【正文】 不會(huì)全為零。可見(jiàn)，我們只需證明事實(shí)(I)和事實(shí)(II)。我們斷定：是混合擴(kuò)充的均衡。第三步：從最優(yōu)基得出混合擴(kuò)充的均衡。如果還不是最優(yōu)基，那么再次重復(fù)以上過(guò)程，得到又一個(gè)基。被排除出去的列滿足條件：且。到此，條件(b3)得到驗(yàn)證。首先看的第行：由于,且的第一個(gè)非零元素為正數(shù)，因此的第一個(gè)非零元素也為正數(shù)?？疾斓牡谛小⒌诹械脑兀寒?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)， 。首先來(lái)驗(yàn)證，這里為階單位矩陣。其次，既然且，從行列式的性質(zhì)便可知。我們來(lái)證明是基，即證明滿足基的三個(gè)條件(b1)、(b2)和(b3)。的唯一性保證了只要且，那么的第一個(gè)非零分量必為正數(shù)。假如中沒(méi)有正數(shù)，那么給出，從而增廣矩陣的首列是的個(gè)列的正線性組合；然而根據(jù)的定義，不能表示成的個(gè)列的正線性組合，出現(xiàn)矛盾。若的諸列中符合這個(gè)條件的列不止一個(gè)，那么就取列標(biāo)最小者。第二步：用迭代法構(gòu)造最優(yōu)基任意指定一個(gè)基(比如上面的基)，從出發(fā)來(lái)構(gòu)造最優(yōu)基。則從(其中為階單位陣)知，這里當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí)。事實(shí)上，符合條件(b1)和(b2)是明顯的。如果滿足下面三個(gè)條件：(b1) 是的首列，即；(b2) 是非奇異的矩陣，即行列式；(b3) 的逆矩陣中除首行外，其余各行的第一個(gè)非零元素皆為正數(shù)。第一步：定義基和最優(yōu)基；第二步：構(gòu)造最優(yōu)基；第三步：從最優(yōu)基得出混合擴(kuò)充的均衡。另外，可以看出和具有下面三條性質(zhì)：(1) 對(duì)任何，都有；(2) 對(duì)任何，都有；(3) 對(duì)任何，都有。本定理的證明較長(zhǎng)，會(huì)令讀者感到枯燥。但當(dāng)采用混合策略時(shí)，情況就不同了：矩陣博弈的最優(yōu)混合解總是存在的。這種非合作二人博弈均衡概念，最早是由古諾提出來(lái)的，稱(chēng)為古諾均衡。這種“心想”因素是很難為對(duì)手所把握的，一個(gè)人可以自我覺(jué)察到自己的心情，但其他人(對(duì)手) 卻難以覺(jué)察這個(gè)人的心情。也就是說(shuō)，雖然每個(gè)人都決定采取純策略而總是出正面或反面，但當(dāng)甲隨機(jī)碰到一個(gè)局中人時(shí)，該人是出正面還是反面，甲不得而知，只能作出這樣的判斷：該人出正面的可能性為50％。盡管如此，在某些情況下這種邏輯上的毛病不會(huì)帶來(lái)嚴(yán)重問(wèn)題。這就是說(shuō)，茹達(dá)以概率選擇看話劇，以概率選擇看足球比賽；卡夫以概率選擇看話劇、以概率選擇看足球比賽，是性別博弈的最優(yōu)混合局勢(shì)。通過(guò)對(duì)各種策略進(jìn)行逐一相互比較，不難看出“(話劇，話劇)”和“(足球，足球)”都是純策略最優(yōu)解，即茹達(dá)和卡夫選擇相同的娛樂(lè)，才是最好的做法。如果他們同時(shí)選擇看話劇，則茹達(dá)可得2個(gè)單位的效用，卡夫可得1個(gè)單位的效用；如果同時(shí)選擇看足球比賽，則他們得到的效用正好與此相反；如果他們選擇不同的娛樂(lè)，則得不到任何效用。我們用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明這一點(diǎn)。第一節(jié)例1所述的便士匹配博弈，由于收益矩陣沒(méi)有鞍點(diǎn)，因而沒(méi)有純策略意義下的最優(yōu)解。(4) 當(dāng)是常和博弈時(shí)，是的最優(yōu)混合解當(dāng)且僅當(dāng)?；旌蠑U(kuò)充的最優(yōu)解(均衡)，叫做原博弈的最優(yōu)混合解(混合均衡)。在策略集合和收益函數(shù)都得到擴(kuò)充以后，原來(lái)的純策略博弈就擴(kuò)充成為混合策略博弈，而且可看成是一般的二人博弈，不過(guò)這個(gè)博弈的收益函數(shù)具有雙線性性，即對(duì)于任何，及任何實(shí)數(shù)，都成立：的混合局勢(shì)就是的局勢(shì)。當(dāng)甲采取混合策略，乙采取混合策略時(shí)，就稱(chēng)為博弈的混合局勢(shì)。今后，我們把概率分布就稱(chēng)為局中人甲的混合策略。如果還嫌借助隨機(jī)裝置給出的選擇各個(gè)純策略的概率大小具有一定的客觀性，怕被對(duì)方估計(jì)出來(lái)，局中人還可進(jìn)一步采取主觀概率分布，以使對(duì)純策略的選擇帶有真正的不確定性(參見(jiàn)第六章關(guān)于主觀概率的介紹)。局中人為了保持自己決策的秘密性，不再象以前那樣選擇純策略，而決定采用隨機(jī)辦法來(lái)選擇策略。當(dāng)一種混合策略以概率1選擇某種策略時(shí)，這種策略就是前三節(jié)所談?wù)摰摹凹儭辈呗?，可?jiàn)混合策略擴(kuò)展了策略概念。對(duì)于這兩個(gè)問(wèn)題，目前意義上的策略博弈是解決不了的。對(duì)不合作的適當(dāng)懲罰，是采取生產(chǎn)古諾產(chǎn)量水平這一策略。我們知道，一次性博弈中共同利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量不是博弈均衡，每個(gè)廠商都有激勵(lì)去傾銷(xiāo)額外數(shù)量的產(chǎn)品，如果他認(rèn)為其他廠商將保持產(chǎn)量不變的話。另外，上面論述中還涉及到了貼現(xiàn)率，并要求貼現(xiàn)率不很高。以上論述實(shí)際上是很有力的，有一個(gè)稱(chēng)為弗爾克(Folk)的著名定理支持了這一論述。這就說(shuō)明，只要貼現(xiàn)率不很高，當(dāng)一方背叛時(shí)，另一方也采取背叛給其以懲罰，就能使背叛者償其苦果。如果本次移動(dòng)中一個(gè)人決定背叛，那么另一個(gè)人會(huì)因本次移動(dòng)中采取合作而未得收益，從而從下次以后永遠(yuǎn)采取背叛策略，給對(duì)方以懲罰。具體地說(shuō)，設(shè)局中人在時(shí)刻的收益(即第局重復(fù)中的收益)為，他在重復(fù)博弈中的收益就是貼現(xiàn)和，其中為貼現(xiàn)率。當(dāng)博弈的重復(fù)次數(shù)為無(wú)限時(shí)，情況就大不相同了。然而，將來(lái)最后一次移動(dòng)中并不能得到合作，雙方都背叛了，結(jié)果倒數(shù)第二次移動(dòng)中雙方也只有采取背叛。由于這是最后一次移動(dòng)，將來(lái)不會(huì)再有，因此均衡的標(biāo)準(zhǔn)邏輯推理便得以應(yīng)用，其結(jié)果是局中人雙方都選擇“背叛”策略?，F(xiàn)在來(lái)分析一下“(合作，合作)”局勢(shì)能否成為重復(fù)囚徒博弈的一個(gè)均衡。當(dāng)然，背叛是另一個(gè)局中人的短期利益所在。由于“我的對(duì)手會(huì)基于我的選擇歷史而修正他的行為，我必須在做出自己的選擇時(shí)考慮到這種影響”，所以，重復(fù)博弈的結(jié)果不絕不是一次性博弈的簡(jiǎn)單重復(fù)。反反復(fù)復(fù)地開(kāi)局，給棋手不斷積累經(jīng)驗(yàn)，讓棋手的技藝越來(lái)越高。同大部分經(jīng)濟(jì)模擬一樣，在策略選擇的經(jīng)濟(jì)模擬中，如果既要讓博弈簡(jiǎn)單明了以便分析，又要能夠說(shuō)明實(shí)際策略的迭接要素，那么如何表示博弈的策略選擇，就是一項(xiàng)藝術(shù)。似乎應(yīng)該使用多階段博弈，這樣才能捕獲到策略選擇行為的所有可能的內(nèi)容。在策略選擇的經(jīng)濟(jì)模擬中還有另一方面的考慮，乃就是一旦對(duì)手的行為被觀察到，那么對(duì)手的策略應(yīng)該是被承諾的或者是難以改變的。這導(dǎo)致了相當(dāng)不同的均衡，究竟哪一種是正確的呢？如果抽象地看待這個(gè)問(wèn)題，那么“哪一種模型正確”這樣的提問(wèn)并無(wú)什么意義。由此可知局中人甲和乙的反應(yīng)函數(shù)分別為，博弈的最優(yōu)解為。注意，以上關(guān)于反應(yīng)函數(shù)的討論，沒(méi)有要求策略集合的有限性，即集合和可以是任何集合。甲也再次對(duì)乙的行動(dòng)作出反應(yīng)，采取新策略。利用反應(yīng)函數(shù)，我們也可以解釋博弈的結(jié)局。當(dāng)乙采取了某種策略，而且被甲所覺(jué)察時(shí)，甲必然有所反應(yīng)，要確定出相應(yīng)的對(duì)策以使自己的收益在乙選擇的情況下達(dá)到最大，即要使。◆既然二人常和博弈的最優(yōu)解恰好就是收益函數(shù)的鞍點(diǎn)，鞍點(diǎn)定理告訴我們，當(dāng)收益函數(shù)的鞍點(diǎn)存在時(shí)，利用最小最大原理確定的博弈局勢(shì)就是二人常和博弈的最優(yōu)解。這就證明了。下面的定理給出了鞍點(diǎn)的判別條件。一般來(lái)講，要想一個(gè)二人博弈具有確定的結(jié)局，必須存在這樣的局勢(shì)：滿足這個(gè)條件的的局勢(shì)，叫做博弈的均衡或最優(yōu)解或最優(yōu)局勢(shì)，其中的和分別叫做局中人甲和乙的最優(yōu)策略或均衡策略。但是，當(dāng)甲采取時(shí)，乙采取的收益小于采取的收益，因而乙要改用策略。請(qǐng)看下面二人零和博弈的事例。但是，若乙采用的不是策略, 而是策略，那么甲如不重新選擇他的收益矩陣第列的最大值的話，他的最大最小收益就不一定能夠達(dá)到，這正是最大最小法同最小最大原理的區(qū)別。乙決策的最小最大原理是：乙先選出收益矩陣的各列的最小值，然后從這些最小值中選出最大值：局中人乙按照最小最大原理確定的策略，稱(chēng)為乙的穩(wěn)妥策略。從收益矩陣來(lái)看這個(gè)決策過(guò)程，即甲首先選出自己的收益矩陣的各行的最小值，然后從這些最小值中再選出最大值：這就是求解策略博弈的最小最大原理，其合理性表現(xiàn)為：如果甲采取按照最小最大原理確定的策略，那么不論乙采取什么策略，甲都可至少得到這個(gè)最小最大收益。二．最小最大原理局中人的目標(biāo)是選擇使自己收益最大化的策略，我們來(lái)分析局中人如何決策。否則，就是變和博弈。這樣每個(gè)局中人的收益不但與自己的選擇有關(guān)，而且與對(duì)手的選擇有關(guān)，收益函數(shù)是定義在局勢(shì)集合上的函數(shù)，這里假定了局中人的收益是可以用實(shí)數(shù)來(lái)都來(lái)計(jì)量的。本節(jié)以二人博弈為重點(diǎn)，介紹有關(guān)策略博弈的概念與理論。例如，便士匹配和囚徒難題都是有限博弈，而古諾博弈和貝特蘭博弈都是無(wú)限博弈。正象比較古諾博弈和貝特蘭博弈時(shí)說(shuō)明的問(wèn)題一樣，用博弈論研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題時(shí)，對(duì)于同一經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象，由于選擇了不同的策略集合，得到的博弈結(jié)果截然不同。要定義一個(gè)博弈，需要確定三件事情：一是局中人集合(set of players)，一是局中人的策略集合(set of strategies)，一是局中人的收益函數(shù)(payoff function)。當(dāng)然，每個(gè)局中人都知道其他局中人掌握著這些信息和知識(shí)。為了研究博弈，必須抓住博弈現(xiàn)象的基本要素，這些要素是：局中人、策略、收益?？梢?jiàn)，雙方合作起來(lái)，對(duì)兩個(gè)廠商都有利，似乎應(yīng)該合作。這就是甲乙雙方不合作的結(jié)果，雙方都變得更差。假如甲先進(jìn)入該礦泉市場(chǎng)，那么甲就按照利潤(rùn)最大化價(jià)格$P_1=Q_o/(2b)$獲取最大利潤(rùn)。如果甲和乙相互勾結(jié)串通起來(lái)，采取相同的價(jià)格策略，即，那么甲和乙就能索要一個(gè)壟斷價(jià)格，并且每人可收取一半的壟斷利潤(rùn)。貝特蘭博弈中兩個(gè)局中人甲和乙也是面臨相同的市場(chǎng)需求函數(shù)，不過(guò)現(xiàn)在價(jià)格是自變量，產(chǎn)量為因變量(古諾模型正好相反)。這就是說(shuō)，我們假定消費(fèi)者只從最低價(jià)格廠商那里購(gòu)買(mǎi)產(chǎn)品。反應(yīng)函數(shù)說(shuō)明，古諾博弈中每個(gè)局中人的決策(選定的產(chǎn)量水平)不但依賴(lài)于其他局中人的決策，而且與市場(chǎng)的容量有關(guān)。用表示這局博弈中甲選擇的最優(yōu)產(chǎn)量，表示乙選擇的最優(yōu)產(chǎn)量水平，則甲乙各自的收益分別為和。在這個(gè)博弈中，甲乙雙方的策略都表現(xiàn)為選擇產(chǎn)量水平，局中人的收益即為廠商的利潤(rùn)。古諾假定：①有兩個(gè)天然礦泉在一起，分別為廠商甲和乙占有；②兩個(gè)礦泉都為自流井，生產(chǎn)成本為零，邊際成本也為零；③甲和乙面對(duì)相同的需求曲線，采用相同的價(jià)格；④雙方都以為對(duì)方的產(chǎn)量水平不會(huì)改變。總之，在收益最大化動(dòng)機(jī)的驅(qū)使下，局中人的最優(yōu)選擇是背叛。從收益表可以看出，甲乙雙方的收益之和不為零，而且收益和是變化的。奧曼(Aumann)1987年對(duì)囚徒博弈給出了一個(gè)特別簡(jiǎn)單的描述：每個(gè)局中人都可以對(duì)仲裁人簡(jiǎn)單地宣告“給我1000元”或“給對(duì)方3000元”?？梢?jiàn)，如果甲乙雙方都采取合作策略，雙方各得3000元收益。右表給出了囚徒博弈的局勢(shì)表。這就是所謂的囚徒博弈，也叫做囚徒難題。習(xí)慣上，人們喜歡把二人博弈的第一個(gè)局中人甲叫做“列”，第二個(gè)局中人乙叫做“行”，而且總是把列的收益寫(xiě)在前面(即左邊)，行的收益寫(xiě)在后面(即右邊)。局中人的收益函數(shù)也可用表格或矩陣加以表示，并稱(chēng)其為收益表或收益矩陣。當(dāng)甲和乙都作出選擇時(shí)，博弈的局勢(shì)就確定了。下面來(lái)舉例說(shuō)明。當(dāng)所有當(dāng)事人都拿定主意作出決策時(shí)，博弈的局勢(shì)就暫時(shí)確定下來(lái)。大部分經(jīng)濟(jì)行為都可視作博弈的特殊情況，比如把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)看成是一種博弈，把競(jìng)爭(zhēng)均衡看成是該博弈的古諾納什均衡。第八章 博弈論前面章節(jié)對(duì)經(jīng)濟(jì)人最優(yōu)決策的討論，是在簡(jiǎn)單環(huán)境下進(jìn)行的，沒(méi)有考慮經(jīng)濟(jì)人之間決策相互影響的問(wèn)題。最近十幾年來(lái)，博弈論在經(jīng)濟(jì)學(xué)中得到了廣泛應(yīng)用，在揭示經(jīng)濟(jì)行為相互制約性質(zhì)方面取得了重大進(jìn)展。一般來(lái)講，博弈現(xiàn)象的特征表現(xiàn)為兩個(gè)或兩個(gè)以上具有利害沖突的當(dāng)事人處于一種不相容的狀態(tài)中，一方的行動(dòng)取決于對(duì)方的行動(dòng)，每個(gè)當(dāng)事人的收益都取決于所有當(dāng)事人的行動(dòng)。在每個(gè)局中人的收益都依賴(lài)于其他局中人的選擇的情況下，追求收益最大化的局中人應(yīng)該如何采取行動(dòng)？顯然，為了確定出可行的策略，每個(gè)局中人都必須考慮其他局中人面臨的問(wèn)題。表1： 便士匹配博弈局勢(shì)表 乙甲正面反面正面(正，正)(正，反)反面(反，正)(反，反)對(duì)于這個(gè)博弈，每個(gè)局中人可選擇的策略都有兩種：正面朝上和反面朝上，即甲和乙的策略集合都是{正面，反面}。本例中，甲的收益函數(shù)為：，；乙的收益函數(shù)為：。這種博弈就是所謂的二人零和博弈。他們可以選擇合作，拒絕供出任何犯罪事實(shí)；也可以選擇背叛，供出對(duì)方的犯罪行徑。比如在雙頭壟斷的情況下，合作可以解釋為“保持索要一個(gè)高價(jià)”，背叛可解釋為“降價(jià)以爭(zhēng)奪對(duì)手的市場(chǎng)”。同樣，如果乙采取合作策略，那么甲就能得到3000元的收益。需要注意的是，囚徒博弈中的貨幣支付來(lái)自第三方——局外人，這正是囚徒博弈同便士匹配博弈的不同之處。表4列出了甲乙雙方的收益情況。但從收益表可以得出這樣的結(jié)論：如果一個(gè)局中人認(rèn)為另一個(gè)局中人將合作，從而他將得到3000元收益，那么他若采取背叛策略，就將總共能獲得4000元的收益；如果他認(rèn)為另一個(gè)局中人為了得到1000元鼓勵(lì)而將背叛，那么他也就只好為了自己也取得1000元鼓勵(lì)而采取背叛策略(否則，他將一無(wú)所獲)。例3．古諾博弈(雙頭壟斷：產(chǎn)量較量)法國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家古諾(Cournot)于1838年以天然礦泉井為例，首次建立了簡(jiǎn)單的雙頭壟斷博弈模型，其特點(diǎn)是，壟斷廠商雙方都天真地以為對(duì)方不會(huì)改變?cè)挟a(chǎn)量水平，雙方都追求各自利潤(rùn)最大化。當(dāng)甲的礦泉水產(chǎn)量為，乙的產(chǎn)量為時(shí)，礦泉水的市場(chǎng)價(jià)格為，甲的利潤(rùn), 乙的利潤(rùn)為。為了說(shuō)明這個(gè)博弈的結(jié)果，假設(shè)甲乙雙方面臨的反需求函數(shù)。進(jìn)一步求解可得：, 即博弈的結(jié)果是雙方最終各占據(jù)礦泉市場(chǎng)的三分之一。不論市場(chǎng)價(jià)格如何，只要某一廠商降低價(jià)格，而其他競(jìng)爭(zhēng)對(duì)手保持原價(jià)格不變，那么降價(jià)廠商就能占有全部市場(chǎng)。這就是說(shuō)，貝特蘭博弈的構(gòu)建同古諾博弈相似，所不同的是貝特蘭博弈中局中人的策略是選擇價(jià)格，而古諾博弈局中人的策略是選擇產(chǎn)量水平。如果甲和乙不相互勾結(jié)串通，當(dāng)乙采取了價(jià)格水平時(shí)，甲認(rèn)為乙不會(huì)改變這一價(jià)格水平，從而為了占領(lǐng)市場(chǎng)而要采取低于乙的價(jià)格水平的價(jià)格，于是甲的利潤(rùn)為，乙的利潤(rùn)為零；同樣，當(dāng)甲采取了價(jià)格水平時(shí)，乙認(rèn)為甲不會(huì)改變這一價(jià)格水平，從而為了占領(lǐng)市場(chǎng)而要采取低于甲的價(jià)格水平的價(jià)格，于是乙的利潤(rùn)為, 甲的利潤(rùn)為零。但是，占領(lǐng)市場(chǎng)的誘惑對(duì)每個(gè)局中人都存在，只要他稍微降價(jià)，他就能獲得全部市場(chǎng)。這樣不斷往復(fù)下去，直至最后甲乙雙方都把價(jià)格水平定為零時(shí)才可達(dá)到均衡，此時(shí)雙方的收益為零，市場(chǎng)各占一半(即甲的銷(xiāo)售量和乙的銷(xiāo)售量相等，且)。合作，可以索要一個(gè)高的壟斷價(jià)格；背叛，則導(dǎo)致市場(chǎng)價(jià)格為零，雙方利潤(rùn)為零。實(shí)際上，經(jīng)濟(jì)學(xué)中大部分經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象都可以作為博弈的特殊情形進(jìn)行研究，比如歷史上解決競(jìng)爭(zhēng)均衡的存在性這一經(jīng)濟(jì)學(xué)基本問(wèn)題時(shí)，就把經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)看成為一局博弈。我們假定每一個(gè)局中人都知道他自己和別人的策略集合與收益函數(shù)，這就是說(shuō)，每個(gè)局中人的策略集合與收益函數(shù)為所有局中人所共知。第二節(jié) 策略博弈為了能夠正確地應(yīng)用博弈論研究經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，需要對(duì)