【正文】 x5 + x6 ≥ 30 x1,x2,x3,x4,x5,x6 ≥ 0 例題分析 4：合理下料問題 ? 例 4 假定現(xiàn)有一批某種型號的 圓鋼長 8米 ，需要裁取長 米的毛坯 100根、長 200根，問應(yīng)該怎樣選擇下料方式才能既滿足需要，又使總的用料最??？ ? 解：各種可能的裁剪方案如下表所示： 型號 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 需要根數(shù) 3 2 1 0 0 2 4 6 100 200 余料 (米 ) — 例題分析 4：合理下料問題 ? 設(shè) x1,x2,x3,x4 分別為上面 4種方案下料的原材料根數(shù)。帕累托改進（ Pareto improvement）是指資源分配的一種改進狀態(tài)：如果固有的一群人和可分配的資源，從一種分配狀態(tài)到另一種分配狀態(tài)的變化中，在沒有使任何人境況變壞的前提下，可以使其中至少一個人變得更好。 ? 鼻子側(cè)面ㄑ字型 ,鼻梁旳長度以及鼻尖高度旳比 = 1:。 ? 鼻子以及嘴巴旳寬度 = 1:。［也相近于 1:］ ? 歐洲的古代城堡為什么建成圓形？ 案例：生產(chǎn)計劃問題 ?例 1. 某工廠在計劃期內(nèi)要安排 Ⅰ 、 Ⅱ 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時及 A、 B兩種原材料的消耗、資源的限制，如下表： Ⅰ Ⅱ 資源限制 設(shè)備 1 1 300 臺時 原料 A 2 1 400 千克 原料 B 0 1 250 千克 單位產(chǎn)品獲利 50 元 100 元 ?問題：工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少單位 Ⅰ 、 Ⅱ 產(chǎn)品才能使工廠獲利最多？ 第一節(jié) 線性規(guī)劃 ? 一、在管理中一些典型的線性規(guī)劃應(yīng)用 ? 二、線性規(guī)劃的一般模型 ?三、 線性規(guī)劃問題的計算機求解（ Excel， lingo） 第一節(jié) 線性規(guī)劃 一、在管理中一些典型的線性規(guī)劃應(yīng)用 ?合理利用線材問題：如何在保證生產(chǎn)的條件下，下料最少 ?配料問題：在原料供應(yīng)量的限制下如何獲取最大利潤 ?投資問題：從投資項目中選取方案，使投資回報最大 ?產(chǎn)品生產(chǎn)計劃：合理利用人力、物力、財力等，使獲利最大 ?勞動力安排：用最少的勞動力來滿足工作的需要 ?運輸問題：如何制定調(diào)運方案，使總運費最小 小知識 ? 茅于軾擇優(yōu)分配原理 ? 茅于軾通過引進帕累托最優(yōu)理論和帕累托改進理論，提出他的擇優(yōu)分配原理 ? 帕累托最優(yōu)（ Pareto Optimality）是指資源分配的一種理想狀態(tài)：如果固有的一群人和可分配的資源，從一種分配狀態(tài)到另一種分配狀態(tài)的變化中，在沒有使任何人境況變壞的前提下，不會使任何一個人變得更好。 第一節(jié) 線性規(guī)劃 ? 二、線性規(guī)劃的一般模型 ? （一）線性規(guī)劃的組成： ? 目標(biāo)函數(shù) Max F 或 Min F ? 約束條件 . (subject to) 滿足于 ? 決策變量 用符號來表示可控制的因素 第一節(jié) 線性規(guī)劃 ?（二）建模過程 ，了解解題的目標(biāo)和條件； （ x1 ， x2 ， ? ， xn ），每一組值表示一個方案； ，確定最大化或最小化目標(biāo)； 題過程中必須遵循的約束條件 第一節(jié) 線性規(guī)劃 ?（三）線性規(guī)劃模型的一般形式 目標(biāo)函數(shù)： Max （ Min） z = c1 x1 + c2 x2 + ? + xn 約束條件： . a11 x1 + a12 x2 + ? + a1n xn ≤ （ =, ≥ ） b1 a21 x1 + a22 x2 + ? + a2n xn ≤ （ =, ≥ ） b2 ?? ?? am1 x1 + am2 x2 + ? + amn xn ≤ （ =, ≥ ） bm x1 ，x2 ， ? ， xn ≥ 0 例題分析 1：生產(chǎn)計劃問題 ?例 1. 某工廠在計劃期內(nèi)要安排 Ⅰ 、 Ⅱ 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，已知生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺時及 A、 B兩種原材料的消耗、資源的限制，如下表： Ⅰ Ⅱ 資源限制 設(shè)備 1 1 300 臺時 原料 A 2 1 400 千克 原料 B 0 1 250 千克 單位產(chǎn)品獲利 50 元 100 元 問：工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少單位 Ⅰ 、 Ⅱ 產(chǎn)品才能使工廠獲利最多？ 例題分析 1：生產(chǎn)計劃問題 ? 解：工廠應(yīng)分別生產(chǎn) Ⅰ 、 Ⅱ 產(chǎn)品 x x2單位，則所求的線性規(guī)劃模型為： ? Max z = 50 x1 + 100 x2 ? . x1 + x2 ≤ 300 ? 2 x1 + x2 ≤ 400 ? x2 ≤ 250 ? x1 , x2 ≥ 0 例題分析 2：食譜問題 ?例 1 已知某人每周所需的營養(yǎng)成分、所食用的食品及單位食品所含營養(yǎng)如下表所示： 營養(yǎng)成分 大米 白菜 雞蛋 豬肉 營養(yǎng)成分的需要量（周） 蛋白質(zhì) 某維生素 某礦物質(zhì) a11 a12 a13 a14 a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34 b1 b2 b3 單價（元） c1 c2 c3 c4 — 問這個人每周應(yīng)食用大米、白菜、雞蛋和豬肉各多少，能使生活費用最?。? 例題分析 2：食譜問題 ? 解：設(shè)這個人每周應(yīng)食用大米、白菜、雞蛋、豬肉各為 xx x x4，則所求的線性規(guī)劃模型為： ? minZ = c1x1+c2x2+c3x3+c4x4 ? . a11x1+a12x2 +a13x3+a14x4≥b 1 ? a21x1+a22x2+a23x3+a24x4 ≥b 2 ? a31x1+a32x2+a33x3+a34x4 ≥b 3 ? x1,x2,x3,x4 ≥0 小知識 ? 明尼蘇達(dá)大學(xué)建立食物營養(yǎng)價值評估數(shù)據(jù)庫，可對每天需要的營養(yǎng)與食物作最優(yōu)化選擇 ? 作業(yè)：建立自己的小營養(yǎng)優(yōu)化選擇 例題分析 3：人力資源分配問題 例 2．某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時間段內(nèi)所需司機和乘務(wù)人員數(shù)如下： 班次 時間 所需人數(shù) 1 6 ： 00 —— 10 ： 00 60 2 10 ： 00 —— 14 ： 00 70 3 14 ： 00 —— 18 ： 00 60 4 18 ： 00 —— 22 ： 00 50 5 22 ： 00 —— 2 ： 00 20 6 2 ： 00 —— 6 ： 00 30 設(shè)司機和乘務(wù)人員分別在各時間段一開始時上班，并連續(xù)工作 八小時 (注意每班次才 4小時 )，問該公交線路怎樣安排司機和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又配備最少司機和乘務(wù)人員 ? 例題分析 3：人力資源分配問題 解：設(shè) xi 表示從第 i班次開始上班的司機和乘務(wù)人員數(shù)(i=1,2,3,4,5,6),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。已知： 項目 A：從第一 年 到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利 110%； 項目 B：從第一年到第四年每年年初都可投資，次年末能收回本利 125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過 30萬元； 項目 C：需在第三年年初投資，第五年末能收回本利 140%，但規(guī)定最大投資額不能超過 80萬元； 項目 D：需在第二年年初投資，第五年末能收回本利 155%，但規(guī)定最大投資額不能超過 100萬元。 交點的求法 A， D， O容易求出，對于 B、 C 4x+5y=200 3x+10y=300 9x+4y=360 4x+5y=200 x=(2005y)/4代入 3x+10y=300， (60015y)/4+10y=300， 60015y+40y=1200， y=24，代入 3x+10y=300，有 3x=60， x=20，所以 B為（ 20， 24） x=(2005y)/4代入 9x+4y=360， (180045y)/4+4y=360， 7200180y+16y=1440， y=(72001440)/(18016)=1000/29，代入4x+5y=200，有 x=360/29，所以 C為 (1000/29,360/29) 另一個例子： Min S(x,y)=200x+160y 6x+2y=12 2x+2y=8 4x+12y=24 0=x=7， 0=y=7 2 4 6 7 7 6 4 2 6x+2y=12 2x+2y=8 4x+12y=24 y=7 x=7 E(0,7) D(0,6) (0,4) (0,2) (0,0) (2,0) (4,0) A(6,0)G(7,0) F(7,7) C(1,3) B(3,1) 圓圈表示可行域的邊界 最優(yōu)解在圓圈所在的點取得 把這些點分別代