【正文】 因為母函數(shù)不是的顯函數(shù)，為正則變換。：取在廣義坐標根據(jù)教材（）和（）式得動能：勢能：根據(jù)定義式故因為故得為第二個第一積分.同理即得為第三個第一積分., ①根據(jù)定義②得③根據(jù)哈密頓函數(shù)的定義代入③式后可求得:④由正則方程得:⑤⑥代入⑤得整理得 , ⑴小球的位置可由確定,故自由度⑵選廣義坐標,廣義速度.⑶小球動能又由①式得設(shè)小球勢能為V,取固定圓球中心O為零勢點,則小球拉氏函數(shù)=①根據(jù)定義有根據(jù)正則方程④⑤對式兩邊求時間導(dǎo)得：故小球球心切向加速度167。由虛功原理：w①又取變分得代入①式得：化簡得②設(shè)因在約束條件下任意，欲使上式成立，須有：由此得 自由度，質(zhì)點位置為。得由虛功原理 故①因在約束條件下是任意的，要使上式成立，必須故②又由 得： ③由②③可得 ，在相距2a的兩釘處約束反力垂直于虛位移，為理想約束。點時絕對速度設(shè)的夾角為，則,故與邊的夾角為，且指向左下方。為軸。當由變?yōu)?的過程中，機械能守恒： ①又因為此過程中桿已離開墻，所以桿在水平方向受力為零，故質(zhì)心水平方向勻速，即②又點只有水平方向的速度，根據(jù),知當桿落地時，與有如下關(guān)系： ③①得： ④將②③④代入①得： ⑤⑤⑨得 ⑥ ⑦將⑥⑦代入⑤得 。設(shè)，與豎直方向的夾角為，根據(jù)無滑條件：①②③④⑤從最高點運動到圖示位置過程中，機械能守恒，即⑥⑦由①～⑦解得 坐標系。對圓柱：①②③④由①②③④式得設(shè)從到的過程中，圓柱的速度從變到，角速度從變到，所以 。設(shè)球的半徑為，則球繞任一直徑的轉(zhuǎn)動慣量?，F(xiàn)在來求繩子脫落以后飛輪的角加速度。設(shè)軸過點垂直紙面向外。故當時，桿的質(zhì)心下降，代入④式得故時間內(nèi)桿的轉(zhuǎn)數(shù) ，設(shè)圓柱體的轉(zhuǎn)動角速度為，設(shè)它受到地面的摩擦力為，由動量定理和動量矩定理知：①②對于滑塊。桿從水平位置擺到豎直位置過程中只有重力做功，故機械能守恒。 。現(xiàn)分別作與的垂線交于點，則即為瞬心（）。 ，點為極軸的原點，極軸過點，所以在桿上任意一點。以為基點。如圖所示圓弧偏離平衡位置一小角度，則滿足微分方程為圓弧相對于軸的轉(zhuǎn)動慣量。所以，將代入上式得： 。軸過點垂直紙面向外。由對稱性可知，、軸就是正方體的中心慣量主軸。所以=①又由于②③由①②③得：故該分子的中心主轉(zhuǎn)動慣量 。設(shè)、的坐標為，因為為質(zhì)心（）故①且 ②由①②得所以中心慣量主軸：（b），該原子由、三個原子構(gòu)成。由于梯子處于平衡，所以①②且梯子沿過點平行于軸的合力矩為零。即： ②由式得： 。 。棒受到重力。沿過點且與軸平行的合力矩為0。均質(zhì)棒受到碗的彈力分別為，棒自身重力為。由于噴射速度是常數(shù)，單位時間放出的質(zhì)量質(zhì)量變化是線性規(guī)律①火箭飛行速度②又因為燃料燃燒時間③代入②得火箭最大速度=又因為②式又可以寫成積分可得④從開始到燃燒盡這一段時間內(nèi)火箭上升高度。當火箭燃料全部燃盡所用時間，由題意知④代入③可得火箭最終的速度，（即速度的最大值）.考慮到其中，易知當時，恒成立，即為的增函數(shù)。我們對②式兩邊求導(dǎo)④由于③=④，所以⑤對⑤式兩邊積分⑥⑦以雨滴下降方向為正方向，對①式分析⑧ （為常數(shù)）當時，所以 證 這是變質(zhì)量問題中的減質(zhì)量問題，()式①來分析。我們知道處理這類問題常常理想化模型的幾何形狀。水平方向上所受合外力F即為摩擦力②單位時間質(zhì)量的變化③由①②式所以 這是一個質(zhì)量增加的問題。它的速度由變?yōu)?。以桌面所平面為重力零勢能面。碰撞過程中無外力做功，動量守恒。由于質(zhì)心系是慣性系，且無外力，所以，分別以速率繞質(zhì)心作勻速圓周運動，因而他們作的事圓滾線運動。當發(fā)生正碰撞后，速度分別變?yōu)?，隨即在不可伸長的繩約束下作圓周運動。設(shè)相同小球為，初始時小球速度，碰撞后球的速度為，(這樣做的好處是可以減少未知量的分解，簡化表達式)。、速度分別為、與軸正向夾角分別為、。炮彈在最高點炮炸時水平方向上無外力，所以水平方向上的動量守恒： ① 以質(zhì)點組作為研究對象，爆炸過程中能量守恒： ②聯(lián)立①②解之，得所以落地時水平距離之差= 解 。因為劈在垂直水皮方向上無加速度，所以 ⑨于是 ⑩ 解 因為質(zhì)點組隊某一固定點的動量矩所以對于連續(xù)物體對某一定點或定軸，我們就應(yīng)該把上式中的取和變?yōu)榉e分。用隔離法。 以，為系統(tǒng)研究，水平方向上系統(tǒng)不受外力，動量守恒，有 ①對分析；因為 ②在劈上下滑，以為參照物，則受到一個慣性力（方向與加速度方向相反）。當達到最高點人把物體水皮拋出后，人的速度改變，設(shè)為，此人即以 的速度作平拋運動。有質(zhì)心公式設(shè)均勻扇形薄片密度為，任意取一小面元，又因為所以對于半圓片的質(zhì)心，即代入，有 解 把球帽看成垂直于軸的所切層面的疊加（圖中陰影部分所示）。：人造地球衛(wèi)星近、遠點距離分別為地球半徑有橢圓運動中的能量方程可知： ①②為衛(wèi)星運行的橢圓軌道的長軸把代入①②有近地點速率遠地點速率運動周期（）其中為運動軌道的半長軸所以 證 由行星繞太陽作橢圓運動的能量方程為為橢圓的半長軸。故近日點有即 ①又因為所以②（彗星在單位時間內(nèi)矢徑掃過的面積）掃過扇形面積的速度③又因為故兩邊積分④ 從數(shù)學(xué)上我們可以得到兩軌道交點為地球軌道半徑處。軌跡方程為在近日點處在遠日點處由角動量守恒有所以 因為質(zhì)點速率所以又由于即又因為所以兩邊積分即 證（）設(shè)地球軌道半徑為。對數(shù)螺旋線為常數(shù)。即 ，我們采用的是極坐標。所以 解 要滿足勢能的存在，即力場必須是無旋場，亦即力為保守力，所以即得為常數(shù)滿足上式關(guān)系，才有勢能存在。同理可得當楔子向左作加速度為的勻加速運動時，質(zhì)點的和楔子對斜面的壓力為綜上所述可得解 ，我們以鋼絲圓圈作參考系，在圓圈這個非慣性系里來分析此題。 解：設(shè)楔子的傾角為，楔子向右作加速度的勻加速運動。當時，即 ①②得，兩邊積分 ③聯(lián)立②③，得 ④同理，當時，即 ⑤由④知，當時，代入⑤得有 ，所以船的軌跡船在對岸的了；靠攏地點，即時有 解 以為極點，.船沿垂直于的方向的速度為，船沿徑向方向的速度為和沿徑向的分量的合成，即 ①②②/①得 ，對兩積分：設(shè)為常數(shù)，即代入初始條件時，.設(shè)有得 解 質(zhì)點沿下滑，斜槽，易知，由正弦定理即 ① 又因為質(zhì)點沿光滑面下滑，即質(zhì)點做勻速直線運動.所以 ②有①② 欲使質(zhì)點到達點時間最短，由可知，只需求出的極大值即可，令把對求導(dǎo) 極大值時，故有由于是斜面的夾角，即所以 解 ，上升時 下降時則兩個過程的運動方程為：上升 ①下降： ②對上升階段:即 對兩邊積分所以 ③即質(zhì)點到達的高度.對下降階段：即 ④由③=④可得 .水平方向不受外力，作勻速直線運動有 ①豎直方向作上拋運動，有 ②由①得 ③代入化簡可得因為子彈的運動軌跡與發(fā)射時仰角有關(guān)，即是的函數(shù)，求出極值點.即 所以，代入的表達式中可得： 此即為子彈擊中斜面的地方和發(fā)射點的距離的最大值 解 阻力一直與速度方向相反，即阻力與速度方向時刻在變化，但都在軌道上沒點切線所在的直線方向上，故用自然坐標比用直角坐標好.軌道的切線方向上有： ①軌道的法線方向上有： ②由于角是在減小的，故 ③由于初末狀態(tài)由速度與水平方向夾角來確定，故我們要想法使①②變成關(guān)于的等式由①即 ④把代入可得 ⑤用④⑤可得 即，兩邊積分得 ⑥代入初始條件時，即可得代入⑥式，得 ⑦又因為所以 ⑧把⑦代入⑧