【正文】 }的前 n項和 Sn. an2n－ 1 解析： (1)證明： an＋ 1＝ 2an＋ 2n， bn＋ 1＝ bn＋ 1， 則 {bn}為等差數(shù)列， b1＝ 1， bn＝ n， an＝ n汕頭市一模 ) 已知二次函數(shù) f ( x ) ＝ ax2＋ bx 的圖象過點 ( － 4 n , 0 ) ， 且 f ′ ( 0 ) ＝ 2 n ， n ∈ N*. ( 1 ) 求 f ( x ) 的解析式 ； ( 2 ) 若數(shù)列 { a n } 滿足1a n ＋ 1＝ f ′????????1a n， 且 a 1 ＝ 4 ， 求數(shù)列 { a n }的通項公式 ； ( 3 ) 記 b n ＝ a n a n ＋ 1 ， 數(shù)列 { }b n 的前 n 項和 T n ， 求證 ： 43≤ T n 2 . 解析： ( 1 ) 由 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ b ， ∴????? b ＝ 2 n16 n2a － 4 nb ＝ 0， 解之得 a ＝12， b ＝ 2 n ， 即 f ( x ) ＝12x2＋ 2 nx ( n ∈ N*) ． ( 2 ) 由條件得1an＋1＝1an＋ 2 n ， ∴1an＋1－1an＝ 2 n ，累加得 1an－14＝ 2 ＋ 4 ＋ 6 ＋ ? ＋ 2 ( n － 1 ) ＝2 ＋ 2 ? n － 1 ?2( n － 1 ) ＝ n2－ n ?1an＝ ( n －12)2? an＝1? n －12?2＝4? 2 n － 1 ?2( n ∈ N*) ． ( 3 ) 證明： bn＝ anan ＋ 1＝4? 2 n － 1 ?? 2 n ＋ 1 ? ＝ 2 (12 n － 1－12 n ＋ 1) Tn＝ b1＋ b2＋ ? ＋ bn＝ a1a2＋ a2a3＋ ? ＋ anan ＋ 1 ＝ 2 ( 1 －13) ＋ (13－15) ＋ ? ＋ (12 n － 1－12 n ＋ 1) ＝ 2 ( 1 －12 n ＋ 1) 2 . ∵ 2 n ＋ 1 ≥ 3 ， 故 2 ( 1 －12 n ＋ 1) ≥43， ∴43≤ Tn2 . 數(shù)列中各方面知識的綜合 已知數(shù)列 {an}中， Sn是其前 n項和，并且 Sn＋ 1＝4an＋ 2(n＝ 1,2， … )， a1＝ 1. (1)設(shè)數(shù)列 bn＝ an＋ 1－ 2an(n＝ 1,2， …… )，求證：數(shù)列 {bn}是等比數(shù)列； (2)設(shè)數(shù)列 ＝ (n＝ 1,2， …… )，求證：數(shù)列 {}是等差數(shù)列； (3)求數(shù)列 {an}的通項公式及前 n項和． an2n 思路點撥： 由于 {bn}和 {}中的項都和 {an}中的項有關(guān)，{an}中又有 Sn ＋ 1 ＝ 4an＋ 2，可由 Sn ＋ 2 － Sn ＋ 1 作切入點探索解題的途徑． 解析： (1)由 Sn ＋ 1 ＝ 4an＋ 2， Sn ＋ 2 ＝ 4an ＋ 1 ＋ 2，兩式相減，得 Sn ＋ 2 － Sn ＋ 1 ＝ 4(an ＋ 1 － an)，即 an＋ 2＝ 4an＋ 1－ 4an. ∴ an＋ 2－ 2an＋ 1＝ 2(an＋ 1－ 2an)， 又 bn ＝ an＋ 1－ 2an，所以 bn＋ 1＝ 2bn，① 已知 S2 ＝ 4a1＋ 2， a1＝ 1， a1＋ a2＝ 4a1＋ 2， 解得 a2＝ 5， b1＝ a2－ 2a1＝ 3，② 由①和②得，數(shù)列 {bn}是首項為 3，公比為 2的等比數(shù)列，故 bn＝ 3湖南師大附中測試 )在數(shù)列 {an}和 {bn}中， bn是an與 an＋ 1的等差中項， a1＝ 2且對任意 n∈ N*都有 3an＋ 1－ an＝ 0，則數(shù)列 {bn}的通項公式為 ____________. 4． (2022aq. 3．等差數(shù)列 {an}的任意連續(xù) m項的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， S4m － S3m， …… 仍為等差數(shù)列． 4．等比數(shù)列 {an}的任意連續(xù) m項的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， S4m － S3m， …… 仍為等比數(shù)列 (m為偶數(shù)且公比為－ 1的情況除外 )． 5．兩個等差數(shù)列 {an}與 {bn}的和、差的數(shù)列 {an＋ bn}，{an－ bn}仍為等差數(shù)列． 6．兩個等比數(shù)列 {an}與 {bn}的積、商、倒數(shù)的數(shù)列{anan＝ ap黃山市模擬 )設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn(n∈ N*)，關(guān)于數(shù)列 {an}有下列三個命題： ①若數(shù)列 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則 an＝ an＋ 1； ②若 Sn＝ an2＋ bn(a， b∈ R)，則數(shù)列 {an}是等差數(shù)列； ③若 Sn＝ 1－ (－ 1)n，則數(shù)列 {an}是等比數(shù)列． 這些命題中，真命題的個數(shù)是 ( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析： ①不妨設(shè)數(shù)列 {an}的前三項為 a－ d， a， a＋ d，則其又成等比數(shù)列，故 a2＝ a2－ d2， ∴ d＝ 0，即 an＝ an＋ 1；②由 Sn的公式，可求出 an＝ (2n－ 1)a＋ b，故 {an}是等差數(shù)列；③由 Sn可求出 an＝ 2(－ 1)n－ 1，故數(shù)列 {an}是等比數(shù)列．故選D. 答案： D 3． (2022陜西卷 )如圖，從點 P1(0,0)作 x軸的垂線交曲線 y＝ ex于點 Q1(0,1)，曲線在 Q1點處的切線與 x軸交于點 P2，再從 P2做 x軸的垂線交曲線于點 Q2，依次重復(fù)上述過程得到一系列點： P1， Q1； P2， Q2； … ； Pn， Pk 點的坐標(biāo)為(xk,0)(k＝ 1,2， … ， n)． (1)試求 xk與 xk－ 1的關(guān)系 (2≤k≤n)； ( 2 ) 求 ?? ??P 1 Q 1 ＋ ?? ??P 2 Q 2 ＋ ?? ??P 3 Q 3 ＋ ? ＋ ?? ??P n Q n . 解析： ( 1 ) 設(shè) Pk － 1( xk － 1 ,0 ) ，由 y ′ ＝ ex,得 Qk － 1( xk － 1， e xk － 1)點處切線方程為 y － e xk － 1＝ e xk － 1( x － xk － 1) ． 由 y ＝ 0 ，得 xk＝ xk － 1－ 1 ( 2 ≤ k ≤ n ) ． ( 2 ) x1＝ 0 ， xk－ xk － 1＝－ 1 ，得 xk＝－ ( k － 1 ) ， | |P k Q k ＝ e xk＝e－ ( k － 1 )， Sn＝ | |P 1 Q 1 ＋ | |P 2 Q 2 ＋ | |P 3 Q 3 ＋ ? ＋ | |P n Q n ＝ 1 ＋ e－ 1＋ e－ 2＋ ? ＋ e－ ( n － 1 )＝1 － e－ n1 － e－ 1 ＝e － e1 － ne － 1. 2 ． ( 2 0 1 1 2n － 2. 當(dāng) n≥2時， Sn ＝ 4an－ 1 ＋ 2＝ 2n－ 1(3n－ 4)＋ 2；當(dāng) n＝ 1時，S1 ＝ a1 ＝ 1也適合上式． 綜上可知，所求的前 n項和公式為 Sn ＝ 2n－ 1(3n－ 4)＋ 2. 點評： 本例主要復(fù)習(xí)用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差、等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前 n項和，解決本題的關(guān)鍵在于由條件 Sn＋ 1＝ 4an＋ 2得出遞推公式． 3. (202221＋ … ＋ (n－ 1)22＋ … ＋ (n－ 1) － 21－ … － 2n－ 1＝ nt2tn＋ 1(t2tn＋ 1) tan ( n ＋ 3 ) ，n ≥ 1 ， 另一方面，利用 tan 1 ＝ tan [( k ＋ 1 ) － k ] ＝tan ? k ＋ 1 ? － tan k1 ＋ tan ? k ＋ 1 ? 南昌市重點中學(xué)聯(lián)考 ) 數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ，滿足 S n ＝32a n －n2－34， 設(shè) b n ＝ lo g 3????????a n ＋12， 求 ： ( 1 ) 數(shù)列 { b n } 的通項 b n ； ( 2 ) 數(shù)列??????????1b n 廣州市調(diào)研 )已知數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，且滿足 Sn＝ 1－ an(n∈ N*)．各項為正數(shù)的數(shù)列 {bn}中，對于一切 n∈ N*，有 且 b1＝ 1， b2＝ 2， b3＝ 3. (1)求數(shù)列