【正文】 現(xiàn)象有關(guān)的一些隨機(jī)變量:　　(1)設(shè)X表示“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)的個(gè)數(shù)”，它的分布列為:　　　　(2)設(shè)Y表示“擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)之和”:　　　　這些隨機(jī)變量X，Y都是各從一個(gè)側(cè)面表示隨機(jī)現(xiàn)象的一種結(jié)果，每個(gè)隨機(jī)變量的值是隨機(jī)的，但其分布告訴我們每個(gè)隨機(jī)變量取值概率，使人們不僅對(duì)全局做到心中有數(shù)，而且還看到X取哪些值的可能性大，X取哪些值的可能性小，譬如:　　X取0可能性最大，X取2的可能性最??；　　Y取7的可能性最大，Y取2，12的可能性最??；　　這些分布中的概率都可用古典方法獲得，每個(gè)概率都是非負(fù)的，其和均為1?！　?2)X取這些值的概率各是多少，或X在任一區(qū)間上取值的概率是多少?　　下面分離散隨機(jī)變量和連續(xù)隨機(jī)變量來敘述它們的分布，因?yàn)檫@兩類隨機(jī)變量是最重要的兩類隨機(jī)變量，而它們的分布形式是有差別的。類似地，檢驗(yàn)10個(gè)產(chǎn)品，其中不合格品數(shù)X是僅可能取0，1，…，10等11個(gè)值的離散隨機(jī)變量?！　?2)一臺(tái)電視機(jī)的壽命X(單位:小時(shí))是在[0，∞)上取值的連續(xù)隨機(jī)變量:“X=0”表示事件“一臺(tái)電視機(jī)在開箱時(shí)就發(fā)生故障”，“X≤10000”表示事件“電視機(jī)壽命不超過10000小時(shí)”，“X40000”表示事件“電視機(jī)壽命超過40000小時(shí)”。可用隨機(jī)變量X的取值來表示事件:“X=0”表示事件“鑄件上無瑕疵”，“X=2”表示事件“鑄件上有兩個(gè)瑕疵”，“X2”表示事件“鑄件上的瑕疵超過兩個(gè)”等等?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量?jī)H取數(shù)軸上有限個(gè)點(diǎn)或可列個(gè)點(diǎn)()，則稱此隨機(jī)變量為離散隨機(jī)變量，或離散型隨機(jī)變量?！　?2)獨(dú)立性和獨(dú)立事件的概率　　設(shè)有兩個(gè)事件A與B，假如其中一個(gè)事件的發(fā)生不依賴另一個(gè)事件發(fā)生與否，則稱事件A與B相互獨(dú)立?！　　　]，記事件AX=“烏龜活到X歲”，從表中可以讀出P(A20)=，P(A80)=?？梢娛录﨎的發(fā)生把原來的樣本空間Ω縮減為新的樣本空間ΩB=B?！　⌒再|(zhì)6:對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，有:　　P(AB)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)()　　其中第一個(gè)等式成立要求P(B)0，第二個(gè)等式成立要求P(A)0。于是有:　　P(A1)=1/2，P(A2)=1/3，P(A1 A2)=1/6由于事件“兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝”可用事件A1∪A2表示，所求概率為P(A1∪A2)。余下就是用古典方法算得:Ai的概率。特別當(dāng)A與B不相容時(shí)，由于P(AB)=P(φ)=0，則:　　P(A U B)=P(A)+P(B)　　性質(zhì)5:對(duì)于多個(gè)互不相容事件A1，A2，A3，…，也有類似的性質(zhì):　　P(A1∪A2∪A3∪…)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+…　　下面的例子可幫助我們理解這些性質(zhì)。人們對(duì)各類的英語(yǔ)書刊中字母出現(xiàn)的頻率進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)。其結(jié)果()表明?！　?二)統(tǒng)計(jì)定義　　用概率的統(tǒng)計(jì)定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)與考察事件A有關(guān)的隨機(jī)現(xiàn)象是可以大量重復(fù)試驗(yàn)的；　　(2)若在n次重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生kn次，則事件A發(fā)生的頻率為:　　頻率fn(A)確能反映事件A發(fā)生的可能性大?。弧　?3)頻率fn(A)將會(huì)隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)不斷增加而趨于穩(wěn)定，這個(gè)頻率的穩(wěn)定值就是事件A的概率。其中組合數(shù)　　是由于考慮到m個(gè)不合格品在n次放回抽樣中出現(xiàn)的次序所致，故Bm發(fā)生的概率為:　　特別，當(dāng)m=n時(shí)，P(Bn)=(M/N)n?！　∈录﨎0=“全是合格品”發(fā)生必須從NM個(gè)合格品中用放回抽樣方式隨機(jī)抽取n次，它共含有(NM)n種取法，故事件B0的概率為:　　　　事件B1=“恰好有一件不合格品”發(fā)生，必須從NM個(gè)合格品中用放回抽樣抽取n1次，而從M個(gè)不合格品中抽一次。放回抽樣是抽一個(gè)，將其放回，均勻混合后再抽下一個(gè)。因?yàn)?0個(gè)產(chǎn)品中只有2個(gè)不合格品，而要從中抽出3個(gè)或4個(gè)不合格品是不可能的。依據(jù)乘法原則，事件Am共含有個(gè)樣本點(diǎn)。故事件A0的概率為　　事件A1=“恰好有1個(gè)不合格品”，要使取出的n個(gè)產(chǎn)品只有一個(gè)不合格品，其他n1個(gè)是合格品，可分二步來實(shí)現(xiàn)。以后對(duì)“隨機(jī)抽取”一詞都可作同樣理解?！　±?，從10個(gè)產(chǎn)品中任取4個(gè)做檢驗(yàn)，所有可能取法是從10個(gè)中任取4個(gè)的組合數(shù)，則不同取法的種數(shù)為:　　這是因?yàn)槿〕龅?個(gè)產(chǎn)品的全排列有4!=24種。注意，這里的r允許大于n?！　?3)排列:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素排成一列稱為一個(gè)排列。　　(1)乘法原理:如果做某件事需經(jīng)k步才能完成，其中做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，…，做第k步有mk種方法，那么完成這件事共有m1m2…mk種方法?！　?3)定義事件C=“點(diǎn)數(shù)之和超過9”={(4，6)，(5，5)，(6，4)，(5，6)，(6，5)，(6，6)}，它含有6個(gè)樣本點(diǎn)，故P(C)=6/36 =1/6?！　?一)古典定義　　用概率的古典定義確定概率方法的要點(diǎn)如下:　　(1)所涉及的隨機(jī)現(xiàn)象只有有限個(gè)樣本點(diǎn)，設(shè)共有n個(gè)樣本點(diǎn)；　　(2)每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性是相同的(等可能性)；　　(3)若被考察的事件A含有k個(gè)樣本點(diǎn)，則事件A的概率定義為:　　　　〔]擲兩顆骰子，其樣本點(diǎn)可用數(shù)對(duì)(x，y表示，其中x與y分別表示第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生可能性的大小用這個(gè)事件的概率P(A)來表示。足球裁判就是用拋硬幣的方法讓雙方隊(duì)長(zhǎng)選擇場(chǎng)地，以示機(jī)會(huì)均等?！　　　?四)概率——事件發(fā)生可能性大小的度量　　隨機(jī)事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的。　　(3)事件A與B的交，由事件A與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱為事件A與B的交，記為A∩B或AB。對(duì)立事件是相互的，A的對(duì)立事件是，的對(duì)立事件必是A。如在擲兩顆骰子的隨機(jī)現(xiàn)象中，其樣本點(diǎn)記為(x，y，其中x與y分別為第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，定義如下兩個(gè)事件:　　A={(x，y):x+y=奇數(shù)}　　B={(x，Y):x與y的奇偶性不同}可以驗(yàn)證A=B?！　?2)互不相容:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B沒有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B互不相容。　　A=“至少有一件合格品”={Ω中剔去(1，1，1)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去(0，0，0)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　C1=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)}；　　C2=“恰有兩件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}；　　C3=“全是不合格品”={(1，1，1)}；　　C0=“沒有一件是不合格品”={(0，0，0)}；　　　　實(shí)際中，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中常會(huì)遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系。下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語(yǔ)言表示。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)7點(diǎn)”就是一個(gè)不可能事件?！　?3)事件A的表示可用集合，也可用語(yǔ)言，但所用語(yǔ)言應(yīng)是明確無誤的?！　?二)隨機(jī)事件　　隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，常用大寫字母A、B、C等表示，如在擲一顆骰子時(shí)，“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)事件，它由1點(diǎn)、3點(diǎn)、5點(diǎn)共三個(gè)樣本點(diǎn)組成，若記這個(gè)事件為A，則有A={1，3，5}?！　‰S機(jī)現(xiàn)象在質(zhì)量管理中到處可見。　　拋硬幣、擲骰子是兩個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象?！　　　　　橛?jì)算方便，可以將數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)，這樣不影響樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果。當(dāng)然可以先將其取絕對(duì)值，再進(jìn)行平均，這就是平均絕對(duì)差:　　　　但是由于對(duì)絕對(duì)值的微分性質(zhì)較差，理論研究較為困難，因此平均絕對(duì)差使用并不廣泛。對(duì)于有序樣本，極差R為: 　　R=x(n)x(1)()　　，5個(gè)軸直徑數(shù)據(jù)的極差R==。注意到該數(shù)與前面定的344相差不大?！　?三)樣本眾數(shù)　　樣本眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值，常記為Mod?！　颖局形粩?shù)定義為有序樣本中位置居于中間的數(shù)值，具體地說:　　　　〔]，得到如下有序樣本:　　， 這里n=5為奇數(shù)，(n+1)/2=3，因而樣本中位數(shù)Me=x(3)=。　　(一)樣本均值　　樣本均值也稱樣本平均數(shù)，記為，它是樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的算術(shù)平均數(shù):　　　　[]軸直徑的一個(gè)n=5的樣本觀測(cè)值(單位:cm)為:，則樣本均值為:　　=++++)= 對(duì)于n較大的分組數(shù)據(jù)，可利用將每組的組中組x＇i用頻率fi加權(quán)計(jì)算近似的樣本均值:　　〔]，100個(gè)罐頭的凈量的均值按分組計(jì)算為:　　=333+…+357 =34508/100=　　樣本均值是使用最為廣泛的反映數(shù)據(jù)集中位置的度量?！　】梢詮闹狈綀D獲得數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，其中包含數(shù)據(jù)取值的范圍，以及它們的集中位置和分散程度等信息。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率。　　　　(5)作頻數(shù)頻率直方圖　　在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)(頻率)為高畫一個(gè)矩形，所得的圖形稱為頻數(shù)(頻率)直方圖。　　(3)確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值。組距可以相等，也可以不相等?！　?2)根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)k及組距h。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。為使抽取的樣本對(duì)總體有代表性，樣本不能是有選擇的，最好應(yīng)是隨機(jī)抽取的，關(guān)于這一點(diǎn)，以后我們還要詳細(xì)解釋。　　上述總體、個(gè)體和樣本的概念是統(tǒng)計(jì)的基本概念，從上面的敘述中，這些概念都可以是具體的產(chǎn)品。但是如果總體中的個(gè)體數(shù)N很大，甚至是無限的，或者觀測(cè)是破壞性的或觀測(cè)的費(fèi)用很大，那么不可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)。例如某個(gè)工廠在一個(gè)月內(nèi)按照一定材料及一定工藝生產(chǎn)的一批燈泡。這里的特性可以是定量的，也可以是定性的。第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)　　一、總體、個(gè)體與樣本　　產(chǎn)品的質(zhì)量可以用一個(gè)或多個(gè)質(zhì)量特性來表示。在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對(duì)象的全體稱為總體。如果總體中包含的個(gè)體數(shù)不大，而對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量特性的觀測(cè)(例如測(cè)量)手段不是破壞性的，工作量也不大，那么有可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)，以得到每個(gè)個(gè)體的質(zhì)量特性值。通過對(duì)樣本的觀測(cè)來對(duì)總體特性進(jìn)行研究，是統(tǒng)計(jì)的核心?！　目傮w中抽取樣本的方法稱為抽樣?！　榱搜芯繑?shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。在本例中xmax=356，xmin=332，從而R=356332=24?！　∶恳唤M的區(qū)間長(zhǎng)度，稱為組距?！　≡诒纠?，=100，取k=9，R/k=24/9=，故取組距h=3。　　(4)計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率　　確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)ni以及頻率fi=ni/n，列出每組的頻數(shù)、頻率表?！　≡诜纸M不完全等距的情形，在作頻率直方圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每個(gè)組的頻率與組距的比值fi/hi為高作矩形。　　如果以每組的累積頻率Fi為高作矩形，所得的直方圖稱為累積頻率直方圖。這些量中，常用的有樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)。在確定樣本中位數(shù)時(shí)，需要將所有樣本數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小從小到大重新排列成以下的有序樣本:　　x(1)，x(2)，…，x(n)其中x(1)=xmin，x(n)=xmax分別是數(shù)據(jù)的最小值與最大值。因此在某些場(chǎng)合，中位數(shù)比均值更能代表一組數(shù)據(jù)的中心位置。在本例中第5組(，]，是所有組中最高的，因而該組的組中值345可以作為眾數(shù)的估計(jì)?！　?一)樣本極差　　樣本極差即是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，用R表示。對(duì)離差不能直接取平均，因?yàn)殡x差有正有負(fù)，取平均會(huì)正負(fù)相抵，無法反映分散的真實(shí)情況?！　≡诰唧w計(jì)算時(shí)，離差平方和也可用以下兩個(gè)簡(jiǎn)便的公式:　　　　因此樣本方差計(jì)算可用以下公式:　　　　，離差平方和、樣本方差及樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算可列表進(jìn)行。(三)樣本變異系數(shù)　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比稱為樣本變異系數(shù)，有時(shí)也稱之為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，記為cv:　　，樣本變異系數(shù)cv=。從這個(gè)定義中可看出，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn):　　(1)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；　　(2)至于哪一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道?！　　瞉隨機(jī)現(xiàn)象的例子:　　(1)一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)；　　(2)一顧客在超市中購(gòu)買的商品數(shù)；　　(3)一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間；　　(4)一顆麥穗上長(zhǎng)著的麥粒個(gè)數(shù)；　　(5)新產(chǎn)品在未來市場(chǎng)的占有率；　　(6)一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間；　　(7)加工機(jī)械軸的直徑尺寸；　　(8)一罐午餐肉的重量?！　　皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻gΩ={正面，反面}；　　“擲一顆骰子”的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}；　　“一顧客在超市中購(gòu)買商品件數(shù)”的樣本空間Ω={0，1，2，…}；　　“一臺(tái)電視機(jī)從開始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間”的樣本空間Ω={t:t≥0}；　　“測(cè)量某物理量的誤差”的樣本空間Ω={x:∞x∞}。　　(2)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)A中某一樣本點(diǎn)發(fā)生，若記ω1，ω2是Ω中的兩個(gè)樣本點(diǎn)():　　當(dāng)ω1發(fā)生，且ω1∈A(表示ω1在A中)，則事件A發(fā)生；　　當(dāng)ω2發(fā)生，且ω2A(表示ω2不在A中)，則事件A不發(fā)生?！　?5)任一樣本空間Ω都有一個(gè)最小子集，這個(gè)最小子集就是空集，它對(duì)應(yīng)的事件稱為不可能事件，記為φ?！　ˇ?{(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)}其中樣本點(diǎn)(0，1)表示第一件產(chǎn)品為合格品，第二件產(chǎn)品為不合格品，其他樣本點(diǎn)可類似解釋?！　ˇ?{(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)，(1，1，1)}　　下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語(yǔ)言表示。顯然，對(duì)任一事件A，有ΩAφ?！　　　?3)相等:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B含有相同的樣本點(diǎn)，則稱事件A與B相等，記為A=B?？梢娋褪恰癆不發(fā)生”，例如在檢查一匹布中，事件“至少有一個(gè)疵點(diǎn)”的對(duì)立事件是“沒有疵點(diǎn)”。并事件A∪B發(fā)生意味著“事件A與