[理學(xué)]線(xiàn)性方程組的解法-全文預(yù)覽
【正文】 then 交換第 k 行與第ik行。Method、GaussSeidel39。Method、GaussSeidel39。Method，據(jù)此建立迭代:取迭代初值,其計(jì)算結(jié)果如表二.GaussSeidel39。7 三角分解法1 矩陣A的LU分解: 已給n階方陣A,若能求得一個(gè)下三角方陣L和一個(gè)上三角方陣U,使得A=LU,則我們稱(chēng)方陣A有LU三角分解.由高斯消去法，我們知道它是通過(guò)逐步消元過(guò)程，將方程組的系數(shù)矩陣A轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€(gè)上三角矩陣，這實(shí)際上相當(dāng)于用一系列初等矩陣左乘A.2 高斯消去法的矩陣形式:Step1:第一次消元():即相當(dāng)于:記：其中,.Step k:第k次消元(): ,其中， Step n1:第n1次消元():記于是可以推出.其中.由上述討論可知，則 A 的 LU 分解唯一（其中 L 為單位下三角陣）. 設(shè)有方程組AX=b,并設(shè)A=LU,于是 AX=LUX=b其中，令 UX=Y,則 LY=b.于是求解AX=b的問(wèn)題等價(jià)于求解兩個(gè)方程組UX=Y和LY=b. 具體的解法如下：(1) 利用順推過(guò)程解LY=b,其計(jì)算公式為: .(2) 利用回代過(guò)程解UX=Y,其計(jì)算公式為: .解又稱(chēng)為Doolittle分解法.3 Doolittle分解法[算法]Step1[分解]:① 對(duì)i=1,2,…,n。b) 數(shù)a乘A的一行得：det=adet(A)。f) det(AB)=det(A)11 總結(jié)[高斯消去法]，；列選主元素消去法等.[直接三角分解法]，=B=(b1,b2,…,bm)是相當(dāng)便利的，每解一個(gè)方程組AX=bi僅需增加n2次乘除法運(yùn)算.迭代法是一種逐次逼近方法，注意到在使用迭代法時(shí)，Xk+1=BX(k)+f ，其迭代矩陣B和迭代向量f在計(jì)算過(guò)程中始終不變，迭代法具有循環(huán)的計(jì)算公式、針對(duì)不同的問(wèn)題，分析并采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值算法，如GuassSeidel方法、SOR方法等.對(duì)以上算法的分析，我們對(duì)于方法的掌握不僅在數(shù)學(xué)推導(dǎo)和數(shù)學(xué)公式上，而且應(yīng)當(dāng)深入思考方法的計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)過(guò)程，以加深對(duì)數(shù)值計(jì)算的認(rèn)識(shí)和理解.作業(yè)講評(píng)2[] 設(shè)在方程的根的附近有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù)，且，證明迭代公式具有局部收斂性.證：因，又由在的附近連續(xù)，則存在的某鄰域：， 由此可知，當(dāng)時(shí)，. □[] 試證用牛頓法求方程在[1，3]內(nèi)的根具有線(xiàn)性收斂性.證：令，因此，根據(jù)Newton方法有: 由于,故.于是 從而得證. 。 其中B=(bij)n由以上定理可知，通過(guò)高斯消元法的計(jì)算可得到行列式的值.例1 用列主元素法求det(A)的值，其中 解：由矩陣A的LU分解過(guò)程，可知，因此，若用列主元素法求行列式的值，只須將每一步的主元素相乘即可，.1 計(jì)算A1 在某些應(yīng)用中，如在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，可能還需要計(jì)算矩陣A的逆，并且將它明顯地表示為A1. 利用A的LU分解計(jì)算A1設(shè)A=(aij)n為滿(mǎn)秩矩陣，則AX=I， (1)這里I為單位矩陣，顯然X為A的可逆矩陣A1.將方程(1)改寫(xiě)為A[X(1),X(2),…,X(n)]=[I(1),I(2),…,I(n)] (2)其中，X(j), I(j)分別表示X和I的第j列.于是，方程(2)又可改寫(xiě)為n個(gè)線(xiàn)性方程組的形式: AX(j)=I(j) , (3)由于這n個(gè)方程組的系數(shù)矩陣相同，故可應(yīng)用LU分解法來(lái)進(jìn)行計(jì)算，這樣A1=[X(1),X(2),…,X(n)].并且能夠極大地節(jié)省計(jì)算工作量. 利用高斯消元法計(jì)算A1例如：對(duì)矩陣，求A1.解: 故 □167。d) A的一行乘以a加到另一行得：det=det(A)。8 追趕法1 三對(duì)角方程組 具有如下形式的方程組：稱(chēng)為三對(duì)角方程組.特點(diǎn)：其系數(shù)矩陣為一種帶狀的稀疏矩陣，非零元素集中分布在主對(duì)角線(xiàn)及相鄰兩條次對(duì)角線(xiàn)上，且系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)陣，即利用高斯消元法，經(jīng)過(guò)n1次消元后，可得等價(jià)的方程組：其中， 追的過(guò)程利用回代依次求出，于是, 趕的過(guò)程HW: （希望上機(jī)實(shí)習(xí)）□167。Method 迭代格式為：，因此，SOR法的迭代式為：取迭代初值,其計(jì)算結(jié)果如表三.SOR39。Method. 據(jù)此建立迭代公式：取迭代初值,其計(jì)算結(jié)果如表一.Jacobi39。Method、GaussSeidel39。 對(duì)j=k+1,k+2,…,n 計(jì)算。然后
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