羅默高級(jí)宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)(第3版)課后習(xí)題詳解(第1章 索洛增長(zhǎng)模型)-全文預(yù)覽
【正文】 為在平衡增長(zhǎng)路徑上，從而方程（10）可以表示為： （11）又由于，所以方程（11）可以簡(jiǎn)化為：綜上所述，在平衡增長(zhǎng)路徑附近，以近似于的不變速度收斂于平衡增長(zhǎng)路徑值。特別地，當(dāng)時(shí)。因此，經(jīng)濟(jì)收斂于，或者這一點(diǎn)上，此刻經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長(zhǎng)路徑。此刻滿足生產(chǎn)函數(shù)的斜率等于持平投資線的斜率。在時(shí)，此時(shí)經(jīng)濟(jì)處于平衡增長(zhǎng)路徑上。的增長(zhǎng)速度為，所以的增長(zhǎng)速度為。（b）處在平衡增長(zhǎng)路徑上的大于、小于或等于的黃金律水平嗎？關(guān)于這個(gè)結(jié)論的直覺是什么？答：（a）下面證明該經(jīng)濟(jì)可以收斂于平衡增長(zhǎng)路徑。 ，資本與勞動(dòng)按其邊際產(chǎn)品獲得收益。勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品是：兩邊取對(duì)數(shù)求勞動(dòng)的增長(zhǎng)率：在平衡增長(zhǎng)路徑上，因此，即勞動(dòng)的邊際產(chǎn)品的增長(zhǎng)率為有效勞動(dòng)增長(zhǎng)率。這意味著，從而資本回報(bào)率在索洛模型中保持不變。（b）證明如果資本與勞動(dòng)均按其邊際產(chǎn)品支付，那么不變的規(guī)模報(bào)酬意味著生產(chǎn)要素的總支付量等于總的凈產(chǎn)出，即證明在不變的規(guī)模報(bào)酬條件下。 索洛模型中的要素支付。%（）才能到達(dá)新的平衡增長(zhǎng)路徑。首先定義的動(dòng)態(tài)方程式：，在平衡增長(zhǎng)路徑上，為0，取在上的一階泰勒展開：令，有下式：的平衡增長(zhǎng)路徑為：在求解：因?yàn)闉?%，而，可以得出為4%。因此。在此需要求出消費(fèi)的儲(chǔ)蓄彈性。（a）相對(duì)于投資不上升的情形，產(chǎn)出最終大約上升多少？（b）相對(duì)于投資不上升的情形，消費(fèi)大約上升多少？（c）投資增加對(duì)消費(fèi)的直接影響是什么？消費(fèi)要恢復(fù)到不存在投資增長(zhǎng)時(shí)的水平，需要花費(fèi)多長(zhǎng)時(shí)間？解：（a），上升20%，表明儲(chǔ)蓄率上升了20%。在索洛模型中，在解釋經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)的原因時(shí)，索洛從資本的角度加以解釋，但他發(fā)現(xiàn)，資本的差異既不能解釋人類歷史上長(zhǎng)期的增長(zhǎng)，也不能解釋跨國(guó)之間的差距。如果、以及，由2％下降至1％將會(huì)使提高多少？解：由于，所以對(duì)該式兩邊對(duì)求導(dǎo)數(shù)，有下式的結(jié)果： （1）而值可以從資本的動(dòng)態(tài)方程式中尋找。圖19 每個(gè)工人平均資本、產(chǎn)出、消費(fèi)的變化（b）由定義，則的增長(zhǎng)率為。圖18 人口增長(zhǎng)率下降對(duì)每個(gè)工人平均穩(wěn)態(tài)資本、平均穩(wěn)態(tài)產(chǎn)出的影響隨著每個(gè)工人平均資本的增加，由可以知道每工人平均產(chǎn)出會(huì)上升。答：（a）由于不存在技術(shù)進(jìn)步，這里可以不考慮技術(shù)因素，將每單位有效勞動(dòng)簡(jiǎn)化為平均勞動(dòng)，定義：。 考慮一個(gè)正處在平衡增長(zhǎng)路徑上的索洛經(jīng)濟(jì)。由方程（1）可以解出，即： （4）將上式代入方程（3），有下式： 上式可以簡(jiǎn)化為： （5）即每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)等于每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出減去每單位有效勞動(dòng)的實(shí)際投資，而均衡狀態(tài)時(shí)，每單位有效勞動(dòng)的實(shí)際投資等于每單位有效勞動(dòng)的持平投資。（b）的黃金律值是什么？（c）獲得黃金律資本存量所需的儲(chǔ)蓄是什么？解：（a）下式描述了每單位有效勞動(dòng)的資本的動(dòng)態(tài)方程式：定義柯布—道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)為：，將其代入上式，有下式：在平衡增長(zhǎng)路徑處，每單位有效勞動(dòng)的投資恰好與每單位有效勞動(dòng)持平投資相等，從而保持不變，則有下面結(jié)果：從上式可以解出： （1）下面求解平衡增長(zhǎng)路徑處的每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出水平：將方程（1）代入，則可以解出平衡增長(zhǎng)路徑處的每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出水平： （2）下面求解平衡增長(zhǎng)路徑處的每單位有效勞動(dòng)的消費(fèi)水平。一旦經(jīng)濟(jì)返回到平衡增長(zhǎng)路徑，便會(huì)返回到處，從而每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出也會(huì)返回到原先的水平。隨著每單位有效勞動(dòng)的資本上升，每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出也會(huì)上升。因?yàn)?，所以每單位有效勞?dòng)的投資數(shù)量的下降會(huì)降低每單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出。圖16 單位有效產(chǎn)出比以前更高的影響 考慮一個(gè)具有技術(shù)進(jìn)步但無人口增長(zhǎng)的經(jīng)濟(jì)，其正處在平衡增長(zhǎng)路徑上。除此之外，上升對(duì)于的影響還受到和的大小的影響。從圖14可以看出，平衡增長(zhǎng)路徑的資本存量水平從下降到。（d）工人們發(fā)揮更大的努力，使得對(duì)于單位有效勞動(dòng)的資本的既定值，單位有效勞動(dòng)的產(chǎn)出比以前更高。圖12 關(guān)于時(shí)間的圖形 描述下面的每一種變化（如果存在的話）怎樣影響索洛模型的基本圖中的持平投資與實(shí)際投資線。從時(shí)刻到時(shí)刻的增長(zhǎng)率為常數(shù)且等于（），為圖形中的第一段。 假設(shè)某變量的增長(zhǎng)率為常數(shù)且在時(shí)刻等于，在時(shí)刻下降為0，在時(shí)刻逐漸由0上升到，在時(shí)刻之后不變且等于。 增長(zhǎng)率的基本性質(zhì)。以下內(nèi)容為跨考網(wǎng)獨(dú)家整理，如您還需更多考研資料，可選擇經(jīng)濟(jì)學(xué)一對(duì)一在線咨詢進(jìn)行咨詢。（c）因?yàn)橐粋€(gè)變量的增長(zhǎng)率等于對(duì)該變量取對(duì)數(shù)后再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，那么可得下式：又由于，其中是常數(shù)，有下面的結(jié)果：則得到（c）的結(jié)果。答：（a）根據(jù)題目的規(guī)定，的增長(zhǎng)率的圖形如圖11所示。圖11 時(shí)間函數(shù)的增長(zhǎng)率（b）注意到關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)（即的斜率）等于的增長(zhǎng)率，即：因此，關(guān)于時(shí)間的圖形如圖12所示：從0時(shí)刻到時(shí)刻，的斜率為（），在時(shí)刻，的增長(zhǎng)率出現(xiàn)不連續(xù)的變化，因此的斜率出現(xiàn)扭曲，在時(shí)刻至?xí)r刻，的斜率由0逐漸變?yōu)?；從時(shí)刻之后，的斜率再次變?yōu)椋ǎ?。（c）生產(chǎn)函數(shù)是柯布—道格拉斯型，并且資本份額上升。圖13 折舊率下降的影響（b）技術(shù)進(jìn)步率上升的影響由于持平投資線的斜率為，當(dāng)技術(shù)進(jìn)步率上升后，會(huì)使持平投資線的斜率變大，持平投資線向左轉(zhuǎn)，而實(shí)際投資線則不受影響。當(dāng)資本份額上升時(shí)，實(shí)際投資線的變化需要分情況討論：對(duì)于，如果，或者，
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