【正文】 ②完全平方公式： ③立方和： ④立方差： ⑶十字相乘法： ⑷拆項(xiàng)法 ⑸添項(xiàng)法 第十五章 分式 一、知識(shí)框架 ： 二、知識(shí)概念： ：形如，是整式，中含有字母且不等于 0 的整式叫做分式 .其中叫做分式的分子，叫做分式的分母 . ：分母不等于 0. ：分式的分子和分母同時(shí)乘以（或除以）同一個(gè)不為 0 的整式，分式的值不變 . ：把一個(gè)分式的分子和分母的公因式 (不為 1 的數(shù)）約去，這種變形稱(chēng)為約分 . ：異分母的分式可以化成同分母的分式，這一過(guò)程叫做通分 . :一個(gè)分式的分子和分母沒(méi)有公因式時(shí)，這個(gè)分式稱(chēng)為最簡(jiǎn)分式，約分時(shí)，一般將一個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式 . ： ⑴同分母分式加減法則：同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減 .用字母表示為： ⑵異分母分式加減法則：異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分 式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算 .用字母表示為： ⑶分式的乘法法則：兩個(gè)分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分 母相乘的積作為積的分母 .用字母表示為： ⑷分式的除法法則：兩個(gè)分式相除 ,把除式的分子和分母顛倒位置后再與 被除式相乘 .用字母表示為： ⑸分式的乘方法則：分子、分母分別乘方 .用字母表示為： ： ⑴（是正整數(shù)） ⑵（是正整數(shù)） ⑶（是正整數(shù)） ⑷（，是正整數(shù)，） ⑸（是正整數(shù)） ⑹（， n 是正整數(shù)） :分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程 . :①去分母 (方程兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母 ,將分式方程化為整式方程 )。 180176。 田忌用下等馬對(duì)齊王的上等馬，用上等馬對(duì)齊王的中等馬，用中等馬對(duì)齊王的下等馬。 “烙餅”類(lèi)問(wèn)題的策略： 在每次只能烙兩張餅，兩面都要烙的情況下： ①烙 3 張餅：先烙 1， 2 號(hào)餅的正面，接著烙 1 號(hào)餅的反面和 3號(hào)餅的 正面，最后烙 2， 3號(hào)餅的反面。 （ 2）知道每項(xiàng)事情各需要多長(zhǎng)時(shí)間。通過(guò)閱讀資料、運(yùn)用統(tǒng)計(jì)、估算等數(shù)學(xué)知識(shí)，發(fā)現(xiàn)生活中存在的浪費(fèi)資源的問(wèn)題。 對(duì)稱(chēng)軸： （ 1）長(zhǎng)方形有 2條對(duì)稱(chēng)軸，（ 2）正方形有 4 條對(duì)稱(chēng)軸，（ 3）等腰梯形只有 1 條對(duì)稱(chēng)軸，（ 4）平行四邊形沒(méi)有對(duì)稱(chēng)軸。 （ 3）兩個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方形可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形。 （ 4）長(zhǎng)方形：四個(gè)角都是直角的四邊形叫長(zhǎng)方形。 （ 2）梯形的高：從梯形上底上的一點(diǎn)到下底引一條垂線，這點(diǎn)和垂足之間的線段叫做梯形的高，梯形有無(wú)數(shù)條高。垂足所在的邊叫做平行四邊形的底。 小結(jié)：先畫(huà)一條長(zhǎng) 3厘米的線段； 再過(guò)線段端點(diǎn)畫(huà)一條 2厘米的垂線； 再過(guò)另一個(gè)點(diǎn)也畫(huà)一條 2厘米的垂線； 連接兩個(gè)端點(diǎn)就可以了。 如：（ 1）點(diǎn) A 到這條直線的距離是 10 厘 米”（ 2）怎樣修路最近呢？（即“點(diǎn) A 到直線所畫(huà)的垂直線段最短）新興鎮(zhèn)公路 畫(huà)平行線： （ 1）例一：怎樣畫(huà)平行線？一貼、二靠、三移、四畫(huà)①可以用直尺和三角尺來(lái)畫(huà)平行線，先把三角尺的一條直角邊緊貼直線，②再把直尺緊靠三角尺的另一條直角邊，③這時(shí)沿直尺平移三角尺，④再畫(huà)一條直線就可以了。 第五單元 【平行四邊形和梯形】 基本概念： （ 1）同一平面內(nèi)兩條直線的位置關(guān)系：相交和不相交兩種。數(shù)量＝單價(jià)總價(jià)247。 （ 2）兩個(gè)數(shù)相乘，其中一個(gè)因數(shù)乘幾（ 0 除外），另一個(gè)因數(shù)除以幾（ 0 除外），積不變。 口算法：先口算 16 3=48，再在積的末尾添兩個(gè) 0，等于 4800。這幾個(gè)角。、 105176。、 135176。 （ 7）用三角板可畫(huà)出角（由三角板上的角組合（加或減）而成）：如 15176。周角 =360176。直角 =90176。則∠ 2=180176。 =65176。角的大小要看兩條邊叉開(kāi)的大小，叉開(kāi)得越大，角越大?！北硎?。 這一點(diǎn)叫做角的“頂點(diǎn)”，兩條射線叫做角的兩條“邊”。 （ 3）直線：沒(méi)有端點(diǎn)（或者說(shuō)“有 0 個(gè)端點(diǎn)”），可以向兩端無(wú)限延長(zhǎng)，不可度量。 1會(huì)用計(jì)算器計(jì)算和探索規(guī)律。 （ 1）算盤(pán)： 14 世紀(jì)，中國(guó)發(fā)明了算盤(pán)。 例如：用“＝”和“≈”的區(qū)別： 7580000 ＝ 758 萬(wàn) 9000000000 ＝ 90 億 7508000 ≈ 751萬(wàn) 9420210000≈ 94 億 1自然數(shù)：表 示物體個(gè)數(shù)的 1， 2， 3， 4，5， 6， 7， 8， 9， 10， 11，??都是自然數(shù)。這里的“ 140”、“ 35”都是近似數(shù)。 （ 1）如：四 1 班有 44 個(gè)男同學(xué)， 29 個(gè)女同學(xué)。“四舍五入”法： 0舍去； 9舍去后向前一位進(jìn) 1。 1改寫(xiě)成不同計(jì)數(shù)單位的數(shù)： （ 1）整萬(wàn)、整億的數(shù)：將個(gè)級(jí)的 4 個(gè) 0 改寫(xiě)成“萬(wàn)”，將萬(wàn)級(jí)、個(gè)級(jí)共 8個(gè) 0 改寫(xiě)成“億”注意：整萬(wàn)、整億的數(shù)的改寫(xiě)屬于準(zhǔn)確數(shù)，要用“ =”連接。 （ 1）含有兩級(jí)數(shù)的寫(xiě)法：先寫(xiě)萬(wàn)級(jí)，再寫(xiě)個(gè)級(jí)； （ 2）含有三級(jí)數(shù)的寫(xiě)法：先寫(xiě)億級(jí)，再寫(xiě)萬(wàn)級(jí)，最后寫(xiě)個(gè)級(jí)。 如： 12367 中的 2 在千位上，表示“ 2 個(gè)千” （ 2）某個(gè)數(shù)級(jí)上的數(shù)字表示幾個(gè)這個(gè)數(shù)級(jí)的計(jì)數(shù)單位。個(gè)級(jí)包括個(gè)位、十位、百位、千位； 萬(wàn)級(jí)包括萬(wàn)位、十萬(wàn)位、百萬(wàn)位、千萬(wàn) 位； 億級(jí)包括億位、十億位、百億位、千億位。 第二篇： 9,人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)各單元知識(shí)點(diǎn)歸納 ,可編輯 人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)上冊(cè)各單元知識(shí)點(diǎn)姓名： 第一單元【大數(shù)的認(rèn)識(shí)】 計(jì)數(shù)單位：一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億??都是計(jì)數(shù)單位。 ③一般的解決方法： 公式： 烙餅所需的最短時(shí)間＝烙餅張數(shù)烙每面餅所需的時(shí)間(烙一張除外 )例如： 烙 5 張餅的時(shí)間，每面要烙 3 分鐘， 5 3＝ 15（分）烙 8 張餅的時(shí)間，每面要烙 3 分鐘， 8 3＝ 24（分） “田忌賽馬”問(wèn)題策略（對(duì)策論）：解決同一問(wèn)題可以用不同的策略，要學(xué)會(huì)尋找最優(yōu)方案。 例如：①“沏茶類(lèi)”問(wèn)題策略： 首先要明確沏茶的大致順序，也就是說(shuō)哪些事情要先做，然后再考慮還有哪些事情可以同時(shí)做，能同時(shí)做的事盡量同時(shí)做，這樣才能節(jié)省時(shí)間。 第七單元【數(shù)學(xué)廣角】統(tǒng)籌思想是數(shù)學(xué)當(dāng)中一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度尋找解決問(wèn)題的最優(yōu)方案和策略。 試商兒歌： 一二丟，八九收四六當(dāng)五來(lái)動(dòng)手四舍商大減去一，五入商小加一好同頭無(wú)除商八九除數(shù)折半商四五 商的變化規(guī)律： 小結(jié)：被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)， (零除外 )，商不變。 （ 5）兩個(gè)完全一樣的梯形可以拼成一個(gè)平行四邊形。 圖形的拼組：（自己畫(huà)畫(huà)看）（ 1）兩個(gè)完全一樣的三角形可以拼成一個(gè)平行四邊形。 ②有一個(gè)角是直角的梯形叫做直角梯形 四邊形的分類(lèi)： （ 1）平行四邊形：兩組對(duì)邊分 別平行的四邊形叫做平行四邊形； （ 2）梯形：只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫梯形。 并做出垂足記號(hào) 梯形： （ 1）梯形的概念：只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫梯形。 把長(zhǎng)方形拉成平行四邊形，周長(zhǎng)不變，面積變小。 （ 3）例三：怎樣畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng) 3 厘米，寬 2厘米的長(zhǎng)方形？長(zhǎng)方形的對(duì)邊是互相平行且相等，兩條邊是互相垂直的。 （ 3）垂直：如果兩條直線相交成直角，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一，條直線的垂線，這兩條直線的交點(diǎn)叫做垂足。時(shí)間 =速度路程247。 215 58≈ 12021（ 2）要將其中一個(gè)因數(shù)或兩個(gè)因數(shù)“四舍五入”成相近的整十、整百數(shù)，簡(jiǎn)化計(jì)算。 （ 3）筆算乘法 3（因數(shù)中間有 0的乘法）： 注意用兩位數(shù)去乘三位數(shù)時(shí)，三位數(shù)中間的 0 也要乘，不要忘記加上進(jìn)位上來(lái)的數(shù)。把 16 分成 10 和 6，先算 10 3＝ 30，再 6 3＝ 18，最后算 30＋ 18＝ 48。、 135176。、 165176。、 105176?？潭染€的地方點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)，④以畫(huà)出的射線的端點(diǎn)為端點(diǎn)，通過(guò)剛畫(huà)的點(diǎn)，再畫(huà)一條射線。＜鈍角＜ 180176。 =155176。則∠ 3=∠ 1=25176。則∠ 4=90176。 量角的步驟：（ 1）（量角器的）中心點(diǎn)與（角的）頂點(diǎn)重合， （ 2）（量角器的其中一條） 0 刻度線與（角的）一條邊重合， （ 3）角的另一條邊所對(duì)應(yīng)的量角器上的刻度就是這個(gè)角的度數(shù)。 （ 2）角的度量：工具是量角器。 過(guò) 兩點(diǎn)：因?yàn)椤皟牲c(diǎn)可以確定一條直線”，所以過(guò)兩點(diǎn)只能畫(huà)出一條直線。 1 公頃＝ 10000 平方米 1 平方千米＝ 100 公頃＝ 1000000 平方米第三單元【角的度量】名稱(chēng)形狀端點(diǎn)延伸度量長(zhǎng)度線段直的 2 不能可以射線直的 1 一端不可以直線直的 0兩端不可以 線： （ 1）線段：是直線的一部分，具有 2 個(gè)端點(diǎn)，可以度量長(zhǎng)度，不可延長(zhǎng)。 （ 2）計(jì)算器： CE 或者 AC 是“清除鍵”， ON/C 是“開(kāi)關(guān)及清屏鍵”。最小的自然數(shù)是 0，沒(méi)有最大的自然數(shù)，自然數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。如：平常說(shuō)一個(gè)城市約有 50 萬(wàn)人，一個(gè)鋼鐵廠去年產(chǎn)鋼約 120萬(wàn)噸。 （ 2）我們?cè)跍y(cè)定物體的長(zhǎng)度、質(zhì)量時(shí)，由于測(cè)量工具的限制，必然會(huì)產(chǎn)生誤差，所得的結(jié)果都是近似數(shù)。（用“≈”） 0~4為“舍”，尾數(shù)清零且精確數(shù)位的數(shù)字不變，5~9 為“入”，尾數(shù)清零且精確數(shù)位上的數(shù)字加 1。 （ 3）非整億的數(shù)改寫(xiě)成以“億”為單位的數(shù)：將億位以后的數(shù)作為尾數(shù)，對(duì)尾數(shù)的最高位（千萬(wàn)位）四舍五入，再改寫(xiě)成以“億”為單位的數(shù)。 讀、寫(xiě)數(shù)檢驗(yàn)方法：讀數(shù)和寫(xiě)數(shù)可以互相檢驗(yàn)，即讀數(shù)后再寫(xiě)出來(lái)和原數(shù)比對(duì) ，而寫(xiě)數(shù)后可以自己讀出。 （ 1）含有兩級(jí)數(shù)的讀法：先讀萬(wàn)級(jí)，再讀個(gè)級(jí)； （ 2）含有三級(jí)數(shù)的讀法：先讀億級(jí)，再讀萬(wàn)級(jí)，最后讀個(gè)級(jí)。 10 個(gè)一萬(wàn)是十萬(wàn)， 10 個(gè)十萬(wàn)是一百萬(wàn)， 10 個(gè)一百萬(wàn)是一千萬(wàn)，10 個(gè)一千萬(wàn)是一億。 數(shù)位：個(gè)位、十位、百位、??億位等等，都是數(shù)位。 萬(wàn)位。 數(shù)位順序表：含有數(shù)級(jí)、數(shù)位和相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位的表格叫數(shù)位順序表，如下： 整數(shù)部分?jǐn)?shù)級(jí)?億級(jí)萬(wàn)級(jí)個(gè)級(jí)數(shù)位?千億位百億位十億位億位千萬(wàn)位百萬(wàn)位十萬(wàn)位萬(wàn)位千位百位十位個(gè)位計(jì)數(shù)單位?千億百億十億億千 萬(wàn) 百 萬(wàn) 十 萬(wàn) 萬(wàn) 千 百 十 一 數(shù) 字 表 示 ? ? ? ? ? ? ? ?100001000100101每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是“十”。 如： 36472845中的 3647在萬(wàn)級(jí)上，表示“ 3647個(gè)萬(wàn)” 大數(shù)的讀法：可以先 分級(jí)，再讀數(shù)。哪一位上一個(gè)計(jì)數(shù)單位也沒(méi)有，就在哪一位上寫(xiě) 0。 （ 2）非整萬(wàn)的數(shù)改寫(xiě)成以“萬(wàn)”為單位的數(shù)：將萬(wàn)位以后的數(shù)作為尾數(shù)，對(duì)尾數(shù)的最高位（千位）四舍五入，再改寫(xiě)成以“萬(wàn)”為單位的數(shù)。 省略億位后面的尾數(shù)時(shí)，要看千萬(wàn) 位，省略萬(wàn)位后面的尾數(shù)時(shí)，要看千位。這里的“ 44”“ 29”都是準(zhǔn)確數(shù)。 （ 3）在對(duì)大的數(shù)目在進(jìn)行 統(tǒng)計(jì)時(shí)，一般也只需要用它的近似數(shù)來(lái)表示。一個(gè)物體也沒(méi)有，用 0 表示， 0 也是自然數(shù)。算盤(pán)有上下兩檔，上檔每顆珠子代表 5，下檔每顆珠子代表 1，每根桿相當(dāng)于一個(gè)數(shù)位，如“萬(wàn)位上的一顆上珠”表示“ 5個(gè)萬(wàn)”。 第二單元 【公頃和平方千米】計(jì)量較大的土地面積時(shí)，常用“公頃”和“平方千米（ km2）”作單位。 （ 4）過(guò)點(diǎn)畫(huà)直線的數(shù)量： 過(guò)一點(diǎn)：可以畫(huà)無(wú)數(shù)條射線、無(wú)數(shù)條直線。 角的符號(hào)用“∠”表示。把半圓分成 180 等份，每一份所對(duì)的角的大小是 1度，記作 1176。 4（ 4）會(huì)求一個(gè)已知角的余角、補(bǔ)角和對(duì)頂角： 2 如右圖，若∠ 1=25176。 1 若∠ 1=25176。－ 25176。 90176。② 1 個(gè)平角 =2 個(gè)直角 1 個(gè)周角 =2 個(gè)平角 =4 個(gè)直角（ 6）用量角器畫(huà)角步驟： ①畫(huà)一條射線，作為角的頂點(diǎn)和一條邊，②使量角器的中心和射線的端點(diǎn)重合， 0 刻度線和射線重合，③在量角器（與 0 刻度線同圈的）65176。、 75176。、 150176。、 120176。 第四單元【三位數(shù)乘兩位數(shù)】 口算乘法： （ 1）兩位數(shù)乘一位數(shù)的口算乘法： 16 3＝ 48。 筆算法：先筆算出 16 3=48，再在積的末尾添兩個(gè) 0。 乘法估算： （ 1）要注意要符合實(shí)際情況，接近準(zhǔn)確值。單價(jià)＝數(shù)量單價(jià)單位：元 /數(shù)量單位（復(fù)合單位）如