【正文】 按先行后列，或先列后行進行。 2022321 )(4 hF????? ????? 邊界條件的離散化處理 3. 第二類邊界條件 邊界線與網(wǎng)格線相重合的差分格式： hffhn 2102022 ?????????? ?? ,)(2. 對稱邊界條件 )( Fh241 24210 ???? ????1. 第一類邊界條件 給邊界離散節(jié)點直接賦已知電位值。通過求解差分方程組，求出每個節(jié)點上的場值。 因 ， ，所以 。)c o s39。)39。39。39。39。39。柱外是自由空間 。故本例題的定解問題，即的影響可略去，時，感應(yīng)電荷對場分布當(dāng)?shù)模蛲飧浇膱鍪怯杏绊憣?dǎo)體球上的感應(yīng)電荷對－＝－表示為所產(chǎn)生的電位可均勻電場的球面為零電位面；由選導(dǎo)體球面是等位面，可軸；且場域包含無關(guān)，是子午平面場，放置。介質(zhì)圓柱內(nèi)的電場是均例 54 半徑為 a 的半無限長金屬圓筒，筒底與圓筒壁有很窄的絕緣，圓 筒側(cè)壁電位為 0，筒底電位為 ，求圓筒內(nèi)電位分布。求圓柱內(nèi)，外的－軸重合，如圖軸方向，圓柱軸與電場方向沿中。 rkBKrkAIrf znzn ??Jn(x)和 Nn (x)是第一類及第二類貝塞爾函數(shù)，在 0~?之間有無數(shù)多個零點 ； In (x)和 Kn(x)是虛宗量（或修正）貝塞爾函數(shù)，沒有實數(shù)零點。39。39。0n400?),( ??????? 531nyanx s hanns hn1400yx1n????? ???? s i n),(),( ?????? 642n),( ??????? 531n 利用 sin 函數(shù)的正交性來確定 。39。 ?sh100F1 ?39。39。s i n ?? ???xanF1nn?s i n39。39。c o s39。 xasin10 0 ?解：選定直角坐標(biāo)系 0xa100000yxay0axax0ayax00yay00x22222????????????????????????????????),(),(),(),(s i n（ D域內(nèi)） （ 1） （ 2） （ 3） （ 4） (5） 邊值問題 圖 接地金屬槽的截面 2) 分離變量 )()(),( yxyx 21 ??? ?)6(00dyd10dxd1 2 2222121 ??? ?????22222121 dyd1dxd1 ???? ??代入式（ 1）有 根據(jù) 可能的取值，可有 6個常微分方程： ???? ?? 2 222 dyd1，??? ?2 121 dxd1設(shè) )7(0KKdyd1Kdxd1 2n2n2 2222n2 122 ????? ?????)8(0KKdyd1Kdxd1 2n2n2 2222n2 121 ?????? ?????稱為分離常數(shù) ,可以取值 ? 000 ??? ??? 和,3） 解常微分方程，將各特解線性疊加得通解。在直角坐標(biāo)系下，位函數(shù) 的邊值問題為 ? ?yx,?? ? ? ?。 ,02 ?xk當(dāng)21)( CxCxf ??xkAxkAxf xx c o ss i n)( 21 ??xxx jkk ??? 即當(dāng) ,02 xchBxshBxf xx ?? 21)( ??xx xx eBeBxf ?? ??? 21)(,02 ?xk當(dāng)?拉氏方程的通解是所有可能情況的線性組合。 下面以拉氏方程在直解坐標(biāo)系、圓柱坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系的分離變量法為例說明具體的計算過程。 ?實驗研究法：用實驗裝置模擬實際的物理場方程及給定邊值，并測量出相應(yīng)的待求函數(shù)的函數(shù)值的方法，如導(dǎo)電紙模擬法、電解槽模擬法等。 ?解析法：用直接或間接方法求出待求位函數(shù)在整個域內(nèi)所滿足的函數(shù)表達式。 ?靜態(tài)場中的邊值問題，都可以歸結(jié)為在給定的邊界條件下，求解泊松方程或拉普拉斯方程。第五章 靜態(tài)場的邊值問題 靜態(tài)場邊值問題的基本概念 分離變量法 有限差分法 靜態(tài)場邊值問題的基本概念 ?靜電場、恒定電場和恒電磁場都是時不變場，統(tǒng)稱靜態(tài)場。 ??? /2 ???JA ???? 2?邊界上的場的情況可由邊界條件給出。 ? J??S? ???? Sn?已知場域邊界 上各點電位值 邊值問題框圖 自然 邊界條件 參考點電位 有限值 ??? ?rrlim邊值問題 微分方程 邊界條件 場域 邊界條件 分界面 銜接條件 第一類 邊界條件 第二類 邊界條件 第三類 邊界條件 已知場域邊界 上各點電位 的法向?qū)?shù) 一、二類邊界條件的線性組合，即 022???????????????????????nn221121)(sf1S ??)(sfn 2S???? )()( sfn 3S???? ????求解靜態(tài)場的邊值問題方法有：解析法、數(shù)值算法和實驗研究法。如有限差分法、有限元法等。 解題的一般步驟： ? 根據(jù)邊界的幾何形狀和場的分布特征選定坐標(biāo)系，寫出對應(yīng)的邊值 問題（微分方程和邊界條件）； ? 分離變量，將一個偏微分方程，分離成幾個常微分方程； ? 解常微分方程，并疊加各特解得到通解； ? 利用給定的邊界條件確定積分常數(shù)，最終得到電位函數(shù)的解。 ?上述三個常系數(shù)微分方程的解的形式由分離常數(shù)的取值決定。 解 本例是一個矩形域的二維場問題。方法的求解過程顯然較但第二種兩式實質(zhì)上是一樣的，)531( 4 x00?,nAnUBanUnn ???? ??的三角函數(shù)后可定出展成將)531( s i n)(4 10?,nxan πyanchyanshnUn??? ???????代入可得 yxO0??0U??a 例 圖示一無限長金屬槽，其三壁接地，另一壁與三壁絕緣且保持電位為 ，金屬槽截面為正方形（邊長為 a），試求金屬槽內(nèi)電位的分布。)(s i n39。s i n39。),( ?????d） ay?ax100ax0 ?? s i n ???xanaanshFa x1001nn??? s i n)(39。39。39。 2nK?? 2nK???? 若 ， V100?? ????1nn axnF100 ?s i n39。39。nF xam?sinx dxamxanFx dxam1001na0 na0??? s i ns i n39。2 zzz jkkk ??當(dāng) zkBzkAzh zz 39。39。電位所示。介質(zhì)圓柱體外電場解zz ?0E ))(,())(,(2211arrarr???????????? c os 000 rExEx－＝－產(chǎn)生的電位可表為軸的外加場沿?0E的影響可忽略，時，介質(zhì)柱對在 0E??r? ?? ?arrrar???????? 20121????????? c os im 002r rEl ????為有限值 im 10r ??l aO?x1?2?0E),( zr?? ?? ????????????????????????????????為有限值的邊值問題可表為綜合上面分析，則題設(shè) imc o s im )( 0),( )( 0),( 10r02r201212212?????????????lrElarrrararrarr0 ,)( 2 ?? zkAzhz 無關(guān)，場與????nBnAg c oss i n)( ??有關(guān)，滿足周期性場與 ),( ),( ???? ?? rrx 軸，場分布對稱于?? ng c o s)( ?0,02 ?? nk z由nn BrArrf ???)(????n c o s)( n c o s1112???????????nnnnnnnnnnrDrCrBrA ）＋（0, im 10r ?? nDl 為有限值?????n c o s n c o s1112?????????nnnnnnnnrCrBrA ）＋（??? c o s im 002r rEl ????由???c o s c o s c o sim011rrEnrAnrBrAlnnnnnnnn???????????）＋（比較上式兩邊系數(shù)可得)1( 0 ,01 ???? n AEA n??? nrBrEnnn c osc os 102 ??????? ?? ?arrrar???????? 20121??????及由??? naBaEnaCnnnnnn c osc os c os101?? ????????? nrCn