【正文】 1()( 723535893 ?????????? xxxxxxxxxxTx38 ? 循環(huán)碼的生成 ?有了生成矩陣 G，就可以由 k個(gè)信息位得出整個(gè)碼組： 例： 式中， 生成矩陣 G的每一行都是一個(gè)碼組。 )()()()( xRxQxNxF ??）（模 )()()( xNxRxF ?）（模 )1(1 33 ?? xx）（模 )1(11 3224 ?????? xxxxx37 ? 循環(huán)碼的數(shù)學(xué)表示法 在循環(huán)碼中，設(shè) T(x)是一個(gè)長度為 n的碼組，若 則 T? (x)也是該編碼中的一個(gè)碼組。例如，在模 2運(yùn)算中，有 1 + 1 = 2 ? 0 (模 2)， 1 + 2 = 3 ? 1 (模 2)， 2 ? 3 = 6 ? 0 (模 2) 等等。 ? 例：一種 (7, 3)循環(huán)碼的全部碼組如下 表中第 2碼組向右移一位即得到第 5碼組；第 5碼組向右移一位即得到第 7碼組。 『 證 』 若 A1和 A2是兩個(gè)碼組，則有： A1HT = 0, A2HT = 0 將上兩式相加，得出 A1HT + A2HT = (A1 + A2 ) HT = 0 所以 (A1 + A2)也是一個(gè)碼組。 假設(shè)，這時(shí)該式的右端等于 S，即有 BH T = S 將 B = A + E 代入上式得到 : S = (A + E) H T = AH T + EH T 32 S = (A + E) H T = AH T + EH T 上式右端第一項(xiàng)等于 0，所以 S = EH T － 校正子矩陣 當(dāng) H 確定后，上式中 S只與 E 有關(guān)，而與 A 無關(guān)。 例如， 若發(fā)送碼組 A = [1 0 0 0 1 1 1]， 錯(cuò)碼矩陣 E = [0 0 0 0 1 0 0]， 則 接收碼組 B = [1 0 0 0 0 1 1]。 ?矩陣 G的各行也必須是線性無關(guān)的。 ?若一個(gè)矩陣能寫成典型陣形式 [P Ir]，則其各行一定是線性無關(guān)的。 ?H 的行數(shù)就是監(jiān)督關(guān)系式的數(shù)目，即監(jiān)督位數(shù) r 。 ?漢明碼的碼率： 當(dāng) r (或 n)很大時(shí)，上式趨近于 1。 例：若接收碼組為 0000011，則按上三式計(jì)算得到： S1 = 0， S2 = 1， S3 = 1。現(xiàn)在用 a6 a5 a4 a3 a2 a1 a0表示這 7個(gè)碼元，用 S1 S2 S3表示校正子，則這 3個(gè)校正子恰好能夠指明 23 – 1 = 7個(gè)錯(cuò)碼的位置。 ?一般而言，若有 r 個(gè)監(jiān)督關(guān)系式，則 r 個(gè)校正子可以指明一個(gè)錯(cuò)碼的 (2^r – 1) 個(gè)不同位置。 ?若此碼組長度增加一位，則能增加一個(gè)監(jiān)督關(guān)系式。 將給定條件代入式 計(jì)算得出 由計(jì)算結(jié)果可見，糾錯(cuò)編碼可以將誤碼率從 104降低到 108量級(jí)，顯著提高了通信的可靠性，效果非常明顯。 ?設(shè)：碼組長度為 n， 碼組中各個(gè)錯(cuò)碼的發(fā)生是獨(dú)立的和等概率的， 則在一個(gè)碼組中出現(xiàn) j 個(gè)錯(cuò)碼的概率為 式中， — 為在 n個(gè)碼元中有 j個(gè)錯(cuò)碼的組合數(shù)。 ? ? ? ? )(// 00 dBnEnEG cbubdB ??15 奇偶監(jiān)督碼 一維奇偶監(jiān)督碼 ? 奇偶監(jiān)督碼 － 分為奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼兩類。 106 105 104 103 102 101 編碼后 Eb/n0 (dB) 編碼和誤碼率關(guān)系 Pe ? ? ? C D E ? A ? B 2PSK 12 功率和帶寬的關(guān)系 采用編碼以節(jié)省功率，并保持 誤碼率不變，付出的代價(jià)也是 帶寬增大。 ?分組碼的一般結(jié)構(gòu)： ?分組碼的參數(shù)： ?碼重：碼組內(nèi)“ 1”的個(gè)數(shù) ?碼距：兩碼組中對(duì)應(yīng)位取值不同的位數(shù)，又稱漢明距離 ?最小碼距 (d0) ：各碼組間的最小距離 信息位 監(jiān)督位 晴 00 0 云 01 1 陰 10 1 雨 11 0 k個(gè)信息位 r個(gè)監(jiān)督位 an1 an2 ... ar ar1 an2 ... a0 t 碼長 n = k + r 分組碼的結(jié)構(gòu) 7 ? 編碼序列的參數(shù) ? n － 編碼序列中總碼元數(shù)量 ? k － 編碼序列中信息碼元數(shù)量 ? r － 編碼序列中差錯(cuò)控制碼元數(shù)量 （差錯(cuò)控制碼元，以后稱為監(jiān)督碼元或監(jiān)督位 ） ? k/n － 碼率 ? (n k) / k = r / k － 冗余度 8 ?碼距的幾何意義：以 n = 3的編碼為例 ?一般而言，碼距是 n 維空間中單位正多面體頂點(diǎn)之間的漢明距離。 ?若規(guī)定只許用兩個(gè)碼組：例如 000 – 晴 111 – 雨 就能檢測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或糾正一個(gè)錯(cuò)碼。 選擇重發(fā) ARQ系統(tǒng) 9 接收數(shù)據(jù) 有錯(cuò)碼組 有錯(cuò)碼組 2 1 4 3 6 5 7 5 9 8 10 11 13 14 12 發(fā)送數(shù)據(jù) 9 9 5 8 5 2 1 4 3 6 7 10 11 13 14 12 重發(fā)碼組 重發(fā)碼組 NAK9 ACK1 NAK5 ACK5 ACK9 5 糾錯(cuò)編碼的基本原理 ? 分組碼舉例 ?設(shè)：有一種由 3個(gè)二進(jìn)制碼元構(gòu)成的編碼，它共有 23 = 8種 不同的可能碼組： 000 – 晴 001 – 云 010 – 陰 011 – 雨 100 – 雪 101 – 霜 110 – 霧 111 – 雹 這時(shí)，若一個(gè)碼組中發(fā)生錯(cuò)碼，則將收到錯(cuò)誤信息。 ?適用在發(fā)送碼元中有大量多余度，刪除部分接收碼元不影響應(yīng)用之處。 ?前向糾錯(cuò) (FEC)：利用加入的差錯(cuò)控制碼元，不但能夠發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，還能糾正錯(cuò)碼。 ? 差錯(cuò)控制：包括信道編碼在內(nèi)的一切糾正錯(cuò)誤手段。 ?方法：增加多余比特，以發(fā)現(xiàn)或糾正錯(cuò)誤。 ?通信系統(tǒng)需要有雙向信道。 ?檢錯(cuò)刪除： ?在接收端發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼后，立即將其刪除。 ?傳輸效率降低，可能因反復(fù)重發(fā)而造成事實(shí)上的通信中斷。 ?這種編碼只能檢測(cè)錯(cuò)碼，不能糾正錯(cuò)碼。 右表中的碼組為 (3, 2)碼。 A B 1 t t 漢明距離 e 碼距等于 (e+t+1)的兩個(gè)碼組 )(10 teted ????11 糾錯(cuò)編碼系統(tǒng)的性能 誤碼率性能和帶寬的關(guān)系 采用編碼降低誤碼率 所付出的代價(jià)是帶寬的增大。 BsssbRnPTnPnTPnE0000 )/1(???106 105 104 103 102 101 編碼后 Eb/n0 (dB) 編碼和誤碼率關(guān)系 Pe ? ? ? C D E ? A ? B 2PSK 14 編碼增益 定義：在保持誤碼率恒定條件下，采用糾錯(cuò)編碼所節(jié)省的信 噪比 Eb/n0稱為編碼增益： 式中， (Eb/n0)u － 未編碼時(shí)的信噪比 (dB)； (Eb/n0)c － 編碼后所需的信噪比 (dB)。 ? 奇數(shù)監(jiān)督碼中，此監(jiān)督位使碼組中“ 1”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)： 0021 ???? ?? aaa nn ?1021 ???? ?? aaa nn ?16 ? 檢錯(cuò)能力 － 能夠檢測(cè)奇數(shù)個(gè)錯(cuò)碼。試計(jì)算其不能檢測(cè) 的誤碼率。 ?監(jiān)督關(guān)系式： 0021 ???? ?? aaa nn ?021 aaaS nn ???? ?? ?021 aaaS nn ???? ?? ?20 ? 糾錯(cuò)基本原理 ? 中， S只有兩種取值，故只能表示有錯(cuò)和無錯(cuò)，而不能進(jìn)一步指明錯(cuò)碼的位置。若用其中一種組合表示無錯(cuò)碼，則還有其他 3種組合可以用于指明一個(gè)錯(cuò)碼的 3種不同位置， 從而可以有糾錯(cuò)能力。若取 r = 3，則 n = k + r = 7。監(jiān)督位 a2 a1 a0是按監(jiān)督關(guān)系確定的，應(yīng)該保證上列 3式中的校正子等于 0，即有 給定信息位后，為了 計(jì)算監(jiān)督位，上式可 以改寫為 按照上式計(jì)算結(jié)果為 ?????????????????000034613562456aaaaaaaaaaaa??????????????346035614562aaaaaaaaaaaa信息位 a6 a5 a4 a3 監(jiān)督位 a2 a1 a0 信息位 a6 a5 a4 a3 監(jiān)督位 a2 a1 a0 0000 000 1000 111 0001 011 1001 100 0010 101 1010 010 0011 110 1011 001 0100 110 1100 001 0101 101 1101 010 0110 011 1110 100 0111 000 1111 111 23 ?在接收端解碼時(shí)，對(duì)于每個(gè)接收碼組，先按式 計(jì)算出校正子 S1， S2和 S3，然后按照表 判斷錯(cuò)碼的位置。 ?由式 ?可知，此碼能夠檢測(cè) 2個(gè)錯(cuò)碼，或糾正 1個(gè)錯(cuò)碼。 ?????????????????000034613562456aaaaaaaaaaaa???????????????????????????????????????????????010011010010101100010111012345601234560123456aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa26 ?監(jiān)督矩陣