【正文】 )( ) ( )()( ) 1 ( ) ( )C s G ssR s G s H s? ? ?自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 比較點(diǎn)前移 “ 加倒數(shù) ” ；比較點(diǎn)后移 “ 加本身 ” 。 3. 信號(hào)傳遞的單向性 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 如 RC網(wǎng)路的微分方程 rcc( ) ( ) ( )d ( )()du t R i t u tuti t Ct????????對上式進(jìn)行拉氏變換，得 r c r ccc1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1( ) ( ) ( ) ( )U s U s RI t I s U s U sRI s Cs U s U s I sCs?? ? ? ? ????????? ? ? ???自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 繪制上式各子方程的方框圖 U r ( s )U c ( s )U r ( s ) U c ( s ) I ( s )U r ( s ) U c ( s ) 1R1CsI ( s ) U c ( s )將方框圖連接起來 ,得出系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖。 U ( s )B ( s )U ( s ) B ( s )??自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 (1) 建立系統(tǒng)各元部件 （ 或典型環(huán)節(jié) ） 的微分方程 。 ③ 引出點(diǎn) (測量點(diǎn) )：表示信號(hào)引出或測量位置 ， 從同一點(diǎn)引出的信號(hào)完全相同 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 四、傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn) 1011010 1 20 1 21*1()()()( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )()()mmmnnnmnmjjniib s b s bCsGsR s a s a s ab s z s z s za s p s p s pszKsp????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??????pi: 極點(diǎn)，用“ ?”表示 零極點(diǎn)分布圖 zj: 零點(diǎn)，用“ ”表示 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 若傳遞函數(shù) 42()( 1 ) ( 2 )sGsss????該傳遞函數(shù)的 極點(diǎn)為 p1 =?1， p2=?2。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 求取 傳遞函數(shù) 的方法與步驟： 1. 首先確定出系統(tǒng)的輸出信號(hào) (被控量等 )和輸入信號(hào)（如給定值、干擾等）。 101() nn nD s a s a s a?? ? ? ? ? ? ?自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 5. 傳遞函數(shù)與微分方程具有相通性。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 3. 傳通函數(shù)只描述系統(tǒng)輸入 輸出之間的關(guān)系 ， 但不反映系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)的任何信息 。只適用于線性定常系統(tǒng) 。 0( ) 2 ( ) ( ) 0 , ( 0 ) 0 , ( 0 )x t x t x t x x x? ? ? ? ?解 ： 對微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換 2 ( ) ( 0 ) ( 0 ) 2 ( ) 2 ( 0 ) ( ) 0s X s sx x sX s x X s? ? ? ? ? ?代入初始條件，求出象函數(shù) X(s)的表達(dá)式 022()21sX s xss????自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 將 X(s)展成部分分式，利用拉氏變換對照表，求出 x(t)。 22()43sFsss????解 ： 222()4 3 ( 1 ) ( 3 )1 / 2 1 / 213ssFss s s sss????? ? ? ?????進(jìn)行反變換得 311( ) e e22ttft ????自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 五、用拉氏變換求解微分方程 用拉普拉斯方法求在給定初始條件下微分方程的步驟如下： ①對微分方程兩端進(jìn)行拉氏變換，將微分方程變?yōu)橐韵蠛瘮?shù)為變量的代數(shù)方程，方程中初始條件是 t=0時(shí)的值。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 四、拉氏反變換 拉氏反變換的定義如下 ? ? j1j1( ) ( ) ( ) e d2 π jstF s f t F s t????????? ?L一般由 F(s)求 f(t)， 常用部分分式法 。 則 f(t)的拉氏變換 在平面上 Re(s)c一定存在 ， 此時(shí)右端的積分絕對而且一定收斂 ， 并且在這半平面內(nèi)F(s)為解析函數(shù) 。 拉氏變換是研究控制系統(tǒng)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)工具 ,它可以把時(shí)域中的微分方程 變換成復(fù)域中的 代數(shù)方程 ， 從而使微分方程的求解大為簡化 。 ④ 消除中間變量 ， 寫出關(guān)于輸入 、 輸出變量之間關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式 ， 即微分方程 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 線 性 定 常 系 統(tǒng) 的 數(shù) 學(xué) 模 型微 分 方 程 傳 遞 函 數(shù) 頻 率 特 性脈 沖 傳 遞函 數(shù)狀 態(tài) 方 程微分方程 傳遞函數(shù) 頻率特性 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 ?控制系統(tǒng)微分方程的建立 首先必須了解系統(tǒng)的組成 、 工作原理 ，然后根據(jù)支配各組成元件的物理定律 ， 列寫整個(gè)系統(tǒng)輸入變量與輸出變量之間的動(dòng)態(tài)關(guān)系式 ， 即微分方程 。 常用的數(shù)學(xué)模型為微分方程 。 描述各變量動(dòng)態(tài)關(guān)系的表達(dá)式稱為動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型 。 實(shí)驗(yàn)法 是對系統(tǒng)或元件輸入一定形式的信號(hào) （ 階躍信號(hào) 、 單位脈沖信號(hào) 、 正弦信號(hào)等 ） ， 根據(jù)系統(tǒng)或元件的輸出響應(yīng) ， 經(jīng)過數(shù)據(jù)處理而辨識(shí)出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 。 ③ 對已建立的原始方程進(jìn)行處理 ， 忽略次要因素 ， 簡化原始方程 ， 如對原始方程進(jìn)行線性化等 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 拉氏變換 拉普拉斯變換簡稱為拉氏變換 ， 它是一種函數(shù)之間的積分變換 。 在 t充分大后滿足不等式 |f(t)|≤ Mect， 其中M、 c都是實(shí)常數(shù) 。 0( ) lim ( ) lim ( )tse e t sE s? ? ?? ? ?自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 5. 位移定理 設(shè) F(s)= L [f(t)]， 則有 00( ) e ( )sf t F s?? ???????L及 e ( ) ( )at f t F s a?? ????L分別稱為時(shí)域中的位移定理和復(fù)域中的位移定理 。 如果 F(s)可分解成下列分量 12( ) ( ) ( ) ( )nF s F s F s F s? ? ? ?自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 并且 F1(s)、 F2(s)、 ? 、 Fn(s)的拉氏反變換可以很容易地求出，則 ? ?1 1 1 11212( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )nnF s F s F s F sf t f t f t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?L L L L自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 求 的拉氏反變換 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 例 用拉氏變換求解微分方程 。 自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 設(shè)所有初始條件均為零的條件下，對上式兩端進(jìn)行拉氏變換，得 101101()()nnnmmma s a s a C sb s b s b R s????? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? ???按照定義得系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 101101()()()mmmnnnb s b s bCsGsR s a s a s a??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?自動(dòng)控制原理 第二章 控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型 二、對傳遞函數(shù)的說明 1. 傳遞函數(shù)是復(fù)域 (s