【正文】 ），∴ AB =DC ，∴ AB ∥ DC ，又線(xiàn)段 AB 與線(xiàn)段 DC 無(wú)公共點(diǎn)，∴ AB∥ DC 且 |AB|=|DC|，∴ ABCD 是平行四邊形，又 |AB |= 5 ， AC =(5， 3）， |AC |= 34 ，∴ |AB |≠ |AC }, ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 BC =(4， 1）， ∴ 1178。 176。 2=3 | 1BA |= 6)02()10()01( 222 ?????? 5)02()01()00(|| 2221 ???????CB .103056 3||||,c os111111 ????????? CBBC CBBACBBA (3)證明：依題意得： C1(0， 0， 2)， M( 2,21,21 ) )2,1,1(),0,21,21( 11 ???? BAMC ∴ ,00)2(21121)1(1111 MCBAMCBA ???????????? ∴ A1B⊥ C1M. ●錦囊妙計(jì) ，一要善于運(yùn)用向量的平移、伸縮、合成、分解等變換，正確地進(jìn)行向量的各種運(yùn)算，加深對(duì)向量的本質(zhì)的認(rèn)識(shí) .二是向量的坐標(biāo)運(yùn)算體現(xiàn)了數(shù)與形互相轉(zhuǎn)化和密切結(jié)合的思想 . ，兩向量垂直、射影、夾角等問(wèn)題中 .常用向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明向量的垂直和平行問(wèn)題；利用向量的夾角公式和距離公式求解空間兩條直線(xiàn)的夾角和兩點(diǎn)間距離的問(wèn)題 . ： (1)要解決的問(wèn)題可用什么向量知識(shí)來(lái)解決？需要用 到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量直接表示？ (3)所需要的向量若不能直接用已知條件轉(zhuǎn)化成的向量表示，則它們分別最易用哪個(gè)未知向量表示？這些未知向量與由已知條件轉(zhuǎn)化的向量有何關(guān)系？ (4)怎樣對(duì)已經(jīng)表示出來(lái)的所需向量進(jìn)行運(yùn)算，才能得到需要的結(jié)論？ ●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★ )設(shè) A、 B、 C、 D 四點(diǎn)坐標(biāo)依次是 (－ 1， 0)， (0， 2)， (4， 3)， (3，1)，則四邊形 ABCD 為 ( ) 2.(★★★★ )已知△ ABC AB =a， AC =b， a178。 cosθ =0,得 當(dāng) |a|=|c|時(shí)， A1C⊥ DC1，同理可證當(dāng) |a|=|c|時(shí)， A1C⊥ BD， ∴1CCCD =1 時(shí)， A1C⊥平面 C1BD. ［ 例 2］如圖，直三棱柱 ABC— A1B1C1，底面△ ABC中， CA=CB=1，∠ BCA=90176。 b－ b178。 b=|c|178。 32 d－ a1－ (n－ 1) 32 d=32 d 為常數(shù) . 故 {bn}是等差數(shù)列，公差為 32 d. ②充分性 : 設(shè) {bn}是等差數(shù)列，公差為 d′ ,則 bn=(n－ 1)d ∵ bn(1+2+? +n)=a1+2a2+? +nan ① bn－ 1(1+2+? +n－ 1)=a1+2a2+? +(n－ 1)an ② ①－②得： nan= 2 )1(2 )1( ??? nnbnnnbn－ 1 ∴ an= dnbdnbndnbnbnbnnn ?????????????????? ? 23)1(])2([2 1])1([2 12 12 1 1111,從而得 an+1－ an=23 d′為常數(shù)，故 {an}是等差數(shù)列 . 綜上所述，數(shù)列 {an}成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列 {bn}也是等差數(shù)列 . ：①必要性： 由已知得，線(xiàn)段 AB 的方程為 y=－ x+3(0≤ x≤ 3) 由于拋物線(xiàn) C 和線(xiàn)段 AB 有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， 所以方程組??? ????? ???? )30(3 12 xxy mxxy *有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解 . 消元得： x2－ (m+1)x+4=0(0≤ x≤ 3) 設(shè) f(x)=x2－ (m+1)x+4,則有 ????????????????????????????3210310304)1(39)3(04)0(044)1( 2mmmffm ②充分性： 當(dāng) 3＜ x≤ 310 時(shí)， x1= 2 )1(12 16)1(1 22 ???????? mmmm 0 32 16)1310(1310216)1(1 222 ??????????? mmx ∴方程 x2－ (m+1)x+4=0 有兩個(gè)不等的實(shí)根 x1,x2,且 0＜ x1＜ x2≤ 3,方程組 *有兩組不同的實(shí)數(shù)解 . 因此，拋物線(xiàn) y=－ x2+mx－ 1 和線(xiàn)段 AB 有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件 3＜ m≤310 . ：若關(guān)于 x 的方 程 x2+mx+n=0 有 2 個(gè)小于 1 的正根，設(shè)為 x1,x2. 則 0＜ x1＜ 1,0＜ x2＜ 1,有 0＜ x1+x2＜ 2 且 0＜ x1x2＜ 1, 根據(jù)韋達(dá)定理：??? ?? ?????? ? ??? 10 2021 21 n mnxx mxx 得 有－ 2＜ m＜ 0。 1,故 a=1 不是必要條件 . 答案： A 二、 ：當(dāng) a=3 時(shí)，直線(xiàn) l1:3x+2y+9=0。 2=4. 設(shè) f(x)=x2+ax+b,則 f(x)的圖象是開(kāi)口向上的拋物線(xiàn) . 又 |α |＜ 2,|β |＜ 2,∴ f(177。 (2)如果 A={－ 1， 3}，求 B. 參考答案 難點(diǎn)磁場(chǎng) 解：由??? ????? ???? )20(01 022 xyx ymxx 得 x2+(m－ 1)x+1=0 ① ∵ A∩ B≠ ? ∴方程①在區(qū)間［ 0， 2］上至少有一個(gè)實(shí)數(shù)解 . 首先，由 Δ =(m－ 1)2－ 4≥ 0,得 m≥ 3 或 m≤－ 1,當(dāng) m≥ 3 時(shí)，由 x1+x2=－ (m－ 1)＜ 0 及 x1x2=10 知，方程①只有負(fù)根，不符合要求 . 當(dāng) m≤－ 1 時(shí)，由 x1+x2=－ (m－ 1)0 及 x1x2=10 知，方程①只有正根，且必有一根在區(qū)間 (0， 1］內(nèi)，從而方程①至少有一個(gè)根在區(qū)間［ 0， 2］內(nèi) . 故所求 m 的取值范圍是 m≤－ 1. 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 ：對(duì) M 將 k 分成兩類(lèi)： k=2n 或 k=2n+1(n∈ Z),M={x|x=nπ + 4? ,n∈ Z}∪ {x|x= nπ + 43? ,n∈ Z},對(duì) N 將 k 分成四類(lèi)， k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),N={x|x=nπ + 2? ,n∈ Z}∪ {x|x=nπ + 43? ,n∈ Z}∪ {x|x=nπ +π ,n∈ Z}∪ {x|x=nπ+ 45? ,n∈ Z}. 答案： C ：∵ A∪ B=A，∴ B? A,又 B≠ ? , ∴?????????????12171221mmmm 即 2＜ m≤ 4. 答案： D 二、 =0 或 a≥ 89 ：由 A∩ B 只有 1 個(gè)交點(diǎn)知，圓 x2+y2=1 與直線(xiàn) byax? =1 相切，則1=22 baab?,即 ab= 22 ba ? . 答案： ab= 22 ba ? 三、 ： log2(x2－ 5x+8)=1,由此得 x2－ 5x+8=2，∴ B={2,3}.由 x2+2x－ 8=0，∴ C={2,－ 4},又 A∩ C=? ，∴ 2和－ 4都不是關(guān)于 x的方程 x2－ ax+a2－ 19=0的解，而 A∩ B ? ,即 A∩ B≠ ? , ∴ 3 是關(guān)于 x 的方程 x2－ ax+a2－ 19=0 的解，∴可得 a=5 或 a=－ 2. 當(dāng) a=5 時(shí)，得 A={2， 3}，∴ A∩ C={2}，這與 A∩ C=? 不符合，所以 a=5(舍去 )；當(dāng) a=－ 2 時(shí)，可以求得 A={3，－ 5}，符合 A∩ C=? ， A∩ B ? ，∴ a=－2. ： (1)正確 .在等差數(shù)列 {an}中， Sn= 2 )( 1 naan ? ,則 21?nSn (a1+an),這表明點(diǎn)(an, nSn ）的坐標(biāo)適合方程 y 21? (x+a1),于是點(diǎn) (an, nSn )均 在直線(xiàn) y=21 x+21 a1上 . (2)正確 .設(shè) (x,y)∈ A∩ B,則 (x,y)中的坐標(biāo) x,y 應(yīng)是方程組???????????1412121221yxaxy 的解，由方程組消去 y 得： 2a1x+a12=－ 4(*)，當(dāng) a1=0 時(shí)，方程 (*)無(wú)解，此時(shí) A∩ B=? ；當(dāng)a1≠ 0 時(shí)，方程 (*)只有一個(gè)解 x=12124aa??,此時(shí)，方程組也只有一解????????????1211214424aayaay,故上述方程組至多有一解 . ∴ A∩ B 至多有一個(gè)元素 . (3）不正確 .取 a1=1,d=1,對(duì)一切的 x∈ N*,有 an=a1+(n－ 1)d=n0, nSn 0,這時(shí)集合 A 中的元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，其橫、縱坐標(biāo)均為正，另外，由于 a1=1≠ 果 A∩ B≠ ? ,那么據(jù) (2）的結(jié)論， A∩ B 中至多有一個(gè)元素 (x0,y0） ,而x0=5224 121 ????aa＜ 0,y0= 432 01 ??xa ＜ 0,這樣的 (x0,y0） ?A,產(chǎn)生矛盾，故 a1=1,d=1時(shí) A∩ B=? ，所以 a1≠ 0 時(shí)，一定有 A∩ B≠ ? 是不正確的 . ：由 w=21 zi+b 得 z= i bw 22 ? , ∵ z∈ A,∴ |z－ 2|≤ 2,代入得 | i bw 22 ? － 2|≤ 2,化簡(jiǎn)得 |w－ (b+i)|≤ 1. ∴ 集合 A、 B 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的集合是兩個(gè)圓面，集合 A表示以點(diǎn) (2，0）為圓心，半徑為 2 的圓面，集合 B 表示以點(diǎn) (b,1)為圓心，半徑為 1 的圓面 . 又 A∩ B=B，即 B? A，∴兩圓內(nèi)含 . 因此 22 )01()2( ???b ≤ 2－ 1,即 (b－ 2)2≤ 0，∴ b=2. 8.(1)證明：設(shè) x0是集合 A中的任一元素，即有 x0∈ A. ∵ A={x|x=f(x)},∴ x0=f(x0). 即有 f［ f(x0)］ =f(x0)=x0,∴ x0∈ B,故 A? B. (2)證明：∵ A={－ 1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程 x2+(p－ 1)x+q=0 有兩根－ 1 和 3，應(yīng)用韋達(dá)定理，得 ??? ?? ?????? ??? ????? 313)1( ),1(31 qpq p ∴ f(x)=x2－ x－ 3. 于是集合 B 的元素是方程 f［ f(x)］ =x,也即 (x2－ x－ 3)2－ (x2－ x－ 3)－ 3=x(*)的根 . 將方程 (*)變形，得 (x2－ x－ 3） 2－ x2=0 解得 x=1,3, 3 ,－ 3 . 故 B={－ 3 ，－ 1， 3 ， 3}. 難點(diǎn) 2 充要條件的判定 充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來(lái)區(qū)分命題的條件 p 和結(jié)論 q 之間的關(guān)系 .本節(jié)主要是通過(guò)不同的知識(shí)點(diǎn)來(lái)剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系 . ●難點(diǎn)磁場(chǎng) (★★★★★ )已知關(guān)于 x 的實(shí)系數(shù)二次方程 x2+ax+b=0 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 α 、 β ，證明： |α |2 且 |β |2 是 2|a|4+b 且 |b|4 的充要條件 . ●案例探究 ［例 1］已知 p： |1－ 31?x |≤ 2,q:x2－ 2x+1－ m2≤ 0(m0),若 ?p 是 ?q 的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù) m 的取值范圍 . 命題意圖：本題以含絕對(duì)值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對(duì)象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)點(diǎn)的靈活性 . 知識(shí)依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對(duì)題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，使考生對(duì)充要條件的難理解變得簡(jiǎn)單明了 . 錯(cuò)解分析：對(duì)四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對(duì)否命題，學(xué)生本身存在著語(yǔ)言理解上的困難 . 技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問(wèn)題解決 . 解：由題意知： 命題：若 ?p 是 ?q 的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為： p 是 q 的充分不必要條件 . p:|1－ 31?x |≤ 2? － 2≤ 31?x － 1≤ 2? － 1≤ 31?x ≤ 3? － 2≤ x≤ 10 q:x2－ 2x+1－ m2≤ 0? ［ x－ (1－ m)］［ x－ (1+m)］≤ 0 * ∵ p 是 q 的充分不必要條件， ∴不等式 |1－ 31?x |≤ 2 的