【正文】 ），∴ AB =DC ，∴ AB ∥ DC ，又線段 AB 與線段 DC 無公共點，∴ AB∥ DC 且 |AB|=|DC|，∴ ABCD 是平行四邊形，又 |AB |= 5 ， AC =(5， 3）， |AC |= 34 ，∴ |AB |≠ |AC }, ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 BC =(4， 1）， ∴ 1178。 176。 2=3 | 1BA |= 6)02()10()01( 222 ?????? 5)02()01()00(|| 2221 ???????CB .103056 3||||,c os111111 ????????? CBBC CBBACBBA (3)證明：依題意得： C1(0， 0， 2)， M( 2,21,21 ) )2,1,1(),0,21,21( 11 ???? BAMC ∴ ,00)2(21121)1(1111 MCBAMCBA ???????????? ∴ A1B⊥ C1M. ●錦囊妙計 ，一要善于運用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運算，加深對向量的本質(zhì)的認(rèn)識 .二是向量的坐標(biāo)運算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想 . ，兩向量垂直、射影、夾角等問題中 .常用向量的直角坐標(biāo)運算來證明向量的垂直和平行問題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線的夾角和兩點間距離的問題 . ： (1)要解決的問題可用什么向量知識來解決？需要用 到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？ (4)怎樣對已經(jīng)表示出來的所需向量進(jìn)行運算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★ )設(shè) A、 B、 C、 D 四點坐標(biāo)依次是 (－ 1， 0)， (0， 2)， (4， 3)， (3，1)，則四邊形 ABCD 為 ( ) 2.(★★★★ )已知△ ABC AB =a， AC =b， a178。 cosθ =0,得 當(dāng) |a|=|c|時， A1C⊥ DC1，同理可證當(dāng) |a|=|c|時， A1C⊥ BD， ∴1CCCD =1 時， A1C⊥平面 C1BD. ［ 例 2］如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1，底面△ ABC中， CA=CB=1，∠ BCA=90176。 b－ b178。 b=|c|178。 32 d－ a1－ (n－ 1) 32 d=32 d 為常數(shù) . 故 {bn}是等差數(shù)列，公差為 32 d. ②充分性 : 設(shè) {bn}是等差數(shù)列，公差為 d′ ,則 bn=(n－ 1)d ∵ bn(1+2+? +n)=a1+2a2+? +nan ① bn－ 1(1+2+? +n－ 1)=a1+2a2+? +(n－ 1)an ② ①－②得： nan= 2 )1(2 )1( ??? nnbnnnbn－ 1 ∴ an= dnbdnbndnbnbnbnnn ?????????????????? ? 23)1(])2([2 1])1([2 12 12 1 1111,從而得 an+1－ an=23 d′為常數(shù)，故 {an}是等差數(shù)列 . 綜上所述，數(shù)列 {an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列 {bn}也是等差數(shù)列 . ：①必要性： 由已知得，線段 AB 的方程為 y=－ x+3(0≤ x≤ 3) 由于拋物線 C 和線段 AB 有兩個不同的交點， 所以方程組??? ????? ???? )30(3 12 xxy mxxy *有兩個不同的實數(shù)解 . 消元得： x2－ (m+1)x+4=0(0≤ x≤ 3) 設(shè) f(x)=x2－ (m+1)x+4,則有 ????????????????????????????3210310304)1(39)3(04)0(044)1( 2mmmffm ②充分性： 當(dāng) 3＜ x≤ 310 時， x1= 2 )1(12 16)1(1 22 ???????? mmmm 0 32 16)1310(1310216)1(1 222 ??????????? mmx ∴方程 x2－ (m+1)x+4=0 有兩個不等的實根 x1,x2,且 0＜ x1＜ x2≤ 3,方程組 *有兩組不同的實數(shù)解 . 因此，拋物線 y=－ x2+mx－ 1 和線段 AB 有兩個不同交點的充要條件 3＜ m≤310 . ：若關(guān)于 x 的方 程 x2+mx+n=0 有 2 個小于 1 的正根，設(shè)為 x1,x2. 則 0＜ x1＜ 1,0＜ x2＜ 1,有 0＜ x1+x2＜ 2 且 0＜ x1x2＜ 1, 根據(jù)韋達(dá)定理：??? ?? ?????? ? ??? 10 2021 21 n mnxx mxx 得 有－ 2＜ m＜ 0。 1,故 a=1 不是必要條件 . 答案： A 二、 ：當(dāng) a=3 時，直線 l1:3x+2y+9=0。 2=4. 設(shè) f(x)=x2+ax+b,則 f(x)的圖象是開口向上的拋物線 . 又 |α |＜ 2,|β |＜ 2,∴ f(177。 (2)如果 A={－ 1， 3}，求 B. 參考答案 難點磁場 解：由??? ????? ???? )20(01 022 xyx ymxx 得 x2+(m－ 1)x+1=0 ① ∵ A∩ B≠ ? ∴方程①在區(qū)間［ 0， 2］上至少有一個實數(shù)解 . 首先，由 Δ =(m－ 1)2－ 4≥ 0,得 m≥ 3 或 m≤－ 1,當(dāng) m≥ 3 時，由 x1+x2=－ (m－ 1)＜ 0 及 x1x2=10 知，方程①只有負(fù)根，不符合要求 . 當(dāng) m≤－ 1 時，由 x1+x2=－ (m－ 1)0 及 x1x2=10 知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間 (0， 1］內(nèi)，從而方程①至少有一個根在區(qū)間［ 0， 2］內(nèi) . 故所求 m 的取值范圍是 m≤－ 1. 殲滅難點訓(xùn)練 一、 ：對 M 將 k 分成兩類： k=2n 或 k=2n+1(n∈ Z),M={x|x=nπ + 4? ,n∈ Z}∪ {x|x= nπ + 43? ,n∈ Z},對 N 將 k 分成四類， k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ + 2? ,n∈ Z}∪ {x|x=nπ + 43? ,n∈ Z}∪ {x|x=nπ +π ,n∈ Z}∪ {x|x=nπ+ 45? ,n∈ Z}. 答案： C ：∵ A∪ B=A，∴ B? A,又 B≠ ? , ∴?????????????12171221mmmm 即 2＜ m≤ 4. 答案： D 二、 =0 或 a≥ 89 ：由 A∩ B 只有 1 個交點知，圓 x2+y2=1 與直線 byax? =1 相切，則1=22 baab?,即 ab= 22 ba ? . 答案： ab= 22 ba ? 三、 ： log2(x2－ 5x+8)=1,由此得 x2－ 5x+8=2，∴ B={2,3}.由 x2+2x－ 8=0，∴ C={2,－ 4},又 A∩ C=? ，∴ 2和－ 4都不是關(guān)于 x的方程 x2－ ax+a2－ 19=0的解，而 A∩ B ? ,即 A∩ B≠ ? , ∴ 3 是關(guān)于 x 的方程 x2－ ax+a2－ 19=0 的解，∴可得 a=5 或 a=－ 2. 當(dāng) a=5 時，得 A={2， 3}，∴ A∩ C={2}，這與 A∩ C=? 不符合，所以 a=5(舍去 )；當(dāng) a=－ 2 時，可以求得 A={3，－ 5}，符合 A∩ C=? ， A∩ B ? ，∴ a=－2. ： (1)正確 .在等差數(shù)列 {an}中， Sn= 2 )( 1 naan ? ,則 21?nSn (a1+an),這表明點(an, nSn ）的坐標(biāo)適合方程 y 21? (x+a1),于是點 (an, nSn )均 在直線 y=21 x+21 a1上 . (2)正確 .設(shè) (x,y)∈ A∩ B,則 (x,y)中的坐標(biāo) x,y 應(yīng)是方程組???????????1412121221yxaxy 的解，由方程組消去 y 得： 2a1x+a12=－ 4(*)，當(dāng) a1=0 時，方程 (*)無解，此時 A∩ B=? ；當(dāng)a1≠ 0 時，方程 (*)只有一個解 x=12124aa??,此時，方程組也只有一解????????????1211214424aayaay,故上述方程組至多有一解 . ∴ A∩ B 至多有一個元素 . (3）不正確 .取 a1=1,d=1,對一切的 x∈ N*,有 an=a1+(n－ 1)d=n0, nSn 0,這時集合 A 中的元素作為點的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于 a1=1≠ 果 A∩ B≠ ? ,那么據(jù) (2）的結(jié)論， A∩ B 中至多有一個元素 (x0,y0） ,而x0=5224 121 ????aa＜ 0,y0= 432 01 ??xa ＜ 0,這樣的 (x0,y0） ?A,產(chǎn)生矛盾，故 a1=1,d=1時 A∩ B=? ，所以 a1≠ 0 時，一定有 A∩ B≠ ? 是不正確的 . ：由 w=21 zi+b 得 z= i bw 22 ? , ∵ z∈ A,∴ |z－ 2|≤ 2,代入得 | i bw 22 ? － 2|≤ 2,化簡得 |w－ (b+i)|≤ 1. ∴ 集合 A、 B 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的集合是兩個圓面，集合 A表示以點 (2，0）為圓心，半徑為 2 的圓面，集合 B 表示以點 (b,1)為圓心，半徑為 1 的圓面 . 又 A∩ B=B，即 B? A，∴兩圓內(nèi)含 . 因此 22 )01()2( ???b ≤ 2－ 1,即 (b－ 2)2≤ 0，∴ b=2. 8.(1)證明：設(shè) x0是集合 A中的任一元素，即有 x0∈ A. ∵ A={x|x=f(x)},∴ x0=f(x0). 即有 f［ f(x0)］ =f(x0)=x0,∴ x0∈ B,故 A? B. (2)證明：∵ A={－ 1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程 x2+(p－ 1)x+q=0 有兩根－ 1 和 3，應(yīng)用韋達(dá)定理，得 ??? ?? ?????? ??? ????? 313)1( ),1(31 qpq p ∴ f(x)=x2－ x－ 3. 于是集合 B 的元素是方程 f［ f(x)］ =x,也即 (x2－ x－ 3)2－ (x2－ x－ 3)－ 3=x(*)的根 . 將方程 (*)變形，得 (x2－ x－ 3） 2－ x2=0 解得 x=1,3, 3 ,－ 3 . 故 B={－ 3 ，－ 1， 3 ， 3}. 難點 2 充要條件的判定 充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件 p 和結(jié)論 q 之間的關(guān)系 .本節(jié)主要是通過不同的知識點來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個命題的充要關(guān)系 . ●難點磁場 (★★★★★ )已知關(guān)于 x 的實系數(shù)二次方程 x2+ax+b=0 有兩個實數(shù)根 α 、 β ，證明： |α |2 且 |β |2 是 2|a|4+b 且 |b|4 的充要條件 . ●案例探究 ［例 1］已知 p： |1－ 31?x |≤ 2,q:x2－ 2x+1－ m2≤ 0(m0),若 ?p 是 ?q 的必要而不充分條件，求實數(shù) m 的取值范圍 . 命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時考查了充分必要條件及四種命題中等價命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點的靈活性 . 知識依托：本題解題的閃光點是利用等價命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對充要條件的難理解變得簡單明了 . 錯解分析：對四種命題以及充要條件的定義實質(zhì)理解不清晰是解此題的難點，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難 . 技巧與方法：利用等價命題先進(jìn)行命題的等價轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決 . 解：由題意知： 命題：若 ?p 是 ?q 的必要而不充分條件的等價命題即逆否命題為： p 是 q 的充分不必要條件 . p:|1－ 31?x |≤ 2? － 2≤ 31?x － 1≤ 2? － 1≤ 31?x ≤ 3? － 2≤ x≤ 10 q:x2－ 2x+1－ m2≤ 0? ［ x－ (1－ m)］［ x－ (1+m)］≤ 0 * ∵ p 是 q 的充分不必要條件， ∴不等式 |1－ 31?x |≤ 2 的