或基箱體的分解，可將均勻或不均勻空間分解為不均勻或均勻空間。當(dāng)變值系數(shù)恒為1時，二者完全相同。設(shè)原變值系數(shù)為：KX0i=KX0i(Yi)和KY0i=KY0i(Xi),則新變值系數(shù)為: KXi(Y)= TXiKX0i(TYiYi)和KYi(X)=TYiKY0i(TXiXi)仿照上述二元通基變換可得三元和三元以上的通基系數(shù)為：TXi=LXi/LX，TYi=LYi/LY，TZi=LZi/LZ，…；進而可得對應(yīng)通基函數(shù)為：Hi=Hi(X,Y,Z,…)=H0i(Xi,Yi,Zi,…)=H0i(TXiX,TYiY,TZiZ ,…), （7）以上通基變換可使異基函數(shù)變?yōu)橥瘮?shù)，但通常難以使異系函數(shù)變?yōu)橥岛瘮?shù)。通基時，可先采用同時縮小之法求出通基前后的基距之比（可叫通基系數(shù)，一般為常數(shù)），即：TXi=LXi/LX=Xi/Xi=KX/KX0，亦即：LX=LXi/TXi或LXi=TXiLX，X=Xi/TXi或Xi=TXiX，KX=TXKX0或KX0=KX/TX。通基變換常采用自變量與其基距同時縮小之法（也可采用同時擴大之法）。注意通基后變值系數(shù)的求法與一元的區(qū)別即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/KY，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、KY=KY0/TY或KY0=TYKY。進而可得一元變基函數(shù)為：H=H0(X0)=H0(X/TX)=H(X)或H=H(X)=H(TXX0)=H0(X0), （3）上式中的H0(X0)與H(X)互為一元變基函數(shù)，當(dāng)以X0和X=TXX0分別代入H=H0(X0)和H=H(X)式時可得到相同的H值。若同時擴大，則變基系數(shù)=新基距/原基距=原基值單位/新基值單位=原變值系數(shù)/新變值系數(shù)；若同時縮小，則變基系數(shù)為同時擴大時的倒數(shù)（常用于通基變換）。（2）變基運算：變基運算是指改變基值單位或基箱體的基距時對變值函數(shù)進行恒等變換的一種運算。此時，自變量取值和基距數(shù)值同時擴大了TX 倍，但變值系數(shù)縮小了TX；另當(dāng)X/=X/TX，B/=TXB時，則自變量取值和基距數(shù)值同時縮小了TX 倍，但變值系數(shù)擴大了TX?，F(xiàn)將變值函數(shù)的部分算法作一簡要說明，其中，包含積分運算的有關(guān)算法只限于正箱坐標(biāo)系（與斜箱坐標(biāo)系對應(yīng)的積分運算目前尚不成熟）。這些擴展算法與等值算法的根本區(qū)別在于變值系數(shù)不再恒為1，其中，尤其是各種異基四則運算（基距不同的四則運算）和各種積分運算等，更是變值算法所特有。在以上三種求法中，直接推導(dǎo)法的實質(zhì)屬于常規(guī)方法，其它兩種求法為變值函數(shù)所特有，但當(dāng)變值系數(shù)全為1時則同樣屬于常規(guī)方法。當(dāng)變換后的函數(shù)項（因變量）的變值系數(shù)（新變系數(shù)）為1時，則得到變值函數(shù)（此時，若坐標(biāo)系隨之而變，則變?yōu)榈戎底鴺?biāo)系和等值函數(shù)）；若函數(shù)項的新變系數(shù)不為1，則得到相應(yīng)變值坐標(biāo)系的基值函數(shù)。當(dāng)變值系數(shù)的確定比較合理時，其基值函數(shù)通常均較簡單，這里需要搞清函數(shù)（因變量）與自變量、各變量與變值系數(shù)的相互對應(yīng)。其中，線性扭面方程為四項，由此可知，當(dāng)變質(zhì)系數(shù)一定時，線性扭面可由四點確定。（1）直接推導(dǎo)法：本法是指通過適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)推導(dǎo)直接求出變值函數(shù)的方法。由于變值函數(shù)和基值函數(shù)是對等值函數(shù)的繼承和擴展，因此，只要熟悉后者的有關(guān)求法和算法并對前者的有關(guān)思路和方法有所了解，則對其掌握和運用將并非難事，但應(yīng)注意兩者的異同。其中，等值函數(shù)可視為變值函數(shù)和基值函數(shù)的一種特例（即變值系數(shù)恒為1），因此，后者是對前者的繼承和擴展。不僅如此，上述箱變坐標(biāo)系（基值單位處處相等，可叫等基變值坐標(biāo)系）還可擴展為變基變值坐標(biāo)系（基值單位處處可變，如同沿坐標(biāo)軸做變速運動的速度一樣），從而更能揭示物質(zhì)空間的動態(tài)性和時空之間的動態(tài)對應(yīng)等客觀世界的根本規(guī)律。二者的根本區(qū)別在于坐標(biāo)系數(shù)：后者恒為常數(shù)1（無須標(biāo)注），故只有三個構(gòu)成要素；前者可為某一函數(shù)（須做標(biāo)注），故須有四個構(gòu)成要素。另當(dāng)高距和寬距系數(shù)均為常數(shù)1時，則箱面坐標(biāo)系變?yōu)槌Ｒ?guī)的平面直角坐標(biāo)系。設(shè)定法（無基箱體時）可根據(jù)實際需要直接將坐標(biāo)系數(shù)設(shè)定為首項為1的某一連續(xù)型初等函數(shù)，此時，任取一組基距便可獲得某一基箱體；基箱法（有基箱體時）通常是將某一基箱體的基側(cè)面與笛卡兒坐標(biāo)平面相互重合（屬最簡位置），并求出其長距、寬距和高距的函數(shù)式（即各自對應(yīng)的變側(cè)面方程），然后除以同名基距（亦即各自函數(shù)的截距）而得（此時首項為1）。當(dāng)R=0、KA=1時，則K=KA=1，此時的箱變坐標(biāo)系變?yōu)榈芽▋旱戎底鴺?biāo)系。通常首項為正數(shù)，當(dāng)為負數(shù)時可用于反向移位問題。變值系數(shù)。由于箱變坐標(biāo)系仍屬于直角坐標(biāo)系（坐標(biāo)軸互垂），故也可稱其為直角變值坐標(biāo)系。、箱變坐標(biāo)系的數(shù)學(xué)約定如圖5所示，箱變坐標(biāo)系常以某一標(biāo)準(zhǔn)正箱體（圖中實線）為基準(zhǔn)或原型（叫基箱體），按照等比對應(yīng)或變值對應(yīng)進行網(wǎng)狀分割而成（圖中虛線）。 Z 0 X Y 圖5 線性變值坐標(biāo)系KX(Y)=1+KXBY，KY(X)=1+KYBX KH(X,Y)=1+KHxX+KHyY+KHxyXY正箱體可分為八種基本類型（如圖4，圖中均為標(biāo)準(zhǔn)正箱體）。一般正箱體均可通過降維變換而成標(biāo)準(zhǔn)正箱體。四個側(cè)面均可為平面或直線型曲面（如柱狀拋物面）；頂?shù)酌婢蔀槠矫?、曲面或扭面；與四個側(cè)面同垂的平面叫箱基面或基面（J面），四個側(cè)面在基面上的投影叫基底面或基底（常為四邊形）。此外，除正箱體以外的凸棱六面體叫斜箱體。進而可得二次扭面方程為：H(X,Y)=AH+BHxX+BHyY+CHxxX2+CHxyXY+CHyyY2+DHxxyX2Y+DHxyyXY2， （2）式中，AH=H11，BHx=BHX1，BHy=BHY1，CHxx=CHX1，CHxy=(BHX2KX2BHX1)/LY1+(BHY2KY2BHY1)/LX1(H22H21H12+H11)/LX1/LY1，CHyy=CHY1，DHxxy=(CHX2KX22CHX1)/LY1，DHxyy=(CHY2KY22CHY1)/LX1。如圖2所示，H11H12H21H22為一非線性扭面，其基本求法是：先將MM2兩面間的縱、橫坐標(biāo)單位數(shù)變?yōu)楦髯蕴幪帉?yīng)相等，并求出四個側(cè)面上的正厚度函數(shù)，然后按縱、橫兩個方向求出側(cè)面間的兩個非線性函數(shù)和一個線性函數(shù)，進而便可求得該扭面方程。其基本方法是：先設(shè)定某一基準(zhǔn)坐標(biāo)單位，然后將其附加一個非0系數(shù)（可叫坐標(biāo)系數(shù)）即可。由此便可推知，若能通過適當(dāng)變換使兩面平行等寬或兩面間X、Y的坐標(biāo)單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等（如均為LXLY1），便可仿照上述的常規(guī)方法（采用坐標(biāo)單位數(shù)）直接進行精確表達，所得扭面方程仍如（1）式所示。對各種函數(shù)來說，當(dāng)只考慮一個自變量時可稱之為偏函數(shù)（一元函數(shù)可視為一種特殊的偏函數(shù)）。當(dāng)MM2兩面平行等寬時（圖中虛線），則兩面上的對應(yīng)正厚度算式為：HX1=HX1(X)=H11+(H12H11)X/LX1=AH1+BHX1X，式中，AH1=H11，BHX1=(H12H11)/LX1，HX2=HX2(X)=H21+(H22H21)X/LX2=AH2+BHX2X，式中，AH2=H21，BHX2=(H22H21)/LX1。但問題并非絕對，只要對常規(guī)數(shù)學(xué)思路與方法有所擴展或突破，此類問題便不難解決。當(dāng)導(dǎo)線和母線均為直線時則為線性扭面(如圖1中的H11H12H21H22面),否則，既可為非線性扭面也可為線性扭面（見正箱體）。為便于交流和節(jié)約篇幅，現(xiàn)將其基本思路和方法略述于后，以示概貌。本文概略介紹了本法的基本思路及其部分求法和算法。本法（還可再做擴展）不僅從根本上解決了諸如扭面方程、非線性不均勻動態(tài)空間、函數(shù)與圖象的動態(tài)對應(yīng)等各類疑難問題，更從根本上擴充了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其推廣應(yīng)用將會引起現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的某些重大突破或變革。雖然這一方法還比較初級和原始，但卻揭示了某種帶有根本性的數(shù)學(xué)規(guī)律，不僅解決了目前難以解決的各種扭面問題、非線性不均勻空間、函數(shù)與圖象的動態(tài)對應(yīng)和與之有關(guān)的各類數(shù)學(xué)難題，并從根本上擴充了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其推廣應(yīng)用將會引起現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的某些重大突破或變革。2．扭面和扭面方程初識所謂扭面可由一條母線沿著兩條異面導(dǎo)線適當(dāng)移動或伴有某種變化而成，因其兩條異面導(dǎo)線?？捎赡撤N常規(guī)的同面導(dǎo)線經(jīng)適當(dāng)扭動而成而故名，其扭動角度可叫扭面角或扭角。目前，各種扭面方程的精確表達和有關(guān)運算尚屬空白。試求其對應(yīng)方程。這里的一次是指整冪多項式中單個自變量最高為一次?？疾焐鲜鰞擅嫫叫械葘挄r的求法可知：在笛卡兒坐標(biāo)系中，兩面間的縱、橫坐標(biāo)單位數(shù)各自處處對應(yīng)相等，式中自變量的取值實際上均為同名坐標(biāo)單位數(shù)。以上兩種變換的實質(zhì)和結(jié)果完全等同，其中，后者更便于進行數(shù)學(xué)表達。 H H12 H11 M1 O LX1 XH21 M2 H22 LY1 (LX2,LY2) Y 圖2 非線性變化儲量塊段（2）非線性扭面方程的基本求法：此類方程也可按照上