正定二次型的性質及應用-全文預覽
【正文】 只要半正（負）定，則為極?。ù螅c.例1 求函數(shù)的極值.解 ,，.解方程組，易得，（符號任意搭配），.于是，經(jīng)計算得正定；負定；，在，不取極值；在點，取極小值，；在點，取極大值，. 正定二次型在分塊矩陣中的應用.例2 設，分別是階正定矩陣，試判定分塊矩陣是否為正定矩陣.解 可證是正定矩陣.因為，都是實對稱矩陣，從而也是實對稱矩陣且任意的，令，其中，且至少有一個是非零向量，于是.故是正定矩陣. 正定二次型在解決多項式根的有關問題中的應用例3 設次實系數(shù)多項式的根為，令， .證明 易證,這里.必要性 設是個互異實根，因為是范德蒙行列式，所以，,所以與合同，即正定.充分性 設是正定的，所以，那么互異.若中有非實數(shù)，例如， （2）有唯一解.因為是正定的，所以，作為二次型的是正定的,由（2）式有.這與是正定即是正定的矛盾，所以中不能有非實數(shù)的復數(shù)，所以個根為互異的實根. 正定二次型在解決二次曲線和二次曲面方程中的應用例4 利用直角坐標變換化簡如下二次曲面方程.其中.作平移代換,，則有即令又因為 所以適當選取，使，由秩知：（線性方程組）有唯一解：.由，又因為是可逆實對稱陣，所以存在正交陣使得，其中，,則.即，原方程可以化簡為. 正定二次型在線形最小二乘法問題的解中的應用眾所周知線形方程組即任意一組都可能使不等于零，我們設法找使最小，這樣稱為方程組的最小解，這種問題就叫最小二乘法問題.若記為上述線性方程組的系數(shù)矩陣，于是使得值最小的一定是方程組=的解，而其系數(shù)矩陣是一個正定矩陣，它的慣性指數(shù)等于，因此這個線性方程組是有解的，這個解就是最小二乘解. 正定二次型在歐氏空間中的應用（歐氏空間的內積與正定矩陣）定理 設是上的歐氏空間，那么的內積與階正定矩
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