【正文】 16 思路 :令 a tan , 2x t t ???，三角換元。 22 2c os se c1 c os 1 c os 2 211 2 c os 2dx t dt dt dt t tdt t t dtttx? ? ? ? ? ? ? ?????? ? ? ? ? ? 2ta n a r c s in .2 11txt C x Cx? ? ? ? ? ???（或 211a r c s in xxCx??? ?） （萬(wàn)能公式 si n 1 c o sta n 2 1 c o s si nt t ttt???? ，又 sintx? 時(shí)， 2cos 1tx??） ★★★ (2) 2 9x dxx?? 思路 :令 3 se c , (0, )2x t t ???，三角換元。 se c ta n 1 .x x x x? ? ? ? 為保證替換函數(shù)的單調(diào)性，通常將交的范圍加以限制，以確保函數(shù)單調(diào)。 88 6428 2 2 2 2211( ) ( 1 )1( 1 ) 1 11dx t tdt dt t t t dtx x t t tt? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ? 6 4 2 6 4 227 5 3751 1 1 1( 1 ) ( ) ( 1 ) ( )2 1 111 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1l n | | l n | |7 5 3 2 1 7 5 3 3 2 1t t t d t d t t t t d t d tttttxt t t t C Ct x x xxx? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?求下列不定積分。 令 1x t? ，則21dx dtt??。 解 ：2a r c ta n 2 a r c ta n 2 a r c ta n ( a r c ta n )( 1 ) 1 ( )xxd x d x x d xx x x????? ? ? 2(a rc ta n )xC?? ★★★★ (31) ln tancos sinx dxxx? 思路 :被積函數(shù)中間變量為 tanx ，故 須在微分中湊出 tanx ，即被積函數(shù)中湊出 2secx ， 22l n ta n l n ta n l n ta n l n ta ns e c ta nc o s s in ta n ta nc o s ta nx x x xd x d x x d x d xx x x xxx? ? ? 21l n ta n ( l n ta n ) ( ( l n ta n ) )2x d x d x?? 解 ：2l n ta n l n ta n l n ta n ta n l n ta n ( l n ta n )c o s s in ta nc o s ta nx x xd x d x d x x d xx x xxx? ? ?? ? ? ? 21 (ln ta n )2 xC?? 13 ★★★★ (32)21 ln( ln )x dxxx?? 思路 : ( ln ) (1 ln )d x x x dx?? 解 ：221 l n 1 1( l n ) ln( l n ) ( l n )x d x d x x Cxxx x x x? ? ? ? ??? ★★★★ (33)1 xdxe?? 解 ： 方法一 ： 思路 :將被積函數(shù)的分子分母同時(shí)除以 xe ，則湊微分易得。 解 ： 1 1 1s in 5 s in 7 ( c o s 2 c o s 1 2 ) c o s 2 2 c o s 1 2 ( 1 2 )2 4 2 4x x d x x x d x x d x x d x? ? ? ?? ? ? ? 11s in 2 s in 1 2 .4 2 4x x C? ? ? ★★★ (27) 3tan secx xdx? 思路 :湊微分 tan s ec s ecx xdx d x? 。 cos sinxdx d x? 。 解 ：2 1 1 1()2 1 2( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 1 2 1d x d x dxx x x x x? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 1 1 1( ) 22 2 2 1 2 11 1 1 1 1 2 1( 2 1 ) ( 2 1 ) l n .2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1dxxxxd x d x Cx x x?? ???? ? ? ? ? ?? ? ???? ★ (20)2(4 5 )xdxx?? 思路 :分項(xiàng)后分別湊微分即可。 解 ： 33 4 4 44 4 4 43 3 4 3 1 3 1 3( 1 ) l n | 1 | .4 4 4 41 1 1 1xxd x d x d x d x x Cx x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ★ (16)3sincosxdxx? 思路 :湊微分。 解 ：22 a r c ta n1 1 ( )xx xx x x xd x e d x d e eCe e e e? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ★ (12) 2cos( )x x dx? 思路 :湊微分。 解 ： 方法一： 倍角公式 sin 2 2 sin cosx x x? 。 解 ： 11( s in ) s in ( ) ( ) c o sx x xb b bxa x e d x a x d a x b e d a x b e Ca b a? ? ? ? ? ? ?? ? ? ★★ (6) cos tdtt? 思路 :如果你能看到 1( ) t2d t dt?，湊出 ()dt易解。 解 ： 3 3 311( 3 )33t t te d t e d t e C? ? ??? ★ (2) 3(3 5 )x dx?? 思路 :湊 微分。 知識(shí)點(diǎn)： （湊微分）第一 換元積分法的練習(xí)。 ( 6 ) ( 3 5 l n | |) 。 ( 2 ) ( 1 ) 。 習(xí)題 42 ★ 填空是下列等式成立 。 解 ： 設(shè)曲線方程為 ()y f x? ，由題意可知： 1[ ( )]d fxdx x? ， ( ) ln | |f x x C? ? ?； 又點(diǎn) 2( ,3)e 在曲線上，適合方程，有 23 ln( ) , 1e C C? ? ? ?， 所以曲線的方程為 ( ) ln | | x x?? ★★ 一物體由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，經(jīng) t 秒后的速度是 23 ( / )t m s ， 問(wèn) ： （ 1） 在 3 秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離是多少？ （ 2） 物體走完 360 米需要多少時(shí)間？ 知識(shí)點(diǎn)： 屬于最簡(jiǎn)單的一階線性微分方程的初值問(wèn)題，實(shí)質(zhì)仍為考查原函數(shù)（不定積分）與被積函數(shù)的關(guān)系。 思路分析 ： 只需驗(yàn)證即可 。 知識(shí)點(diǎn)： 仍為考查不定積分（原函數(shù)）與被積函數(shù)的關(guān)系 。 解 ： 2 21 c o s 1 1 ta ns e c .1 c o s 2 2 2 2x x xd x x d x d x Cx ? ? ? ??? ? ? ★ 設(shè) ( ) a r c c o sxf x dx x C??? ，求 ()fx。 解 ： 221 1 1 1s e c ta n .1 c o s 2 2 22 c o sd x d x x d x x Cx x? ? ? ??? ? ? ★ (17) cos 2cos sinx dxxx?? 思路 :不難，關(guān)鍵知道“ 22c o s 2 c o s sin ( c o s sin ) ( c o s sin )x x x x x x x? ? ? ? ?”。 4 解 ： 33 3 .l n ( 3 )xx x x ee d x e d x Ce? ? ??? （ ）（ ） ★★ (13) 2cot xdx? 思路 :應(yīng)用三角恒等式“ 22cot csc 1xx??”。 解 ：22 223 2 1 1( ) 3 2 3 a r c ta n 2 a r c s in .11 11d x d x d x x x Cxxxx? ? ? ? ? ?????? ? ? ★★ (9) x x xdx? 思路 : xxx? ？ 看到 1 1 1 72 4 8 8x x x x x????，直接積分。 3 解 ： 222 1 a r c ta n .11x d x d x d x x x Cxx? ? ? ? ???? ? ? 注 ：容易看出 (5)(6)兩題的解題思路是一致的。 解 ： 1 1 41 1 13 3 32 2 213( ) ( ) 24d x x x d x x d x x d x x x Cx ??? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?3 x ★ (3) 22x x dx??（ ） 思路 :根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。從這種意義上講，不定積分在整個(gè)積分 學(xué)理論中起到了根基的作用，積分的問(wèn)題會(huì)不會(huì)求解及求解的快慢程度，幾乎完全取決于對(duì)這一章掌握的好壞。故不定積分的表達(dá)式不唯一。 ()fx的全部原函數(shù)稱為 ()fx在區(qū)間 I 上的不定積分，記為 ( ) ( )f x dx F x C??? 注：（ 1）若 ()fx 連續(xù)，則必可積；（ 2）若 ( ), ( )F x G x 均為 ()fx 的原函數(shù)，則( ) ( )F x G x C??。 本章 的地 位與 作用 在下一章定積分中由微積分基本公式可知 求定積分的問(wèn)題，實(shí)質(zhì)上是求被積函數(shù)的原函數(shù)問(wèn)題；后繼課程無(wú)論是二重積分、三重積分、曲線積分還是曲面積分，最終的解決都?xì)w結(jié)為對(duì)定積分的求解；而求解微分方程更是直接歸結(jié)為求不定積分。 解 ： 5322223dx x d x x Cxx ??? ? ? ??? ★ (2) 3 1()x dxx?? 思路 :根據(jù)不定積分的線性性質(zhì)，將被積函數(shù)分為兩項(xiàng)，分別積分。 解 ： 42 23223 3 1 13 a r c ta n11xx d x x d x d x x x C?? ? ? ? ? ???? ? ? ★★ (6) 221x dxx?? 思路 :注意到 222 2 21 1 111 1 1xxx x x??? ? ?? ? ?，根據(jù)不定積分的線性性質(zhì) ，將被積函數(shù)分項(xiàng)，分別積分。 解 ： 3411 342x d x x d x d x x d x x d xxxxx ??? ? ? ?? ? ? ? ?341 3 4（ + ）2 2 2 31 3 4l n | | .4 2 3x x x x C??? ? ? ? ? ★ (8)2 232()1 1 dxx x?? ?? 思路 :分項(xiàng)積分。顯然 33x x xee?（ ） 。 解 ： 2 1 c o s 1 1c o s s in .2 2 2 2xxd d x x x C?? ? ? ??? ★★ (16) 11 cos2 dxx?? 思路 :應(yīng)用弦函數(shù)的升降冪公式，先升冪再積分。 解 ：21 1 1( ) 2 2 a r c s in .11 1xx d x d x x Cx??? ? ? ??? ??? ★★ (20) 21 cos1 cos2xdxx??? 思路 :注意到被積函數(shù) 22 221 c o s 1 c o s 1 1s e c1 c o s 2 2 22 c o sxx xx x??? ? ??，則積分易得。 解 ： 等式兩邊對(duì) x 求導(dǎo)數(shù)得 ： 2211( ) , ( )x f x f xx x x? ? ? ? ??? ★ 設(shè) ()fx的導(dǎo)函數(shù)為 sinx ， 求 ()fx的原 函數(shù)全體 。 ★ 證明函數(shù) 21 ,2 xxe e shx 和 xechx 都是 sxechx hx 的原函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)： 考查原函數(shù)（不定積 分）與被積函數(shù)的關(guān)系 。 思路分析 ： 求得曲線方程的一般式，然后將點(diǎn)的坐標(biāo)帶入方程確定具體的方程即可。 (1) 3 秒后物體離開(kāi)出發(fā)點(diǎn)的距離為 : 3(3) 3 27f ??米； (2)令 3 3360 360tt? ? ?秒。 解 ： 2 3 41 1 1( 1 ) ( 7 3 ) 。 ( 5 ) ( 5 l n | |) 。 ( 9 ) ( a r c ta n 3 ) .23c o s 2 1 9xx d x d xe d x d e d x d xxxd x d xd t d t d x d xxxt? ? ? ? ?? ? ?? 求下列不定積分。此外 第二類換元法中 的 倒代換 法 對(duì)特定的題目也非常有效，這在課外例題中專門介紹！ ★ （ 1） 3tedt?