【正文】 用罰函數(shù)法 [3]處理約束函數(shù)， (246)式可進(jìn)一步轉(zhuǎn)換為如下以罰函數(shù) ? ?Xfp 表示的無約束的單一目標(biāo)優(yōu)化問題： ? ? ? ? ? ?? ??? ???? ki iIiIidpX NMPXfXf 1min ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ??? ????????? ki iIiIiwc NMPXfXf 1//1 ???????? nX ?? （ 248） 上式中， nX ?? 在實(shí)質(zhì)上也是一組約束，它通常以設(shè)計變量的邊界形式描述。具體來講，即利用區(qū)間序關(guān)系處理含不確定參數(shù)的目標(biāo)函數(shù)，利用可能度水平處理含不確定參數(shù)的約束函數(shù)，最后利用多目標(biāo)權(quán)系數(shù)、罰函數(shù)和罰因子，將帶有不確定性約束的區(qū)間數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化成為不含約束的單目標(biāo)優(yōu)化問題，從而可以利用傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化方法來求得其 Pareto 解集。 1989 年 Goldberg提出了基于 Pareto 最優(yōu)解的概念和計算個體適應(yīng)度的方法，借助非劣解的等級和相應(yīng)的選擇算子使種群在優(yōu)化過程中朝著 Pareto最優(yōu)解方向進(jìn)化。這種方法能夠解決任意數(shù)目的多目標(biāo)優(yōu)化問題，并且能夠分析和解決最大化和最小化的優(yōu)化問題。 2) 缺少精英策略。 為了克服非支配排序遺傳算法 (NSGA)的上述不足，印度科學(xué)家 Deb 于2021 年在 NSGA 算法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，提出了帶精 英策略的非支配排序遺傳算法 (Elitist NonDominated Sorting Geic Algorithm， NSGAII)，NSGAII 算法針對 NSGA 的缺陷通過以下三個方面進(jìn)行了改進(jìn) [16]： 1) 提出了快速非支配的排序算法，降低了計算非支配序的復(fù)。 3) 需要指定共享參數(shù) ?share ，在 NSGA 算法中保持種群和解的多樣性第 3章 NSGAII算法 23 方法都是依賴于共享的概念，共享的主要問題之一就是需要人為指定一個共享參數(shù) ?share 。但是實(shí)際工程領(lǐng)域中發(fā)現(xiàn) NSGA 算法還是存在著明顯的不足，這主要體現(xiàn)在如下三個方面 [13]： 1) 非支配排序的高計算復(fù)雜性。 NSGA算法是在上世紀(jì) 90年代初期由 Srinivas和 Deb教授首先提出的，該算法是基于對種群中所有的個體按照不同的層次進(jìn)行分類的。在眾多多目標(biāo)優(yōu)化的遺傳算法中， NSGAII 算法是影響最大和應(yīng)用范圍最廣的一種多目標(biāo)遺傳算法。所以在本文中，一律把類似于式 (248)的問題稱為無約束優(yōu)化問題。 轉(zhuǎn)換后的確定性優(yōu)化問題 通過對以上不確定性地處理，式 (28)所表示的不確定性優(yōu)化問題可以轉(zhuǎn)化為以下確定性優(yōu)化問題： ? ?niIiIiwcxXkiNMPXfXf????? ,2,1,))(,)((m in?? （ 244） 式中， ? ? ? ? ? ?2 ,m a x,m i n UXfUXfXf UUc ?? ? ? ? ? ? ?2 ,m i n,m a x UXfUXfXf UUw ?? ? ?qiUUUUU RiiLi ,. ..2,1, ?????? （ 245） 至此，通過區(qū)間序關(guān)系建立數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型的工作已經(jīng)完成，通過此數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 可以將一個不確定性優(yōu)化問題轉(zhuǎn)換成確定性優(yōu)化問題。 針對任一設(shè)計變量 X ，因為不確定參數(shù) U 的存在，并且目標(biāo)函數(shù) f 為 U的連續(xù)函數(shù)，所以 ? ?UXf , 的可能取值是在一定范圍內(nèi)的區(qū)間： ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?XfXfXfXfXf wcRLI , ?? （ 238） 式中， ? ? ? ? ? ?2 XfXfXf RLc ?? （ 239） ? ? ? ? ? ?2 XfXfXf LRc ?? （ 240） 基于 (231)式表述的區(qū)間序關(guān)系 cw? ，可以通過 目標(biāo)函數(shù)區(qū)間的中點(diǎn)和半寬來判斷不同的設(shè)計變量之間的優(yōu)劣：設(shè)計變量 1X 優(yōu)于 2X ，則 1X 處的目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間優(yōu)于 2X 處的目標(biāo)函數(shù)的區(qū)間，即 ? ? ? ?21 XfXf cc ? 并且? ? ? ?21 XfXf ww ? 。 ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) LL BA ? ， cc BA ? （ 最大化優(yōu)化問題 ） ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) ILcI BA ? ， II BA ? （ 232） ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) LL BA ? ， cc BA ? （ 最小化優(yōu)化問題 ） ILcI BA ? ，并且僅當(dāng) ILcI BA ? ， II BA ? （ 233） 4）區(qū)間序關(guān)系 L? ：該序關(guān)系表達(dá)了決策者對區(qū)間下界的偏好。對于最大化和最小化的優(yōu)化問題，同一區(qū)間序關(guān)系可以具有不同的表述形式，因為在這兩種問題中它們的評價指標(biāo)并不相同，例如在最大化問題中目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值大的決策變量為優(yōu)，而在最小化問題中剛好相反，目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)值小的決策變量為優(yōu)。此外， IiM 和 IiN 的具體形式是區(qū)間還是實(shí)數(shù)應(yīng)該根據(jù)以上不確定約束的轉(zhuǎn)換過程而定，另外也跟 Iib 的形式有關(guān)。 對于 ? 型的不等式約束函數(shù)，如 ? ? Iii bUXg ?, ，可以簡單地將其轉(zhuǎn)換為第 2章 多目標(biāo)區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 17 ? 型約束來進(jìn)行處理： ? ?? ? ? ?? ? iIiIiIiIi XgbPbXgP ????? （ 223） 上式中， ? ?? ?XgbP IiIi ? 通過公式 (216)或公式 (218)進(jìn)行求解。類似地，當(dāng)區(qū)間 IA 退化為實(shí)數(shù)口時，基于圖 25中的三種位置關(guān)系，區(qū)間可能度 )( IBaP ? 可構(gòu)造如下： 第 2章 多目標(biāo)區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 15 ???????????????RRLLRRLIBaBaBBB aBBaBaP01)( （ 218） 圖 26給出了 )( bAP I ? 和 )( IBaP ? 的幾何描述，兩種可能度的值在 0和 1之間時，分別與 b和 a成線 性關(guān)系。 4) 若 ? ? ? ?IIII ABPBAP ??? ，則區(qū)間 IA 等于區(qū)間 IB ，即 IA = IB 。 第 2章 多目標(biāo)區(qū)間數(shù)優(yōu)化的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型 13 針對上述方法的局限和不足，姜潮 [3]等在其基礎(chǔ)上提出了一種改進(jìn)的區(qū)間可能度的構(gòu)造模型。 如對于圖 22中的第二種情況， ~A 在 RB 和 RA 之間的概率為LRRR AA BA ?? ，而此 時不管 ~B 取值多少 IA IB? 的概率都為 l； ~A 在 LA 和 RB 間的概率LRLR AA BB ?? ， ~B 在 LA 和 RB 之間的概率為LRLR BB AB ?? ，此時 ~A ? ~B 的概率為 50%。所以人們必須構(gòu)造和使用新的數(shù)學(xué)工具來比較區(qū)間數(shù)的大小 （ 或優(yōu)劣 ） ，這也是建立區(qū)間數(shù)優(yōu)化問題的數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換模型的基礎(chǔ)。所以，上述問題無法通過傳統(tǒng) 的 確定性 優(yōu)化方法來進(jìn)行求解，因為在傳統(tǒng)的確定性優(yōu)化方法中，決策的選擇和判斷都是建立在目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)在各個設(shè)計變量處的具體數(shù)值的基礎(chǔ)上進(jìn)行的。 U 為 q 維不確定向量，其不確定性用一 q 維區(qū)間向量 IU 描述。對于這樣復(fù)雜的非線性優(yōu)化問題，要找到在要求的 空間中有好的多樣性的一組解也是一項非常重要的任務(wù)。一組在多個目標(biāo)之間好的協(xié)議解是建立在一組多樣解的基礎(chǔ)之上。因而，在多目標(biāo)優(yōu)化中主要完成以下兩個任務(wù)： 1) 找到一組盡可能接近 Pareto 最優(yōu)域的解。 多目標(biāo)優(yōu)化問題的解 在單目標(biāo)優(yōu)化問題中，通常最優(yōu)解只有一個，而且能用比較簡單和常用的數(shù)學(xué)方法求出其最優(yōu)解。 非劣解也成為有效解 (Efficient Solution)、非支 配解 (Nondominated Solution)、 Pareto 最優(yōu)解 (Pareto Optimal Solution)或 Pareto 解，它是多目標(biāo)優(yōu)化中的一個最基本的概念。 4) 若 ? ?miba ii ,2,1 ??? ，則稱向 量 A 嚴(yán)格小于向量 B，記作 AB。 定義 （ 向量序 ） 設(shè) ? ? ? ?TmTm bbbBaaaA , 2121 ?? ?? 是 m 維歐氏空間 mR 中的兩個向量。然而，非線性優(yōu)化問題的解決難度要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于線性優(yōu)化問題。 約束給出了設(shè)計變量需要滿足的限制條件，用含有等式和 不等式的約束函數(shù)來表示。 也就是說，目標(biāo)函數(shù) ? ?Xf 對應(yīng)的是由 n 維設(shè)計變量空間 nR到 m維目標(biāo)函數(shù)空間 mR 的一個映射 [3]： f： nR → mR 由此可知，設(shè)計變量、目標(biāo)函數(shù)以及約束函數(shù)是構(gòu)成多目標(biāo)優(yōu)化問題的三要素。 多目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)描述 一般來講，多目標(biāo)優(yōu)化問題是由多個目標(biāo)函數(shù)與有關(guān)的一些等式以及不等式約 束組成，從數(shù)學(xué)角度可以做如下描述 [8]： qixhpixgtsxxxfxxxfxxxfxxxfjinmnrnrn,2,1,0)(,2,1,0)(..),(m a x),(m a x),(m in),.,(m in2121121211??????????????????? （ 21） 式中，函數(shù) ? ? ? ?mixf i ,2,1, ?? 稱為目標(biāo)函數(shù)； ??xgi 和 ??xhj 稱為約束函數(shù)；? ?Tnxxxx , 21 ?? 是 n 維的設(shè)計變量。 但是 ，究竟要怎樣分配這樣的權(quán)重，這已經(jīng)成為人們研究的熱點(diǎn) 問題 。 本文的研究目標(biāo)和主要研究內(nèi)容 綜上所述，在目前的區(qū)間數(shù)優(yōu)化 研究 方面，特別是在非線性區(qū)間數(shù)優(yōu)化的研究方面，還存在著一些難點(diǎn) 和技術(shù)問題 。 多目標(biāo)區(qū)間數(shù)優(yōu)化發(fā)展趨勢和存在問題 近五十多年來，不確定性優(yōu)化的理論和方法已經(jīng)得到廣泛的研究，并吸引越來越的關(guān)注，目前已被應(yīng)用于諸多實(shí)際工程領(lǐng)域，如：生產(chǎn)過程、存儲系統(tǒng)、網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、車輛調(diào)度、系統(tǒng)可靠性、設(shè)備選址、結(jié)構(gòu)優(yōu)化等。第三種方法叫做區(qū)間數(shù)優(yōu)化方法， 在 區(qū)間數(shù)優(yōu)化中 ， 往往是基于區(qū)間序關(guān)系 [6]或者最大最小后悔準(zhǔn)則 [7]。 Teghem 等人提出了一種線性隨機(jī)多目標(biāo)規(guī)劃 (MOSLP)的求解方法，這種方法被人們稱為 Strange 方法，其特點(diǎn)是將隨機(jī)多目標(biāo)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為確定性多目標(biāo)規(guī)劃的問題，然后再采用交互規(guī)劃法來求得原問題的解 ； 對于 采用模糊規(guī)劃方法的不確定優(yōu)化問題，其不確定參數(shù)為模糊數(shù)，并且事先需要知道該模糊數(shù)的隸屬函數(shù) 。在 這兩種方法 中，分別 是 基于概率統(tǒng)計理論 [4]和模糊統(tǒng)計理論[5]來進(jìn)行轉(zhuǎn)換的。 目前，人們研究的多目標(biāo)優(yōu)化問題大部分針對確定性問題，而在實(shí)際的工程領(lǐng)域中往往存在材料、測 量、載荷等多方面的不確定性。 為此，不確定性優(yōu)化理論方法的研究具有非常重要的現(xiàn)實(shí)意義。對于不確定性系統(tǒng)的優(yōu)化問題，經(jīng)典的優(yōu)化理論和方法無法完成，必須通過不確定性優(yōu)化 (uncertain optimization)進(jìn)行建模和求解，在求解的過程中必須充分考慮參數(shù)的不確定性對系統(tǒng)的影響，并對不確定變量解耦后建立新的優(yōu)化模型。然而，在大多數(shù)實(shí)際工程中，不可避免地存在著與材料性質(zhì)、溫度變化、工程邊界、噪音影響、測量偏差等有關(guān)的誤差或不確定性，這些誤差或不確定性雖然在大多數(shù)情況下都比較小，但耦合在一起可能使整個工程系統(tǒng)產(chǎn)生較大的誤差或偏差。本文采用的帶精英策略的快速非支配排序遺傳算法 (NSGSII)是一種多目標(biāo)遺傳算 法，該算法求得的 Pareto最優(yōu)解分布均勻，收斂性和魯棒性好，對多目標(biāo)優(yōu)化問題具有良好的優(yōu)化效果。 首先， 對于區(qū)間數(shù)多目標(biāo)優(yōu)化問題 ， 本文給 出了一種利用區(qū)間數(shù)學(xué)來把不確定多目標(biāo)優(yōu)化轉(zhuǎn)化為確定性多目標(biāo)優(yōu)化 的數(shù)學(xué)模型 。 2． 說明書及插圖一律打印，要求條理清晰、文筆流暢、圖形及文字符號符合國家現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)。 本科畢業(yè)設(shè)計（論文） NSGA—II的改進(jìn)算法研究 2021 年 6 月 本科畢業(yè)設(shè)計（論文） NSGA—II的改進(jìn)算法研究 學(xué) 院： 專 業(yè)： 自動化 學(xué)生姓名： 學(xué) 號： 指導(dǎo)教師： 答辯日期： 2021 年 6 月 學(xué)院：電氣工程學(xué)院 系級教學(xué)單位：自動化系 學(xué) 號 091203011076 學(xué)生 姓名