20xx年東北三省四市高三模擬考試即長春三模理數(shù),全word-全文預(yù)覽
【正文】 【命題意圖】 本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到線面的垂直關(guān)系、 二面角的 求法、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用以及幾何體體積的求法 . 【試題解析】 解：⑴由四邊形 11AADD 是正方形，所以 DAAD 11 ? .又 ?1AA 平面ABCD ， ?90??ADC ，所以 DCADDCAA ?? ,1 ，而 1AA AD A? ，所 以DC? 平面 DDAA 11 ， DCAD ?1 .又 1AD DC D? ，所以 ?1AD 平面 11DCBA ，從而 CBAD 11 ? . (4 分 ) ⑵以 D 為坐標原點， DA ， DC , 1DD 為坐標軸建立空間直角坐標系 D xyz? ，則 數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第 10 頁（共 4 頁） 易得 )0,1,2(B )2,0,2(),2,2,0( 11 AC ，設(shè)平面 1ABD 的法向量為 ),( 1111 zyxn ? ，則由 ?????????00111DAnDBn ，求得 )1,2,1(1 ???n ；設(shè)平面 BDC1 的法向量為),( 2222 zyxn ? ， 則由 ?????????00122DCnDBn ，求得 )2,2,1(2 ??n ，則根據(jù)66c os 21 21 ??? nn nn? , 于是可得 630sin ?? . (9分 ) (3) 設(shè)所給四棱柱的體積為 V,則 61 ??? AASV ABCD ，又三棱錐 ABDA ?1 的體積等于三棱錐 111 CDAB? 的體積，記為 1V ，而三棱錐 111 CDAD? 的體積又等于三棱錐CBDC ?1 的體積，記為 2V . 則由于 3221221311 ??????V ， 3422221312 ??????V ，所以所求四面體的體積為 222 21 ??? VVV . (12分 ) 20. (本小題滿分 12分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到橢圓 方程的求法、直線 與圓錐曲線的相關(guān)知識以及向量與圓錐曲線的綜合知識 . 【試題解析】 ⑴當(dāng)直線 l 與 x軸垂直時，由 212222AM BN bSaa? ? ? ?，得 1b? . 又222M F AB F N??,所以 222 ba c a ca? ? ? ? ?，即 2ac? ，又 221ac??， 解得 2a? . 因此該橢圓的方程為 2 2 12x y??. (4 分 ) ⑵ 設(shè) 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y，而 ( 2 , 0) , ( 2 , 0)MN? ， 所以 11( 2 , )AM x y? ? ? ?， 11( 2 , )AN x y? ? ?， 22( 2 , )BM x y? ? ? ?， 22( 2 , )BN x y? ? ?. 從而有 221 1 1 2 2 2( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )A M A N B M B N x x y x x y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 24 ( ) 2 ( ) 2 4x x y y x x x x y y y y? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. (6 分 ) 數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第 11 頁（共 4 頁） 因為直線 l 過橢圓的焦點 (1,0) ，所以可以設(shè)直線 l 的方程為 1 ( )x ty t R? ? ? ，則 由 2 2 121x yx ty? ????????消去 x 并整理，得 22( 2) 2 1 0t y ty? ? ? ?， 所以12 2 2 2tyy t????，12 2 12yy t ?? ?. (8 分 ) 進而1 2 1 2 2 4( ) 2 2x x t y y t? ? ? ? ? ?， 21 2 1 2 222( 1 ) ( 1 ) 2tx x ty ty t ?? ? ? ? ?， 可得 2222 2 2 24 2 2 2 1( ) 2 ( ) ( ) 2 ( ) 42 2 2 2ttA M A N B M B N t t t t? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?2 2 286( 2) 2tt????. (10分 ) 令 2 2tm?? ，則 2m? . 從而有 228 6 1 3 98 ( )88A M A N B M B N m m m? ? ? ? ? ? ? ?，而 110 2m??，所以可以求得 AM AN BM BN? ? ?的取值范圍是 9[ ,0)8? .(12分 ) 21. (本小題滿分 12分 ) 【命題意圖】 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到用導(dǎo)數(shù)來研 究函數(shù)的單調(diào)性 、極值 以及函數(shù)零點的情況 . 【試題解析】 ⑴令() ln 10fx x? ??,得1x e?. 當(dāng)(0, )x?時，0fx?；當(dāng)( , )x? ??時，( ) 0fx? ?. 所以函數(shù)()在1(0, )e上單調(diào)遞減，在1( , )e ??上單調(diào)遞增 . (3分 ) ⑵由于0x?，所以11( ) ln ln22fx x x kx k x x? ? ??? ?. 構(gòu)造函數(shù)1( ) ln 2k x x x??，則令221 2 1( ) 022xkx x x x?? ? ? ? ?，得 2x. 當(dāng)1( , )2?時，( ) 0? ?；當(dāng)1( , )2x? ??時，( ) 0? ?. 所以函數(shù) 在點12?處取得最小值，即min 11( ( ) ln 1 1 ln2kx k? ? ???. 因此所求的k的取值范圍是( ,1 ln)???. (7 分 ) ⑶ 結(jié)論：這樣的最小正常數(shù) m 存在 . 解釋如下： ( ) ( ) ( ) l n( ) l nxxf a x f a e a x a x a a e? ? ? ? ? ? ? ?( ) ln ( ) lna x aa x a x a aee?????. 構(gòu)造函數(shù) ln()xxxgx e?，則問題就是要求 ( ) ( )g a x g a?? 恒成立 . (9 分 ) 數(shù)學(xué)試題卷（文科） 第 12 頁（共 4 頁） 對于
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