江蘇省連云港市、徐州市、宿遷市20xx屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題-全文預(yù)覽
【正文】 D. (本小題滿分 10分 ) 已知 a， b， c為正實數(shù) ， 且 a3＋ b3＋ c3＝ ： a＋ b＋ c≥3 3 3. 【必做題】第 22題、第 23 題． 每題 10 分 ， 共計 20 分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 22. (本小題滿分 10分 ) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中 ， 點 F(1， 0)， 直線 x＝－ 1與動直線 y＝ n的交點為 M， 線段MF的中垂線與動直線 y＝ n的交點為 P. (1) 求動點 P的軌跡 E的方程； (2) 過動點 M作曲線 E的兩條切線 ， 切點分別為 A， B， 求證： ∠AMB 的大小為定值． 23. (本小題滿分 10分 ) 已知集合 U＝ {1， 2，? ， n}{n∈ N*， n≥ 2)， 對于集合 U的兩個非空子集 A， B， 若 A∩ B＝ ?， 則稱 (A， B)為集合 U 的一組 “ 互斥子集 ” ．記集合 U 的所有 “ 互斥子集 ” 的組數(shù)為f(n)(視 (A， B)與 (B， A)為同一組 “ 互斥子集 ”) ． (1) 寫出 f(2)， f(3)， f(4)的值； (2) 求 f(n). 密封線 (這是邊文，請據(jù)需要手工刪加 ) 2017屆高三年級第三次模擬考試 (三 )AB ＝ 22 sinθ ＝ 4sinθ . 則透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值為 2sinθ cosθ ＋ 2θ4sinθ ＝cosθ2 ＋θ2sinθ .(10分 ) 設(shè) f(θ) ＝ cosθ2 ＋ θ2sinθ ， π6 ≤θ π2 . 則 f′(θ) ＝－ 12sinθ ＋ sinθ － θ cosθ2sin2θ ＝ sinθ － θ cosθ － sin3θ2sin2θ ＝sinθ cos2θ － θ cosθ2sin2θ ＝cosθ ??? ???12sin2θ － θ2sin2θ ， (12分 ) 因為 π6 ≤θ π2 ， 所以 12sin2θ≤ 12， 所以 12sin2θ － θ0 ， 故 f′(θ)0 ， 所以函數(shù) f(θ) 在 ??? ???π 6 ， π 2 上單調(diào)減． 所以當(dāng) θ ＝ π6 時 ， f(θ) 有最大值 π6 ＋ 34 ， 此時 AB＝ 2sinθ ＝ 1(m)． (14分 ) 答： (1) S 關(guān)于 θ 的函數(shù)關(guān)系式 為 S＝ sin2θ ＋ 2θ ， 定義域為 ??? ???π6 ， π2 ； (2) 透光區(qū)域與矩形窗面的面積比值最大時 ， AB的長度為 1m.(16分 ) 19. (1) 由 3Sn＋ 1＝ 2Sn＋ Sn＋ 2＋ an， 得 2(Sn＋ 1－ Sn)＝ Sn＋ 2－ Sn＋ 1＋ an， 即 2an＋ 1＝ an＋ 2＋ an， 所以 an＋ 2－ an＋ 1＝ an＋ 1－ an. (2分 ) 由 a1＝ 1， S2＝ 4， 可知 a2＝ 3. 所以數(shù)列 {an}是以 1為首項 ， 2為公差的等差數(shù)列． 故 {an}的通項公式為 an＝ 2n－ 1.(4分 ) (2) 證法一：設(shè)數(shù)列 {bn}的公差為 d， 則 Tn＝ nb1＋ n（ n－ 1）2 d， 由 (1)知 ， Sn＝ n2. 因為 SnTn， 所以 n2nb1＋ n（ n－ 1）2 d， 即 (2－ d)n＋ d－ 2b10恒成立 ， 所以?????2－ d≥0 ，d－ 2b10， 即 ?????d≤2 ，2b1d.(6分 ) 又由 S1T1， 得 b11， 所以 an－ bn＝ 2n－ 1－ b1－ (n－ 1)d＝ (2－ d)n＋ d－ 1－ b1 ≥ (2－ d)＋ d－ 1－ b1＝ 1－ b10. 所以 anbn， 得證 . (8分 ) 證法二：設(shè) {bn}的公差為 d， 假設(shè)存在自然數(shù) n0≥ 2， 使得 an0≤ bn0， 則 a1＋ (n0－ 1)2≤b 1＋ (n0－ 1)d， 即 a1－ b1≤ (n0－ 1)(d－ 2)， 因為 a1b1， 所以 d2.(6分 ) 所以 Tn－ Sn＝ nb1＋ n（ n－ 1）2 d－ n2＝ ??? ???d2－ 1 n2＋ ??? ???b1－d2 n， 因為 d2－ 10， 所以存在 N0∈ N*， 當(dāng) nN0時 ， Tn－ Sn0恒成立． 這與 “ 對任意的 n∈ N*， 都有 SnTn” 矛盾！ 所以 anbn， 得證 . (8分 ) (3) 由 (1)知 ， Sn＝ {bn}為等比數(shù)列 ， 且 b1＝ 1， b2＝ 3， 所以 {bn}是以 1為首項 ， 3為公比的等比數(shù)列． 所以 bn＝ 3n－ 1， Tn＝ 3n－ 12 .(10分 ) 則 an＋ 2Tnbn＋ 2Sn＝ 2n－ 1＋ 3n－ 1
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