【正文】 ( ) ] 2 [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X X E X Y E Y Y E Y? ? ? ? ? ? ?22[ ( ) ] [ ( ) ] 2 { [ ( ) ] [ ( ) ] }E X E X E Y E Y E X E X Y E Y? ? ? ? ? ? ?( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]D X D Y E X E X E Y E Y? ? ? ? ?{ [ ( ) ] [ ( ) ] } 0E X E X Y E Y? ? ?( ) ( ) .D X D Y??若 X 與 Y 相互獨立， ()D X Y?? ( ) ( ) 2 [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]D X D Y E X E X E Y E Y? ? ? ?則 性質(zhì) 5 隨機變量 X的方差 D(X)=0的充分必要條件是： X以概率 1取常數(shù) C=E(X),即 ? ? 1P X C??注 ( ) 0DX ? X恒取常數(shù) 例 設(shè) X ~ B( n , p)，求 D(X ). 解一 前面已求解。 ????? ???其它,0,1,1),(22 yxyxf ???????????其它,0,11,12)(2xxxf X ???????????其它,0,11,12)(2yyyf Y ?( , ) ( ) ( )XYf x y f x f y?反例 但 。 其 他XZXY c o s,s in ?? ，求 , )(YE )(ZE解 ? ?????? xxxfXEYE d)(s i n)( s i n)( .0dc os21s i n22?? ???? xxx( ) ( c os ) c os ( ) dE Z E X x f x x?????? ?221c os c os d2x x x???? ?201 c o s 2 d2x x? ?? ? .4?? 定理 設(shè)隨機變量 Z是 X、 Y 的函數(shù) Z=g (X, Y)， （ 2）若 ( X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量 ,聯(lián)合概率密度為 ? ????? ?????? yxyxfyxgYXgEZE dd),(),()],([)(（ 1） 若 (X, Y)為二維離散型隨機變量，聯(lián)合分布律為 ?,2,1,},{ ???? jiyYxXPp jiij? ???????1 1),()],([)(j iijji pyxgYXgEZE如果 絕對收斂，則隨機變量 Z 的數(shù)學期望是 11( , )i j i jjig x y p??????則隨機變量 Z 的數(shù)學期望是 f (x, y) ， 如果 絕對收斂， ( , ) ( , ) d dg x y f x y x y? ? ? ?? ? ? ???例 設(shè) ( X, Y )的聯(lián)合密度為 ??? ??????.,0,10,10,),(其它yxyxyxf求 E( X )、 E( XY ) ． 解 ? ????? ????? yxyxxfXE dd),()( 127d)(d 1010 ??? ?? yyxxx11001d ( ) d .3x x y x y y? ? ???( ) ( , ) d dE X Y x y f x y x y? ? ? ?? ? ? ?? ??例 設(shè) (X ,Y ) ~ N (0,1。239。239。239。239。247。桫1 1 1 1 1 1( ) ( 2 ) ( ) ( )6 3 4 2 1 2 6E a X b a b a b b a b a b驏 247。= ? ? ? ? ?247。 Y( ) ( ) dg x f x x+??242。== 229。239。239。239。239。 其 它01( ) ( ) d e d .xE X x f x x x xl ll+ ? ? ?= = =蝌),(~ 2??NX )(XE22()21( ) e ,2xf x xmsps= ? + ?22 1e d e d .22ttt x xs mmpp+ ? ? ? ?= + =蝌x tms =令例 設(shè) ，求 ． 解 X 的概率密度為 22()2( ) ( ) d e d2xxE X x f x x xmsps+ ? ? ? ?==蝌221 ( ) e d2ttxsmp +? ?+242。239。239。239。 ＃239。231。 247。247。231。 247。桫83 7{ 0 } ,10 153PX驏247。231。桫 229。231。11kkxppx+?==162。（要求此積分絕對收斂 ) 數(shù)學期望的本質(zhì) —— 加權(quán)平均 ,它是一個數(shù)不再是 . . 為 X 的 數(shù)學期望 (或均值 )． 例 設(shè) X服從參數(shù)為 p的 (0－ 1)分布 ,求 X的數(shù)學期望 ． ( ) 0 ( 1 ) 1 .E X p p p= ? + ?解 X 的分布律為 X 0 1 P 1 － p p 例 設(shè) ，求 ． ),(~ pnBX )(XE 解 X 的分布律為 { } ( 1 ) , 0 , 1 , 2 , ,k k n kknp P X k C p p k n= = = =01!( ) ( 1 )! ( ) !nnk n kkkknE X k p k p pk n k=== = 邋1 1 ( 1 ) ( 1 )11( 1 )nk k n knkn p C p p ==229。 4 矩 隨機變量的概率分布反映了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律性 ，但是在實際問題中 ， 要確定一個隨機變量的分布不是一件容易的事情 ． 在許多情況下 ， 并不需要求出隨機變量的分布 ， 只須知道從不同角度反映隨機變量取值特征的若干個數(shù)字就夠了 ， 這些數(shù)字就稱為 隨機變量的數(shù)字特征 ． 例 考察一射手的水平 , 既要看他的 平均環(huán)數(shù) 是否高 , 還要看他彈著點的范圍是否小 , 即 數(shù)據(jù)的波動 是否小 . ? —— 數(shù)學期望 ? —— 方差 ? 描述兩 —— 協(xié)方差 與 相關(guān)系數(shù) 本 章 內(nèi) 容 例 一臺機床加工某種零件 ,已知它加工出優(yōu)質(zhì)品 、合格品和廢品的概率依次為 、 ． 如果出售優(yōu)質(zhì)品和合格品 ， 每一個零件可分別獲利 。? 167。 3 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) ? 167。 nn1nn2nn3 { 0 .1}X ={ }X = { 0 .4 }X =n nn1nn2nn3 X － P 平均每個零件可獲利為 于是可以期望該機床加工出的每一個零件所獲得的平均利潤為 0 . 1 0 . 1 0 . 2 0 . 7 0 . 4 0 . 2 0 . 2 1 ? ? ?（元） . 定義 設(shè)離散型隨機變量 X 的分布律為 ?? kxxx 21?? kppp 21XP????1)(kkk pxXE則稱 （要求此級數(shù)絕對收斂） 設(shè)連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為 f ( x ) , 則稱 為 X 的 數(shù)學期望 (或均值 )． ( ) ( ) dE X x f x x+??= 242。例 設(shè) X ~ 參數(shù)為 p 的幾何分布，求 E ( X ).