高二數(shù)學(xué)函數(shù)的奇偶性和周期性-全文預(yù)覽
【正文】 ，得 bx+c=(bx+c)， ∴ c=0. 又 f(1)=2，得 a+1=2b，而 f(2)3，得 3， 解得 1a2. 又 a∈ Z， ∴ a=0或 a=1. 若 a=0，則 b= ?Z，應(yīng)舍去； 若 a=1，則 b=1∈ Z. ∴ a=1， b=1， c=0. 411aa??12(2)∵ f(x)是偶函數(shù)且在 (0， +∞)上是增函數(shù)， ∴ 由 f(3x1)f(2x)，得 f(|3x1|)f(|2x|)， 因而有 |3x1||2x|，化簡得 5x26x+10， 解得 x 或 x1. 則 x的取值范圍為 ∪ (1， +∞)． 151,5???????? 已知函數(shù) f(x)對一切 x、 y∈ R，都有 f(x+y)=f(x)+f(y)． (1)試判斷 f(x)的奇偶性； (2)若 f(3)=a，用 a表示 f(12)． 變式 21 解析： (1)顯然 f(x)的定義域是 R，關(guān)于原點對稱． ∵ 函數(shù) f(x)對一切 x、 y∈ R都有 f(x+y)=f(x)+f(y)， ∴ 令 x=y=0，得 f(0)=2f(0)， ∴ f(0)=0. 再令 y=x，得 f(0)=f(x)+f(x)， ∴ f(x)=f(x)， ∴ f(x)為奇函數(shù)． (2)∵ f(3)=a且 f(x)為奇函數(shù)， ∴ f(3)=f(3)=a. 又 ∵ f(x+y)=f(x)+f(y)， x、 y∈ R， ∴ f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f(3+3)=4f(3)=4a. 【 例 3】 設(shè) f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且對任 意實數(shù) x，恒有 f(x+2)=f(x)．當(dāng) x∈ [0,2]時， f(x)=2xx2. (1)求證： f(x)是周期函數(shù)； (2)當(dāng) x∈ [2,4]時，求 f(x)的解析式； (3)計算 f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 011)． 題型三 函數(shù)周期性及其應(yīng)用 分析： 技巧在于通過換元進(jìn)行轉(zhuǎn)化，求函數(shù) f(x)的解析式 要利用函數(shù)的周期性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上， 因為只有此時才有函數(shù)解析式． 解： (1)證明： ∵ f(x+2)=f(x)， ∴ f(x+4)=f(x+2)=f(x)． ∴ f(x)是周期為 4的周期函數(shù)． (2)當(dāng) x∈ [2,0]時， x∈ [0,2]， 由已知得 f(x)=2(x)(x)2=2xx2， 又 f(x)是奇函數(shù)， ∴ f(x)=f(x)=2xx2， ∴ f(x)=x2+2x. 又當(dāng) x∈ [2,4]時， x4∈ [2,0]， ∴ f(x4)=(x4)2+2(x4)． 又 f(x)是周期為 4的周期函數(shù)， ∴ f(x)=f(x4)=(x4)2+2(x4)=x26x+8. 從而求得 x∈ [2,4]時， f(x)=x2
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