【正文】 proc glm data=child。 end。 do sex=1 to 2。 表 3 周歲男女兒童的身高、體重和體表面積 男（ male） 女（ female） 身高（ x1） 體重（ x2） 表面積（ y） 身高（ x1） 體重（ x2） 表面積（ y） The SAS System Dependent Variable: Y Contrast DF Contrast SS Mean Square F Value Pr F trt12 vs trt34 1 T for H0: Pr |T| Std Error of Parameter Estimate Parameter=0 Estimate trt1 adj mean trt2 adj mean adj trt diff trt1 unadj mean trt2 unadj mean unadj trt diff 上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 7 of 16 程序如下： proc format。但如果對未調(diào)整均值之差是否為 0 進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)，結(jié)果卻為非常顯著。 tdiff選擇項(xiàng)要求對已調(diào)整均值的兩兩比較采用 lsd 檢驗(yàn)，可以使用 adjust= duncan/waller等 選項(xiàng)替代 lsd檢驗(yàn)，獲得其他 多重比較的檢驗(yàn)結(jié)果。協(xié)變量 x 的系數(shù)估計值表明，初始體重變動 1 個單位 ， 最后 ， 體重 y 相關(guān)地要變動 單位。B39。更進(jìn)一步分析，我們注意到方差分析中均方誤差為 ，而協(xié)方差分析中卻縮小到 ，相應(yīng)地分組變量 trt 的 F 統(tǒng)計量從 ，說明包含了協(xié)變量后分組的區(qū)別更加顯著，原因是簡單方差分析中，大多數(shù)的誤差是由于初始體重 x 的變異造成的。程序輸出的主要結(jié)果 如 表 （ a） 、表 （ b） 、表 （ c）所示。選擇項(xiàng) solution 要求輸出回歸系數(shù)的估計值及其標(biāo)準(zhǔn)誤差和假設(shè)檢驗(yàn)等結(jié)果。 trt 1 1 0 0 0 x 。trt2 unadj mean39。 estimate 39。 intercept 1 trt 0 1 0 0 0 x 。trt1 adj mean39。 contrast 39。 class trt。 proc anova data=growth。 end。 do trt=1 to 5。有人做了如下試驗(yàn)：分別在通向發(fā)電站的入口處（溫度較低）不同位置（底部和表層）和出口處（溫度較高） 不同位置（底部和表層）及電站附近的深水處（底部和表層的中間）總共 5 個不同位置點(diǎn)上，隨機(jī)地各放 4 袋牡蠣（每袋中有 10 個），共 5 4=20 袋。 model X A B 。 用 SAS 中的 glm 過程進(jìn)行協(xié)方差分析時，要注意不同試驗(yàn)設(shè)計時 class 語句和 model 語句的寫法。 3. 協(xié)方差分析的模型 最簡單的單因素一元協(xié)方差分析的模型，是由單因素效應(yīng)模型 ijiij ay ?? ??? 加上協(xié)變量的影響因素 )( xxij?? 而得出： ijijiij xxay ??? ????? )( () 其中 ， x 為協(xié)變量， ijx 為協(xié)變量在分類水平 i 和 j 上的記錄值， x 為所有協(xié)變量的平均值， ? 為相關(guān)的回歸系數(shù)。 2. 協(xié)方差分析的假定 協(xié)方差分析需要滿足的假定為： ① 各樣本來自具有相同方差 2? 的正態(tài)分布總體，即要求各組方差齊性。在各種試驗(yàn)設(shè)計中，對主要變量 y 研究時，常常希望其他可能影響和干擾 y 的變量保持一致以到達(dá)均衡或可比 ，使試驗(yàn)誤差的估計降到最低限度，從而可以準(zhǔn)確地獲得處理因素的試驗(yàn)效應(yīng)。 一、 協(xié)方差分析概述 1. 協(xié)方差分析概念 協(xié)方差分析（ analysis of covariance）又稱帶有協(xié)變量的方差分析（ analysis of variance with covariates），是將回歸分析與方差分析結(jié)合起來使用的一種分析方法。簡單地說，協(xié)方差分析是扣除協(xié)變量的影響，或者將這些協(xié)變量處理成相等，再對修正的 y 的均值作 方差分析。前述的各種試驗(yàn)設(shè)計，如完全隨機(jī)化設(shè)計、隨機(jī)區(qū)組設(shè)計、析因設(shè)計、拉丁方設(shè)計等，都可以帶一個或多 個協(xié)變量，按設(shè)計方案扣除協(xié)變量的影響后，對主要變量 y 的修正均值作比較，得出統(tǒng)計結(jié)論。這個式揭示了，觀察值 ijy 的模型可以表示成一組相似的回歸線，且各組具有共同的回歸系數(shù) ? ，和各組自己的截距 ii a?? 00 ?? 。 ② 隨機(jī)區(qū)組設(shè)計的協(xié)方差分析模型 class A B。 二、 實(shí)例分析 1. 一元協(xié)方差分析 例 研究牡蠣在不同溫度的水中不同位置上的生長情況。 表 牡蠣在不同溫度和位置上的生長數(shù)據(jù) 位置 trt 重復(fù)數(shù) rep（ x 為初始體重， y 為最后體重） 1 2 3 4 x y x y x y x y 1（入口底部） 2（入口頂部） 3（出口底部） 4（出口頂部） 5（附近中部） 上海財經(jīng)大學(xué)經(jīng)濟(jì)信息管理系 IS/SHUFE Page 3 of 16 程序如下： data growth。 output。 。 proc glm data=growth。 lsmeans trt /stderr tdiff。 estimate 39。trt2 adj mean39。 trt 1 1 0 0 0。 estimate 39。unadj trt diff39。然而，牡蠣的初始體重 x 對牡蠣的最后體重y 可能也有一定的影響，故適合選用 glm 過程進(jìn)行協(xié)方差分析，在 model 語句中不僅包括分組變量 trt，而且應(yīng)包括協(xié)變量 x。前三條 estimate 語句是用來估計入口處底部和頂部調(diào)整后的均值及它們之差，并假設(shè)檢驗(yàn)是否為 0，后三條 estimate 語句是用來估計入口處底部和頂部未調(diào)整的均值及它們之差，并假設(shè)檢驗(yàn)是否為 0。類 型 1 是一種未經(jīng)過調(diào)整的平方和，因?yàn)樗膬?yōu)先級高于協(xié)變量的調(diào)整。X matrix has been found to be singular and a generalized inverse was used to solve the normal equations. Estimates followed by the letter 39。協(xié)變量 x 的系數(shù)是合并各組內(nèi) y 和 x 所得到的回歸系數(shù)，即由 5 個獨(dú)立的 trt分組分別回歸 y 和 x 后得到回歸系數(shù)然后加權(quán)平均。 Lsmeans語句要求計算調(diào)整后的 y的均值，或稱最小二乘均值估計，我們可以由 公式 （ ）求分組平均得到： )()(xxyyxxyaiiiijijiji ??? ???????? ???? ?? () 再由 公式 （ ）求分組平均代入 上式： xaxxyxxyyiiiiii??????????????????????????0)( () 例如，初始體重的整體平均值為 x =（ ++++） /5=，以 trt1 分組為例，調(diào)整后 ?1y ==－ （ － ）。本程序中的 estimate 語句，有計劃地設(shè)計了對入口處的底部和頂部調(diào)整后均值進(jìn)行估計，及它們之差是否為 0 的假設(shè)檢驗(yàn)，結(jié)果為不顯著。考慮到兒童的身高和體重對表面積可能有影響，在某地測量了男女各 15名初生至 3 周歲兒童的身高、體重 和體表面積， 得到 測量 數(shù)據(jù) 如表 所示。 do i=1 to 15。 output。 。 lsmeans sex /stderr tdiff。在 class 語句中只能有 sex分組變量，而在 model 語句中應(yīng)把觀察指標(biāo)放在等號的左邊，分組變量和協(xié)變量放在等號的右邊， solution選項(xiàng)求回 歸方程的系數(shù)估計。由回歸分析的結(jié)果可知道，與 x x2 相對應(yīng)的公共偏回歸系數(shù)為 ?1? 、?2? ，它們與 0之間差別的檢驗(yàn)結(jié)果為 p= 和 p=。通常情況下，我們 對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析時，總是假定誤差項(xiàng)服從正態(tài)分布，這是人們易于接受的事實(shí)，因?yàn)檎龖B(tài)分布的原始出發(fā)點(diǎn)就是來自于誤差分布，至于當(dāng)樣本相當(dāng)大時，數(shù)據(jù)的正態(tài)近似，這是由于大樣本理論所保證的。 are biased, and are not unique estimators of the parameters. Least