酉矩陣與hermite矩陣性質(zhì)總結(jié)-全文預(yù)覽
【正文】 0)由例 3 . 2 . 1 可得.定理4 . 1 . 2 設(shè)A 是 n 階 Hermite 矩陣, 則(A ) I≤A≤(A ) I, 這時(shí)(A )和 (A )分別表示A 的最大和最小值.證明: 由定理 3 . 4 知, 存在酉矩陣U 使得A= U diag(，…，)U*其中≥≥…≥是矩陣A 特征值, 則(A ) = ， (A )≥0, (A )= , (A )≥0 ( i= 1, 2, …n)并且(A ) I A = U [(A ) Idiag(，…，)U *≥0A (A ) I= U [ diag (，…，)(A ) I]U *≥0即K m in (A ) I≤A≤K max (A ) I .總結(jié)本文探討酉矩陣的性質(zhì)與構(gòu)造。本文主要從Hermite矩陣的性質(zhì),判定定理,正定性和矩陣不等式等幾個(gè)方面探討Hermite 矩陣的重要性, 從而使讀者對(duì)復(fù)數(shù)矩陣中的Hermite矩陣有一個(gè)全面深刻的理解其中設(shè)計(jì)的證明和性質(zhì)與實(shí)對(duì)稱矩陣十分相似, 進(jìn)一步讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到Hermite矩陣在Mn(C)中的地位相當(dāng)于實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)C中的地位。 矩陣分析[M ] . 天津: 天津大學(xué)出版社,1989 .[10]昌. 矩陣分析[M ] . 北京: 北京理工大學(xué)出版社, 1996 .。參考文獻(xiàn)[1] 原永久, 郭元春, 牛鳳文. 高等代數(shù)[M]. 吉林: 吉林大學(xué)出版社, 2000:177182.[2] 任富田. 關(guān)于正交矩陣之和是正交矩陣的充要條件[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào),1999:14.[3] 楊明. 矩陣論[M ]. 武漢::2377[4] F. zhang . Matrix theory basic resultes and techniques. Springer, New York,Berlin,[5] [M]. 北京:高等教育出版社,1996:114211.[6] 北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組. 正交矩陣的若干性質(zhì)[J], 2003:311[7] 戴華. 矩陣論[M ] . 北京: 科學(xué)出版社, 2001 .[8 陳景良, 陳向暉. 特殊矩陣[M ] . 北京: 清華大學(xué)出版社, 2001 .[9 R. A. 合恩, C. R. 約翰遜。在已有酉矩陣的定義的基礎(chǔ)上, 討論：酉矩陣的逆、酉矩陣的轉(zhuǎn)置、酉矩陣的方冪、酉矩陣的數(shù)乘、酉矩陣的乘法、酉矩陣的伴隨矩陣是否仍為酉矩陣, 對(duì)酉矩陣的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行總結(jié)和概括。定理4 . 1 . 1 設(shè)A ,B, C 均為 Hermite矩陣, 則(1)若A≥B,B≥C 則A≥C (傳遞性)(2)若A ≥B (A B) , k 0, 則 kA ≥kB(kA kB). (線性性)(3)若≥,≥, 則+≥+.(4)若A ,B 皆為n 階Hermite 矩陣且A≥B, P 為nm 矩陣, 則P*A P≥P*BP。證明: 略例 3 . 2 . 1 若A , C 均為 n 階 Hermite矩陣且AC=CA , 則AC為正定矩陣。(6)存在n 階Herm ite 矩陣S, 使得A =.定理3 . 2 . 3 n 階 Hermite矩陣A正定的充分必要條件是A 的順序主子式均為正數(shù)。(2)對(duì)任意 n 階可逆矩陣P，P*A P是Hermite 非負(fù)定矩陣。 故A 是正定矩陣。 故P*A P 是Herm ite 矩陣。(4)存在 n 階可逆矩陣P，使得P3A P= 1。(2)若A 0, 數(shù)k, 則 kA 0；(3)若A 0,B 0, 則A + B 0；(4)若A≥0,B≥0, 則A + B≥0 。證明：略．2．4定理 (Hermite矩陣的譜定理)設(shè)A∈Mn，則A是Hermite矩陣的充分必要條件是存在酉矩陣U，使得U*AU=V= diag(，…，)，其中(i=1，2，…，n)均為實(shí)數(shù)。2．2定理設(shè)A=[]∈Mn是給定的，那么A是Hermite矩陣的充分必要條件是A是正規(guī)矩陣，且A的所有特征值都是實(shí)數(shù)。注：這個(gè)定理充分說(shuō)明了Hermite矩陣在矩陣中的地位相當(dāng)于實(shí)數(shù)在復(fù)數(shù)中的地位。(由定義可知的共軛等于故 (i=1，2，3，…，n)為實(shí)數(shù))。如果A=A*，則稱之為斜Hermite矩陣。關(guān)鍵詞: 酉矩陣；Hermite矩陣；正交矩陣；特征值。酉矩陣與Hermite矩陣的淺談韋龍 201131402摘 要科學(xué)在發(fā)展，社會(huì)在進(jìn)步，人們對(duì)于數(shù)學(xué)的理解越來(lái)越深刻，數(shù)學(xué)應(yīng)用于日常生活生產(chǎn)越來(lái)越廣泛。本文主要從Hermite矩陣的性質(zhì)，判定定理，正定性和Hermite矩陣不等式四個(gè)方面討論Hermite矩陣。 表示全體階復(fù)矩陣. . 證明 必要性顯然. 充分性由分解定理知, 任意復(fù)方陣必可酉相似于上三角陣, 即存在階酉陣, 使 (121)由條件得 (122)把(121)及其共軛轉(zhuǎn)置式代入等式(122)直接計(jì)算可得
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