【正文】 因?yàn)槟负瘮?shù)不是的顯函數(shù)，為正則變換。：取在廣義坐標(biāo)根據(jù)教材（）和（）式得動(dòng)能：勢(shì)能：根據(jù)定義式故因?yàn)楣实脼榈诙€(gè)第一積分.同理即得為第三個(gè)第一積分., ①根據(jù)定義②得③根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義代入③式后可求得:④由正則方程得:⑤⑥代入⑤得整理得 , ⑴小球的位置可由確定,故自由度⑵選廣義坐標(biāo),廣義速度.⑶小球動(dòng)能又由①式得設(shè)小球勢(shì)能為V,取固定圓球中心O為零勢(shì)點(diǎn),則小球拉氏函數(shù)=①根據(jù)定義有根據(jù)正則方程④⑤對(duì)式兩邊求時(shí)間導(dǎo)得：故小球球心切向加速度167。由虛功原理：w①又取變分得代入①式得：化簡(jiǎn)得②設(shè)因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得 自由度，質(zhì)點(diǎn)位置為。得由虛功原理 故①因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故②又由 得： ③由②③可得 ，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。點(diǎn)時(shí)絕對(duì)速度設(shè)的夾角為，則,故與邊的夾角為，且指向左下方。為軸。當(dāng)由變?yōu)?的過(guò)程中，機(jī)械能守恒： ①又因?yàn)榇诉^(guò)程中桿已離開墻，所以桿在水平方向受力為零，故質(zhì)心水平方向勻速，即②又點(diǎn)只有水平方向的速度，根據(jù),知當(dāng)桿落地時(shí)，與有如下關(guān)系： ③①得： ④將②③④代入①得： ⑤⑤⑨得 ⑥ ⑦將⑥⑦代入⑤得 。設(shè)，與豎直方向的夾角為，根據(jù)無(wú)滑條件：①②③④⑤從最高點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到圖示位置過(guò)程中，機(jī)械能守恒，即⑥⑦由①～⑦解得 坐標(biāo)系。對(duì)圓柱：①②③④由①②③④式得設(shè)從到的過(guò)程中，圓柱的速度從變到，角速度從變到，所以 。設(shè)球的半徑為，則球繞任一直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量?，F(xiàn)在來(lái)求繩子脫落以后飛輪的角加速度。設(shè)軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外。故當(dāng)時(shí)，桿的質(zhì)心下降，代入④式得故時(shí)間內(nèi)桿的轉(zhuǎn)數(shù) ，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度為，設(shè)它受到地面的摩擦力為，由動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理知：①②對(duì)于滑塊。桿從水平位置擺到豎直位置過(guò)程中只有重力做功，故機(jī)械能守恒。 ?，F(xiàn)分別作與的垂線交于點(diǎn)，則即為瞬心（）。 ，點(diǎn)為極軸的原點(diǎn)，極軸過(guò)點(diǎn)，所以在桿上任意一點(diǎn)。以為基點(diǎn)。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿足微分方程為圓弧相對(duì)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。所以，將代入上式得： 。軸過(guò)點(diǎn)垂直紙面向外。由對(duì)稱性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。所以=①又由于②③由①②③得：故該分子的中心主轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。設(shè)、的坐標(biāo)為，因?yàn)闉橘|(zhì)心（）故①且 ②由①②得所以中心慣量主軸：（b），該原子由、三個(gè)原子構(gòu)成。由于梯子處于平衡，所以①②且梯子沿過(guò)點(diǎn)平行于軸的合力矩為零。即： ②由式得： 。 。棒受到重力。沿過(guò)點(diǎn)且與軸平行的合力矩為0。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。由于噴射速度是常數(shù)，單位時(shí)間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線性規(guī)律①火箭飛行速度②又因?yàn)槿剂先紵龝r(shí)間③代入②得火箭最大速度=又因?yàn)棰谑接挚梢詫懗煞e分可得④從開始到燃燒盡這一段時(shí)間內(nèi)火箭上升高度。當(dāng)火箭燃料全部燃盡所用時(shí)間，由題意知④代入③可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當(dāng)時(shí)，恒成立，即為的增函數(shù)。我們對(duì)②式兩邊求導(dǎo)④由于③=④，所以⑤對(duì)⑤式兩邊積分⑥⑦以雨滴下降方向?yàn)檎较?，?duì)①式分析⑧ （為常數(shù)）當(dāng)時(shí)，所以 證 這是變質(zhì)量問(wèn)題中的減質(zhì)量問(wèn)題，()式①來(lái)分析。我們知道處理這類問(wèn)題常常理想化模型的幾何形狀。水平方向上所受合外力F即為摩擦力②單位時(shí)間質(zhì)量的變化③由①②式所以 這是一個(gè)質(zhì)量增加的問(wèn)題。它的速度由變?yōu)?。以桌面所平面為重力零勢(shì)能面。碰撞過(guò)程中無(wú)外力做功，動(dòng)量守恒。由于質(zhì)心系是慣性系，且無(wú)外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因而他們作的事圓滾線運(yùn)動(dòng)。當(dāng)發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)?，隨即在不可伸長(zhǎng)的繩約束下作圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)相同小球?yàn)?，初始時(shí)小球速度，碰撞后球的速度為，(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡(jiǎn)化表達(dá)式)。、速度分別為、與軸正向夾角分別為、。炮彈在最高點(diǎn)炮炸時(shí)水平方向上無(wú)外力，所以水平方向上的動(dòng)量守恒： ① 以質(zhì)點(diǎn)組作為研究對(duì)象，爆炸過(guò)程中能量守恒： ②聯(lián)立①②解之，得所以落地時(shí)水平距離之差= 解 。因?yàn)榕诖怪彼し较蛏蠠o(wú)加速度，所以 ⑨于是 ⑩ 解 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)組隊(duì)某一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩所以對(duì)于連續(xù)物體對(duì)某一定點(diǎn)或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。用隔離法。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動(dòng)量守恒，有 ①對(duì)分析；因?yàn)?②在劈上下滑，以為參照物，則受到一個(gè)慣性力（方向與加速度方向相反）。當(dāng)達(dá)到最高點(diǎn)人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運(yùn)動(dòng)。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因?yàn)樗詫?duì)于半圓片的質(zhì)心，即代入，有 解 把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。：人造地球衛(wèi)星近、遠(yuǎn)點(diǎn)距離分別為地球半徑有橢圓運(yùn)動(dòng)中的能量方程可知： ①②為衛(wèi)星運(yùn)行的橢圓軌道的長(zhǎng)軸把代入①②有近地點(diǎn)速率遠(yuǎn)地點(diǎn)速率運(yùn)動(dòng)周期（）其中為運(yùn)動(dòng)軌道的半長(zhǎng)軸所以 證 由行星繞太陽(yáng)作橢圓運(yùn)動(dòng)的能量方程為為橢圓的半長(zhǎng)軸。故近日點(diǎn)有即 ①又因?yàn)樗寓冢ㄥ缧窃趩挝粫r(shí)間內(nèi)矢徑掃過(guò)的面積）掃過(guò)扇形面積的速度③又因?yàn)楣蕛蛇叿e分④ 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點(diǎn)為地球軌道半徑處。軌跡方程為在近日點(diǎn)處在遠(yuǎn)日點(diǎn)處由角動(dòng)量守恒有所以 因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)速率所以又由于即又因?yàn)樗詢蛇叿e分即 證（）設(shè)地球軌道半徑為。對(duì)數(shù)螺旋線為常數(shù)。即 ，我們采用的是極坐標(biāo)。所以 解 要滿足勢(shì)能的存在，即力場(chǎng)必須是無(wú)旋場(chǎng)，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢(shì)能存在。同理可得當(dāng)楔子向左作加速度為的勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的和楔子對(duì)斜面的壓力為綜上所述可得解 ，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個(gè)非慣性系里來(lái)分析此題。 解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運(yùn)動(dòng)。當(dāng)時(shí)，即 ①②得，兩邊積分 ③聯(lián)立②③，得 ④同理，當(dāng)時(shí)，即 ⑤由④知，當(dāng)時(shí)，代入⑤得有 ，所以船的軌跡船在對(duì)岸的了；靠攏地點(diǎn)，即時(shí)有 解 以為極點(diǎn)，.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 ①②②/①得 ，對(duì)兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時(shí)，.設(shè)有得 解 質(zhì)點(diǎn)沿下滑，斜槽，易知，由正弦定理即 ① 又因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沿光滑面下滑，即質(zhì)點(diǎn)做勻速直線運(yùn)動(dòng).所以 ②有①② 欲使質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對(duì)求導(dǎo) 極大值時(shí)，故有由于是斜面的夾角，即所以 解 ，上升時(shí) 下降時(shí)則兩個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)方程為：上升 ①下降： ②對(duì)上升階段:即 對(duì)兩邊積分所以 ③即質(zhì)點(diǎn)到達(dá)的高度.對(duì)下降階段：即 ④由③=④可得 .水平方向不受外力，作勻速直線運(yùn)動(dòng)有 ①豎直方向作上拋運(yùn)動(dòng)，有 ②由①得 ③代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)樽訌椀倪\(yùn)動(dòng)軌跡與發(fā)射時(shí)仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，求出極值點(diǎn).即 所以，代入的表達(dá)式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點(diǎn)的距離的最大值 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時(shí)刻在變化，但都在軌道上沒點(diǎn)切線所在的直線方向上，故用自然坐標(biāo)比用直角坐標(biāo)好.軌道的切線方向上有： ①軌道的法線方向上有： ②由于角是在減小的，故 ③由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來(lái)確定，故我們要想法使①②變成關(guān)于的等式由①即 ④把代入可得 ⑤用④⑤可得 即，兩邊積分得 ⑥代入初始條件時(shí)，即可得代入⑥式，得 ⑦又因?yàn)樗? ⑧把⑦代入⑧