【正文】 214321xxxxxxxxxxxxxxxxx 克萊姆法則及其應(yīng)用 15 解：線(xiàn)性方程組 bAx? 中，系數(shù)矩陣 A 為一個(gè) 45? 型矩陣，4)(),( ?? ARbAR ，因此該方程組的解存在，且唯一。 情形 1：方程個(gè)數(shù)與未知量個(gè)數(shù)相同，即 nm? 。 在上文中已經(jīng)有詳細(xì)的介紹，利用克萊姆法則便能求解，但如果現(xiàn)給定一個(gè)長(zhǎng)方形線(xiàn)性方程組，則需要將克萊姆法則推廣為廣義克拉默法則。當(dāng)方程個(gè)數(shù)與未知數(shù)個(gè)數(shù)不等、或行列式為 0時(shí)，該法則便不再適用。1 1 1de t de t de t, , , , 39。 TEEnEEEE AAAAAA ??????)1()1(,)1()1(,2)1()1(,1 de tde t,de tde t,de tde t ?? 證明：已知 0det )1( ?EA ，因此 1EA 是可逆的，將 1EA 進(jìn)行初等變換，轉(zhuǎn)換為單位矩陣，用 )(EmA 表示 將線(xiàn)性方程組 )(1E 進(jìn)行初等變換，把其對(duì)應(yīng)的矩陣變?yōu)閱挝痪?陣)()3()2( , EmEE AAA ?? 。 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 其中 ija 是系數(shù)， ib 是常數(shù)項(xiàng)， lx 是未知量。方程組（ 224）的一組非零解為方程組（ 226）的解與 0,1 1 ??? ? nkk xxx ? 的組合。 接下來(lái)證明充分性 : 已知 | | 0ij na ?，根據(jù)引理可得，方程組 (224)與方程組 ???????????????00022221212111nnnnnnnxbxbxbxbxbxb?????? （ 225） 是有同解的 , 并且 011 ?? nnnijabb ? 。 對(duì)方程由下而上進(jìn)行消元變換，可獲得與方程組 (221)通解的新方程組， ???????????????nnnnnnnncxbcxbxbcxbxbxb??????2222211212111 (223) 且 1 a a?? 再根據(jù)行列式的性質(zhì) , 可得 1221 1 2 nnnddaD d a ada??, 1122 1 2 nnnaddD a d ada??, ......, 111111 n n nnnnadD a a dadd?????. 于是 12 2112 , , , nnnnx x xdd D dDDa a aD D D? ? ? ? ? ?. 定理 系數(shù)行列式 | | 0ij na ?為齊次線(xiàn)性方程組 ???????????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa??????? (224) 克萊姆法則及其應(yīng)用 8 存在非零解的充要條件。 用同樣方法對(duì) (221)中剩余的 1n? 個(gè)方程進(jìn)行同樣變換，可以證明該引理成立。同時(shí)，利用這一基本引理也可以完成該法則的證明。 克萊姆法則的一個(gè)簡(jiǎn)易證明 我們?cè)诰€(xiàn)性代數(shù)中，通常會(huì)利用二元或三元線(xiàn)性方程組的求解過(guò)程來(lái)引出克萊姆法則的 概念。如果該方程組的解中， ix 不全為 0，則說(shuō)明該線(xiàn)性方程組具有非 0解。 我們假設(shè)線(xiàn)程方程組的一個(gè)解為 nn kxkxkx ??? , 2211 ?，把這一解代入到方程組中，可以獲得 n 個(gè)恒等式，我們用行列式 D 的第 j 列元素 njjj aaa , 21 ? 的代數(shù) 克萊姆法則及其應(yīng)用 4 余子式 njjj AAA , 21 ? 與這 n 個(gè)恒等式兩端分別相乘，將得到的結(jié)果求和，可得 nnnnjnjnnnjnnjjjnnjjjbkakakakaAbkakakakaAbkakakakaA????????????????????????????????????221122222212121112121111::: jnnnj DkaDkkk ????? ??21 00 即 , 1, 2 , , .jjD k D j n?? 由 0?D ,可知 njDDk jj ,2,1, ??? 這就是說(shuō)，如果 ),( 21 nkkk ? 是方程組（ 11）的一個(gè)解，則 ? ?, 1, 2 , , .jj Dk j nD?? 則線(xiàn)性方程組（ 11）只有一個(gè)解。因此我們的證明步驟是： 首先，將 DDxDDxDDx nn ??? ?, 2211作為方程的解代入到方程組中，證明（ 13）是線(xiàn)性方程組的一個(gè)解，由此來(lái)證明結(jié)論 1和 3。方程組的所有系數(shù) ija 單獨(dú)拿出來(lái)，組成一個(gè)新的行列式（ 12），用 D 來(lái)表示，則 D 被稱(chēng)作是線(xiàn)性方程組（ 11）的一個(gè)系數(shù)行列式。 克萊姆法則及其應(yīng)用 2 第 1 章 行列式定義 首先，作為克萊姆法則的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，我們來(lái)介紹一下有關(guān)系數(shù)行列式的概念。s rule, Linear equations, Determinant 克萊姆法則及其應(yīng)用 III 目 錄 前 言 .................................................................. 1 第 1 章 行列式定義 ...................................................... 2 第 2 章：克萊姆法則的證明 ............................................... 3 克萊姆法則的一般證明方法 ........................................ 3 一般的線(xiàn)性方程組 ........................................... 3 齊次線(xiàn)性方程組 ............................................ 5 克萊姆法則的一個(gè)簡(jiǎn)易證明 ........................................ 6 克萊姆法則的一個(gè)新證明 ......................................... 8 第 3 章 克萊姆法則的推廣 ............................................... 11 第 4 章 克萊姆法則的應(yīng)用 ............................................... 13 克萊姆法則在解線(xiàn)性方程組中的應(yīng)用 ............................... 13 克萊姆法則的實(shí)際應(yīng)用 ........................................... 16 結(jié)束語(yǔ) ................................................................ 21 參考文獻(xiàn) .............................................................. 22 克萊姆法則及其應(yīng)用 1 前 言 瑞士數(shù)學(xué)家克萊姆 (,17041752)在他去世前一年的著作中，首次給出了行列式的定義，并且提出了我們現(xiàn)在所熟知的克萊姆法則。它不但給出了行列式不等于零的 n元線(xiàn)性方程組存在唯一解的條件，并且還將線(xiàn)性方程組的解與系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)組成的行列式間的關(guān)系簡(jiǎn)單明了的表示出來(lái)。在這方面一般會(huì)通過(guò)兩種方法來(lái)處理，那就是克萊姆法則和消元法。線(xiàn)性代數(shù)領(lǐng)域的主要問(wèn)題其一便是求線(xiàn)性方程組的解。而克萊姆法則，是指利用行列式來(lái)求解線(xiàn)性方程組問(wèn)題，由瑞士數(shù)學(xué) 家克萊姆，經(jīng)證明而得出的。s rule, refers to the use of determinant to solve the problem of linear equations, by Swiss mathem