【正文】 7 有 2個相互獨立工作的電子裝置 , 它們的壽命 )2,1( ?kXk 服 從統(tǒng)一指數(shù)分布 ,其概率密度為 ???????? ?0,00,1)( /xxexf x ?? , .0?? 若將這 2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機(jī) , 求整機(jī)壽命 (以小時計 )N 的數(shù)學(xué)期望 . 隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 例 8 (講義例 6) 設(shè) ),( YX 的聯(lián)合概率分布為 : Y X 0 1 2 3 1 3 0 1/8 3/8 0 3/8 0 0 1/8 求 ).(),(),( XYEYEXE 例 9 (講義例 7) 設(shè)隨機(jī)變量 X 在 ],0[? 上服從均勻分布 , 求 )(),(sin 2XEXE 及.)]([ 2XEXE ? 例 10 (講義例 8) 設(shè)隨機(jī)變量 ),( YX 的概率密度 ????? ????.,0,1,1,2 3),( 23其它xxyxyxyxf 求數(shù)學(xué)期望 .1),( ?????? XYEYE 例 11 (講義例 9) 設(shè)某商店經(jīng)營一種商品 , 每周的進(jìn)貨量 X和顧客對該種商品的需求量 Y是兩個相互獨立的隨機(jī)變量 , 均服從 [10,20]上的均勻分布 . 此商店每售出一個單位的商品可獲利 1000元 , 若需求量超過進(jìn)貨量 , 可從其他商店調(diào)劑供應(yīng) , 此時售出的每單位商品僅獲利500元 . 求此商店經(jīng)銷這種商品每周獲利的期望 . 例 12 設(shè) )(),( 2XEXE 均存在，證明 222 )]([)()]([ XEXEXEXE ??? . 例 13 （二項分布的數(shù)學(xué)期望）若 ),(~ pnbX 求 ).(XE 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 例 14 (講義例 10) 一民航送各車載有 20 位旅客自機(jī)場開出 , 旅客有 10個車站可以下車 . 如到達(dá)一個車站沒有旅客下車就不停車 . 以 X 表示停車的次數(shù) , 求 E(X) (設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的 , 并設(shè)各旅客是否下車相互獨立 ). 課堂練習(xí) 1. 設(shè)甲、乙兩人玩必分勝負(fù)的賭博游戲 , 假定游戲的規(guī)則不公正 , 以致兩人獲勝的概率不等 ,甲為 p , 乙為 q , ,qp? 1??qp . 為了補(bǔ)償乙的不利地位 , 另行規(guī)定兩人下的賭注不相等 , 甲為 a , 乙為 b , ba? . 現(xiàn)在的問題是 : a 究竟應(yīng)比 b 大多少 , 才能做到公正 ? 2. 某種新藥在 400 名病人中進(jìn)行臨床試驗有一半 人服用，一班人未服，經(jīng)過 5 天后，有 210人痊愈，其中 190人是服了新藥的 .試用概率統(tǒng)計方法說明新藥的療效 . 3. 把數(shù)字 n,2,1 ? 任意地排成一列 , 如果數(shù)字 k 恰好出現(xiàn)在第 k 個位置上 , 則稱為一個巧合 , 求巧合個數(shù)的數(shù)學(xué)期望 . 第二節(jié) 方差 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是對隨機(jī)變量 取值水平 的綜合評價 , 而隨機(jī)變量 取值的穩(wěn)定性 是判斷隨機(jī)現(xiàn)象性質(zhì)的另一個十分重要的指標(biāo) . 內(nèi)容分布圖示 ★ 引言 ★ 方差的定義 ★ 方差的計算 ★ 例 1 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例 4 ★ 例 5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 方差的性質(zhì) ★ 例 8 ★ 例 9 ★ 例 10 ★ 補(bǔ)充說明 ★ 例 11 ★ 例 12 ★ 條件期望與條件方差簡介 ★ 例 13 ★ 內(nèi)容小結(jié) ★ 課堂練習(xí) ★ 習(xí)題 42 ★ 返回 內(nèi)容要點： 一、 方差的定義 定義 1 設(shè) X 是一個隨機(jī)變量 , 若 2)]([( XEXE ? 存在 ,則稱它為 X 的 方差 , 記為 .)]([)( 2XEXEXD ?? 方差的算術(shù)平方根 )(XD 稱為 標(biāo)準(zhǔn)差 或 均方差 , 它與 X 具有相同的度量單位 , 在實際應(yīng)用中經(jīng)常使用 . 方差刻劃了隨機(jī)變量 X 的取值與數(shù)學(xué)期望的偏離程度 ,它的大小可以衡量隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性 . 從方差 的定義易見 : (1)若 X 的取值比較集中 ,則方差較小 。 疵點數(shù)超過 4個為廢品 . 求 : (1) 產(chǎn)品的廢品率 。()( XkEkXE ? 3. )。 第四章 隨機(jī)變量的數(shù)字特征 前面討論了隨機(jī)變量的分布函數(shù) , 從中知道隨機(jī)變量的分布函數(shù)能完整地描述隨機(jī)變量的統(tǒng)計規(guī)律性 . 但在許多實際問題中 , 人們并不需要去全面考察隨機(jī)變量的變化情況 , 而只要知道它的某些數(shù)字特征即可 . 例如 , 在評價某地區(qū)糧食產(chǎn)量的水平時 , 通常只要知道該地區(qū)糧食的平均產(chǎn)量 。)( CCE ? 2． 若 k 是常數(shù)，則 )。 疵點數(shù)大于 1個不多于 4個為二等品 , 價值 8元 。2 00 0,21。)]([)(12??? ?? i ii pXExXD 若 X 是 連續(xù)型 隨機(jī)變量 ,且其概率密度為 ),(xf 則 .)()]([)( 2???? ?? dxxfXExXD i 利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) , 易得計算方差的一個 簡化公式 : 22 )]([)()( XEXEXD ?? . 三、方差的性質(zhì) 1. 設(shè) C 常數(shù) , 則 0)( ?CD 。 (ii) 稱 }|{)]|([)|( 2ijj iji xXyYPxXYEyxXYD ?????? ?（絕對 收斂）為在 ixX? 條件下 Y 的條件方差 . 類似地，稱 }|{)]|([)|( 2jii jii yYxXPyYXExyYXD ?????? ?（絕對收斂）為在jyY? 條件下 X 的條件方差 . 2．設(shè) ),( YX 是連續(xù)型隨機(jī)向量 , )|(| xyf XY 是在 xX? 條件下的概率密度， )|(| yxf YX 是在 yY? 條件下 X 的概率密度 . 定義 3 (i) 稱 ??????? dyxyyfxXYE XY )|(]|[ |（絕對收斂）為在 xX? 條件下 Y 的條件數(shù)學(xué)期望 。0])([1)(1)( * ????? ???? XEXEXE .1])[(1])[()]([)()( 222222*2** ???????? ????? ? XEXEXEXEXD 即 ???? XX* 的數(shù)學(xué)期望為 0, 方差為 1. *X 稱為 X的標(biāo)準(zhǔn)化變量 . 例 2 (講義例 2) 設(shè)隨機(jī)變量 X 具有 )10( ? 分布 , 其分布律為 ,}1{,1}0{ pXPpXP ????? 求 ),(XE ).(XD 例 3 (講義例 3) 設(shè) ),(~ ?PX 求 ),(XE ).(XD 例 4 (講義例 4) 設(shè) ),(~ baUX 求 ),(XE ).(XD 例 5 (講義例 5) 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從指數(shù)分布 , 其概率密度為 ???????? ?.0,0,0,1)( /xxexf x ?? 其中 ,0?? 求 ).(),( XDXE 例 6 (講義例 6) 設(shè)隨機(jī)變量 X 服從幾何分布 , 概率函數(shù) nkppkXP k ,2,1,)1(}{ 1 ????? ? 其中 10 ??p , 求 )(),( XDXE . 例 7 (講義例 7) 設(shè)隨機(jī)變量 YX, 的聯(lián)合點分布在以點 (0,1), (1,0), (1,1)為頂點的三角形區(qū)域上服從均勻分布 , 試求隨機(jī)變量 YXZ ?? 的期望與方差 . 方差的性質(zhì) 例 8 (講義例 8) 設(shè) ,)()( 2 RxxXExf ??? 證明當(dāng) )(XEx? 時 , )(xf 達(dá)到最小值 . 注：本例子說明 了數(shù)學(xué)期望 )(XE 是隨機(jī)變量 X取值的集中位置 , 反映了 X的平均值 . 例 9 (講義例 9) 設(shè) ),(~ pnbX , 求 ).(),( XDXE 例 10 (講義例 10) 設(shè) ),(~ 2??NX 求 ).(),( XDXE 例 11 (講義例 11) 設(shè)活塞的直徑（以 cm 計） ,(~ NX ) 2 ,氣缸的直徑,(~ NY ), 2 YX, 相互獨立 , 任取一只活塞 , 任取一只氣缸 , 求活塞能裝入氣缸的概率 . 例 12 設(shè)隨機(jī)變量 X 和 Y 相互獨立 , 試證 ).()]([)()]([)()()( 22 XDYEYDXEYDXDXYD ??? 條件數(shù)學(xué)期望和條件方差簡介 例 13 (講義例 12) 設(shè) ),(~),( 222121 ?????NYX ，求 ),|( xXYE ? )|( xXYD ? . 課堂練習(xí) 1. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 ????? ??? ???.,021,210,)(其它xxxxxf 求 ).(XE 2. 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布律為 4/112/16/16/