極限思想在中學數學中的應用_本科數學畢業(yè)論文-全文預覽
【正文】 文 2 極限思想的發(fā)展 極限思想在我國很早就產生 .早在先秦時期，許多思想家就開始探討無窮大、無窮小以及無窮分割等問題，戰(zhàn)國后期，諸子更是就這些問題展開爭鳴 . 秋水 一文有云：“何以只毫末之足以定細之倪？” 天下篇 記載：“至大無外，謂之大一；至小無內，謂之小一 .”著實際上就是數學史上無窮大和無窮小的概念雛形 . 對于無窮分割有無可能 的思考， 莊子 提出了一個著名命題：一尺之槌，日取其半，萬世不竭 .” 這個作為無窮分割的經典論斷，至今在微積分的教學中還經常使用，今天可抽象成一個無窮數列； 1， 1/2， 1/4?? 由此可見，這個表達不僅反映了我們祖先的極限思想，還給我們提供了一個無窮小量的實例 . 極限思想的早期應用 在我國，將無窮思想創(chuàng)造性的應用到數學中，當屬魏晉時期的劉輝 .他在注解九章算術 是創(chuàng)立了“割圓術”，即用圓的內切正多邊形的面積去無限逼近圓面積的方法 .最后的到割之彌細，失之彌少的結論 ,有了割圓術這樣的方法，在利用勾股 定理進行嚴密推算，就得到了圓周率的估計值 . 在古希臘，“窮竭法 ” 是古希臘人研究數學的一種方法 .公元三世紀，安提芬在研究“化圓為方”問題時，提出了使用邊數不斷增加的圓內切正多邊形面積“竭窮”圓面積的思想 .后來歐多克斯用竭窮的思想證明了球的體積與直徑成正比的結論 .之后，竭窮思想一路發(fā)展，它所包含的無窮小量的概念被牛頓所引用，成了微積分的基礎 . 極限思想在中學數學中的應用 極限思想是研究變量在無限變化中的趨勢的思想，使用無限逼近的方式，從有限認識無限，用不變認識變，用近似認識精確的辯證思想 . 極限思想是高考的 核心，對于某些問題，如能靈活應用極限思想，不僅能降數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 3 低問題難度，優(yōu)化解題過程，而且對培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維有極大幫助 . 極限思想作為一種重要的解題思想，在解題中經常遇到，下面我們結合實例談談利用極限思想解題的幾種方法 . 在運動變化過程中把握極限位置 例 1 以知三棱錐的的底面是邊長為 1的正 三角形，兩條側面棱為 213 ，試求第三條側棱的取值范圍 . 分析： 固定底面正三角形，讓兩腰的長均為 213 的側面等腰三角形繞著其 底邊旋轉，當該等腰三角形與底面共面時有兩種情況，這就是第三條側棱的兩個極限位置 .底面正三角形和側面等腰三角形的高分別為 3,23 ，則第三條棱的最小趨于 3 23 = 23 ，最大趨于 23 + 3 =3 23 故此題的答案為（ 23 ， 3 23 ） . 例 2 銳角三角形 ABC 的邊長 BC=1， AC=2，求 AB的取值范圍 分析： 本題如果考慮使用正弦定理勢必將比較繁瑣，但如果依據已知條件構造銳角三角形，讓 AC 固定， BC=1， B點在以 C為圓心、半徑為 1 的圓周上運動，于是得到如圖所示的兩個極限位置 .經計算知 AB分別為 5 、 3 ，故所求為（ 3 ，5 ） . 例 3 已知 01x y a? ? ? ?，則有（ ） （ A） 0)(log ?xya （ B） ()0 log 1a xy?? （ C） 1 log ( ) 2a xy?? （ D） log( ) 2xy ? 分析：當 ax? 時，由題意 ay? ，此時 2axy? ， log ? ? ,2log ?xy 故可排除數學與統(tǒng)計學院 2020 屆畢業(yè)論文 4 （ A）、（ B），當 時oy? ，由題意 0?x ，此時 0?xy ，又 10 ??a ，則 ? ? ??xylog ，故排除（ C），選（ D） . 點撥： 以上兩例都是適當借助極限思想，用運動的觀點對問題進行的定性分析，這肯定比定量運算尋找答案要簡單的多 . 函數圖像式函數性質的一種直觀反映，有些問題涉及到 , ox x x?? ? 時對
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