【正文】 特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為s=+（13）解：特征方程有根1,5故齊線性方程的通解為x=2不是特征方程的根，故代入原方程解得A=故通解為x=+（14）解：特征方程有根1+i,1i故齊線性方程的通解為 不是特征方程的根, 取特解行如代入原方程解得A=故通解為+(15) 解：特征方程有根i, i故齊線性方程的通解為,i,是方程的解 代入原方程解得A= B=0 故 代入原方程解得A= B=0 故故通解為x=x x= （*） a)試驗證u(t)=,v(t)=分別是方程組（*）的滿足初始條件u(0)=, v(0)=的解. b)試驗證w(t)＝cu(t)+cv(t)是方程組（*）的滿足初始條件w(0)=的解，其中是任意常數(shù). 解：a) u(0)== u(t)==u(t) 又 v(0)== v(t)== =v(t)因此 u(t),v(t)分別是給定初值問題的解.b) w(0)=u(0)+u(0)= += w(t)= u(t)+ v(t) = + = = =w(t)因此 w(t)是給定方程初值問題的解.2. 將下面的初值問題化為與之等價的一階方程組的初值問題：a) x+2x+7tx=e,x(1)=7, x(1)=2b) x+x=te,x(0)=1, x(0)=1,x(0)=2,x(0)=0c) x(0)=1, x(0)=0,y(0)=0,y(0)=1解：a）令 x＝x, x= x, 得 即 又 x＝x(1)=7 x(1)= x(1)=2于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：x＝ x(1)＝其中 x＝. b) 令＝x ＝ ＝ ＝ 則得： 且 (0)=x(0)=1, =(0)=1, (0)= (0)=2, (0)= (0)=0于是把原初值問題化成了與之等價的一階方程的初值問題：= x(0)=, 其中 x=.c) 令w＝x， w＝，w＝y(tǒng)，w＝y(tǒng)，則原初值問題可化為： 且 即 w w(0)= 其中 w＝3. 試用逐步逼近法求方程組 ＝x x＝ 滿足初始條件 x(0)= 的第三次近似解. 解： =是方程組x=x,x= ，在任何不包含原點的區(qū)間a上的基解矩陣。8. 試證n階非齊線形微分方程（）存在且最多存在n+1個線形無關(guān)解。解：由題將t代入方程0得： ，即t為該方程的解 同理也是該方程的解，又顯然t，線形無關(guān)， 故t，是方程0的基本解組由題可設(shè)所求通解為，則有：解之得：故所求通解為5. 以知方程0的基本解組為，求此方程適合初始條件的基本解組（稱為標(biāo)準(zhǔn)基本解組，即有）并求出方程的適合初始條件的解。證明：由題可知，分別是方程（1），（2）的解則： （3） （4）那么由（3）+（4）得：+即+是方程是+的解。設(shè)由初值和足夠小）所確定的方程解分別為，即，于是 因及、連續(xù)，因此這里具有性質(zhì)：當(dāng)時，；且當(dāng)時，因此對有即是初值問題的解，在這里看成參數(shù)0顯然，當(dāng)時，上述初值問題仍然有解。 =y+dx=x+ 又 =L則：誤差估計為：=4 題 討論方程：在怎樣的區(qū)域中滿足解的存在唯一性定理的條件，并求通過點（0，0）的一切解；解：因為=在y上存在且連續(xù)； 而在上連續(xù)由 有：=（x+c）又 因為y(0)=0 所以：=x另外 y=0也是方程的解；故 方程的解為：=或 y=0。35. 一質(zhì)量為m的質(zhì)點作直線運動，從速度等于零的時刻起，有一個和時間成正比（比例系數(shù)為k1）的力作用在它上面，此質(zhì)點又受到介質(zhì)的阻力，這阻力和速度成正比（比例系數(shù)為k2）。確定發(fā)動機停止2分鐘后艇的速度。31. 解： 方程可化為 兩邊同除以，得 即 令，則 即 兩邊積分得 將代入得， 即 故 32. 解： 方程可化為 兩邊同加上，得 （*）再由，可知 （**）將（*）/（**）得 即 整理得 兩邊積分得 即 另外，也是方程的解。另外，即也是方程的解。6． 解： 得到 即 另外也是方程的解。證明：若，則又即為的一個積分因子。湊微分，得 ：5.(sincos+1)dx+( cos sin+)dy=0解： M=sincos+1 N= cos sin+= sincos cos+sin= sincos cos+sin所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程因為sindxcosdx+dx+ cosdy sindy+dy=0d(cos)+d (sin)+dx+d()=0所以，d(sincos+x )=0故所求的解為sincos+x =C求下列方程的解：6．2x(y1)dx+dy=0解：= 2x , =2x所以，=，故原方程為恰當(dāng)方程又2xydx2xdx+dy=0所以，d(yx)=0故所求的解為yx=C7.(e+3y)dx+2xydy=0解：edx+3ydx+2xydy=0exdx+3xydx+2xydy=0所以，d e( x2x+2)+d( xy)=0即d [e( x2x+2)+ xy]=0故方程的解為e( x2x+2)+ xy=C8. 2xydx+( x+1)dy=0解：2xydx+ xdy+dy=0d( xy)+dy=0即d(xy+y)=0故方程的解為xy+y=C解：兩邊同除以 得即，故方程的通解為解：方程可化為：即， 故方程的通解為： 即：同時，y=0也是方程的解。1. 解： ，=1 .則所以此方程是恰當(dāng)方程。由題意得：（5） 方程變形為 于是 所以，方程的通解為。2）現(xiàn)證方程（4）的任一解都可寫成的形式設(shè)是()的一個解則 （4’）于是 （4’）（4）得從而 即 所以，命題成立。兩邊同除以 令 = P(y)=2y Q(y)= 由一階線性方程的求解公式 ==16 y=+P(x)=1 Q(x)= 由一階線性方程的求解公式 = =c=1y=17 設(shè)函數(shù)(t)于∞t∞上連續(xù)，(0)存在且滿足關(guān)系式(t+s)=(t)(s)試求此函數(shù)。3．=s+解：s=e(e )=e()= e()= 是原方程的解。. . . .常微分方程1.,并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解. 解：對原式進行變量分離得并求滿足初始條件：x=0,y=1的特解.解：對原式進行變量分離得：3 解：原式可化為： 12．解15．16．解： ，這是齊次方程，令17. 解：原方程化為 令方程組則有令當(dāng)當(dāng)另外 19. 已知f(x).解：設(shè)f(x)=y, 則原方程化為 兩邊求導(dǎo)得 x(t+s)=的函數(shù)x(t),已知x’(0)存在。2．+3x=e解：原方程可化為：=3x+e所以：x=e (e e) =e (e+c)