證明不等式的基本方法章末復(fù)習(xí)方案課件人教a選修-全文預(yù)覽
【正文】 證明 ] 由11 2 3 ? k11 比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實(shí)數(shù)比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形；③判斷結(jié)果的符號(hào)；④下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號(hào)，而不是考慮差能否化簡(jiǎn)或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法． [ 例 1] 若 x ， y ， z ∈ R ， a ＞ 0 ， b ＞ 0 ， c ＞ 0 ，求證： b ＋ cax2＋c ＋ aby2＋a ＋ bcz2≥ 2( xy ＋ yz ＋ zx ) ． [ 證明 ] ∵b ＋ cax2＋c ＋ aby2＋a ＋ bcz2－ 2( xy ＋ yz ＋ zx ) ＝ (bax2＋aby2－ 2 xy ) ＋ (cby2＋bcz2－ 2 yz ) ＋ (acz2＋cax2－ 2 zx )＝ ( bax －aby )2＋ ( cby － bcz )2＋ ( acz －cax )2≥ 0. ∴b ＋ cax2＋c ＋ aby2＋a ＋ bcz2≥ 2( xy ＋ yz ＋ zx ) 成立 . 綜合法證明不等式的思維方向是 “順推 ”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件 (由因?qū)Ч?)，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立． 綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時(shí)要注意的是：作為依據(jù)和出發(fā)點(diǎn)的幾個(gè)重要不等式 (已知或已證 )成立的條件往往不同，應(yīng)用時(shí)要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯(cuò)誤，如一些帶等號(hào)的不等式，應(yīng)用時(shí)要清楚取等號(hào)的條件，即對(duì)重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng) ?? 時(shí)，取等號(hào) ”的理由要理解掌握． [ 例 2] 設(shè) f ( x ) ＝ 3 ax2＋ 2 bx ＋ c ，若 a ＋ b ＋ c ＝ 0 ， f ( 0) 2 10．已知 a， b， c， d都是實(shí)數(shù)，且 a2＋ b2＝ 1， c2＋ d2＝ 1， 求證： |ac＋ bd|≤1. 證明： 法一 ( 綜合法 ) ：因?yàn)?a ， b ， c ， d 都是實(shí)數(shù)，所以| ac ＋ bd |≤ | ac |＋ | bd |≤a2＋ c22＋b2＋ d22 ＝a2＋ b2＋ c2＋ d22. 又因?yàn)?a2＋ b2＝ 1 ， c2＋ d2＝ 1 ， 所以 | ac ＋ bd |≤ 1. 法二 ( 比較法 ) ：顯然有 | ac ＋ bd |≤ 1 ? － 1 ≤ ac ＋ bd ≤ 1. 先證明 ac ＋ bd ≥ － 1. ∵ ac ＋ bd － ( － 1) ＝ ac ＋ bd ＋12＋12 ＝ ac ＋ bd ＋a2＋ b22＋c2＋ d22＝? a ＋ c ?2＋ ? b ＋ d ?22≥ 0. ∴ ac ＋ bd ≥
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