【正文】 sini j i ji j i j i jv v RRRvv v v v vc tgR R R R R R?????? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ?? ? ?七、拉普拉斯微分算子 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 331 2 1 21 1 2 3 2 1 2 33123 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) (j j j jii i i i i ji i ivv vv v vx x xvvv v v vvvx x x y y yvvvvzz?? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? ? ???eev v e e ev v e e e e e eee解 ： 直 角 坐 標(biāo) 系 中31 1 1 2 2 21 2 3 1 1 2 3 23 3 31 2 3 3) ( ) ( ) ( )zv v v v v vv v v v v vx y z x y zv v vv v vx y z?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?eeee七、拉普拉斯微分算子 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 ??vv例 5 ： 求 在 直 、 柱 、 球 坐 標(biāo) 系 中 的 表 達(dá) 式 。六、哈密爾頓算子 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 1 2 31 1 2 2 3 31 1 1 1iiih q h q h q h q? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?e e e e 1 , 2 , 3iiix?????? ? ??aae2 、 算 子 后 放 一 個(gè) 向 量 ， 且 和 算 子 點(diǎn) 積 或 差 積 聯(lián) 系 起 來(lái) ， 如 或， 則 表 示 對(duì) 此 向 量 先 進(jìn) 行 微 分 運(yùn) 算 ， 再 進(jìn) 行 點(diǎn) 積 或 差 積 的向 量 運(yùn) 算 。 ij ji ij jib b b b? ? ? ? ?a B B a B如 果 ， 則 ； 如 果 ， 則 稱(chēng) 張 量 為 對(duì) 稱(chēng) 張 量 。 五、向量函數(shù)的梯度 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第三節(jié) 梯度、散度、旋度及哈密爾頓算子 定義 如果有一向量并積 1 2 11 1 2 2 3 31 1 1h q h q h q? ? ???? ? ?a a ae e e滿(mǎn)足下列運(yùn)算規(guī)則， 1 1 2 2 3 3 1 2 11 1 2 2 3 31 2 11 1 2 2 3 31 1 1( ) ( )1 1 1b b bh q h q h qb b bh q h q h q? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?a a ab a e e e e e ea a a 不是標(biāo)量，也不是矢量，而是一個(gè)并矢（ 2階張量）。 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第二節(jié) 坐標(biāo)軸單位向量的倒數(shù) 因?yàn)椤?GDF∽ △ CDE 一、坐標(biāo)軸單位向量對(duì)于其他坐標(biāo)軸的偏倒數(shù) 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第二節(jié) 坐標(biāo)軸單位向量的倒數(shù) 1333 111311dqqh h d qd q d qq??????e313 1 11 hq h q??????e31 33 1 11 hq h q?? ???e e因 此 ，12 22 1 11 hq h q???e e同 理 可 求 得 ，1 ,jijj i ih ijq h q?? ????e e寫(xiě) 成 一 般 式 為 ，二、坐標(biāo)軸單位向量對(duì)于自身坐標(biāo)軸的偏倒數(shù) 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第二節(jié) 坐標(biāo)軸單位向量的倒數(shù) 31 2 1 12 3 3 2 1 3 2 11 1 1 1 2 2 3 311hhq q q q h q h q?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?eee e e e e e e e e（ ）1 1 1231 2 2 3 311hhq h q h q? ? ?? ? ?? ? ?e ee即 ， （ ）2 2 2132 1 1 3 33 3 3123 1 1 2 21111hhq h q h qhhq h q h q? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?? ? ?eeeeee同 理 可 以 得 到 ， （ ） （ ） A A Ad A d d A d d A dA d A? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ??? ?? ??? ?? ???an n a a n a an如 果 物 理 量 ， 在 閉 域 中 一 階 偏 導(dǎo) 連 續(xù) ， 則 有 是 閉 域 的 封 閉 曲 面 ， 是 的 單 位 外 法 線(xiàn) 向 量 。 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第一節(jié) 正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系、正交性、拉梅系數(shù) 二、正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系中的微元弧長(zhǎng)、微元面積、 微元體積、拉梅系數(shù) 1 2 3 2 3 2 32 1 3 1 3 1 33 1 2 1 2 1 2 iq C o n std A d s d s h h d q d qd A d s d s h h d q d qd A d s d s h h d q d q???????2 、 微 元 面 積 利 用 沿 坐 標(biāo) 軸 的 微 元 弧 長(zhǎng) 很 容 易 確 定 坐 標(biāo) 面 上 的 微 元 面 積 1 2 3 1 2 3 1 2 33 d d s d s d s h h h d q d q d q? ??、 微 元 體 積? 例：求柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的拉梅系數(shù)。 如 果相 互 正 交 ， 那 么 ， 這 個(gè) 坐 標(biāo) 系 就 稱(chēng) 作 正 交 坐 標(biāo) 系 。即， ij ijBA? ? ???A B A二 階 張 量 乘 以 數(shù) ， ， 則張量數(shù)乘 ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ) i i m n n i m n im n i in nmm n m n i m n i in m i m i m i n i niin n iin n ia B a B a BB a B a a B a BBBBB??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?a B e e e e eB a e e e e e ea B B aa B B a二 階 張 量 和 向 量 的 點(diǎn) 積如 果 則如 果 則 B稱(chēng) 為 對(duì) 稱(chēng) 張 量 。各 單 位 向 量 間 的 夾 角 的 余 鉉 （ 即 方 向 余 鉉 ） 為 、 、 （ 、 、 ） 如 下 表 所 示 。 愛(ài)因斯坦（ Einstein）求和符號(hào) 數(shù)學(xué)式子任意一項(xiàng)中如果出現(xiàn)一對(duì)符號(hào)相同的指標(biāo)，稱(chēng)為愛(ài)因斯坦求和符號(hào)，它是啞指標(biāo)，表示求和。 ? 場(chǎng)的概念：同研究流體運(yùn)動(dòng)的歐拉方法相聯(lián)系 。 向量 —— 三維的量，必須由某一空間坐標(biāo)系的 3個(gè)坐標(biāo)軸方向的分量 來(lái)表示。例如： Τ 、 ρ 。 標(biāo)量 —— 0階張量，有 30=1個(gè)分量； 向量 —— 1階張量，有 31=3個(gè)分量； n階張量由 3n個(gè)分量組成。 如果這個(gè)物理量是標(biāo)量 ， 則稱(chēng)為這個(gè)場(chǎng)為標(biāo)量場(chǎng)；如果這個(gè)物理量是向量 ， 則稱(chēng)這個(gè)場(chǎng)為向量場(chǎng) 。 附錄一 向量和張量的基本運(yùn)算 第二節(jié) 向量的基本運(yùn)算 二、向量運(yùn)算的常用公式 1 2 31 2 31 2 31 ( )234 ( ) ( ) ( )i i i i i i ii i j j i j i j i j ij i ii i j j i j i j i j ijk ki i j j k k i j k i j ki j k i jk l l i j k jk i i j k ijka b a e b e a b ea b a e b e a b e e a b a be e ea b a e b e a b e e a b e e a a ab b ba b c a e b e c e a b c e e ea b c e e e a b c e a b c e?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?、1 2 31 2 31 2 35 ( ) ( ) ( ) ( )6 ( ) ( ) ( )a a ab b bc c ca b c a b c c a b c a ba b c a c b a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?、1034 ( )56ddtd d ddt dt dtddk k kdt dtd du du u u u u tdt dt dtd d ddt dt dtd d ddt dt dt?????? ? ? ?? ? ? ?CCABABAAAAABAA B A BBAA B A B、 （ 為 常 數(shù) ）2 、 （ ） =、 （ ） = （ 為 常 數(shù) ）、 （ ） = （ 為 數(shù) 性 函 數(shù) ）、 （ ） =、 （ ） = 附錄一 向量和張量的基本運(yùn)算 第二節(jié) 向量的基本運(yùn)算 三、微分運(yùn)算 按向量的定義： i i i iaa ????a e e,1 2 3i i i ij j jaal m n j???e e a式 中 和 分 別 為 在 兩 個(gè) 不 同 的 正 交 坐 標(biāo) 系 中 的 分 量 和 坐 標(biāo) 軸 單 位 向 量 。注意： ！ i j j i?e e e e張量相加減 ij ijAB? ? ?AB ( )ij ij i jAB? ? ?A B e e（ ） 同 階 ij ij m n m nA B A B????則 附錄一 向量和張量的基本運(yùn)算 第三節(jié) 二階張量的基本運(yùn)算 一、基本運(yùn)算 張量相等： 若兩個(gè)張量在某一正交坐標(biāo)系中相等，則它們?cè)谌我粋€(gè)正交坐標(biāo)系中也相等。 這 樣 ， 就 構(gòu) 成 了 一 個(gè) 坐 標(biāo) 系 。00 , ( )iji j i j i jijx x y y z z ijq q q q q q? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?ee正 交 曲 線(xiàn) 的 正 交 性 表 現(xiàn) 為 ， （ ） ， 正 交 性 可 以 寫(xiě) 成 附錄二 正交曲線(xiàn)坐標(biāo) 第一節(jié) 正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系、正交性、拉梅系數(shù) 一、正交曲線(xiàn)坐標(biāo)系、正交性 1 0dq ? e 沿 坐 標(biāo) 線(xiàn) 的 切 線(xiàn) 方 向 （ ） 的 單 位 向 量 又 稱(chēng) 為 坐 標(biāo) 軸 的 單 位向 量 ，iiiiiiidqqqdqqq??????????rrerr