數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)外文+翻譯-外文文獻(xiàn)-全文預(yù)覽
【正文】 9 5 6) 顯然， (9 5 6)式的收斂區(qū)間為 ( , )???? ，至于 (9 5 6)式是否以 ()xf x e? 為和函數(shù)，即它是否收斂于 ()xf x e? ，還要考察余項(xiàng) ()nrx． 2021 .數(shù)學(xué)分析原理 .數(shù)學(xué)分析原理 211 因?yàn)? 1e() ( 1)!x nnr x xn ? ?? ? (01???)， 且 xxx????， 所以 11ee() ( 1 ) ! ( 1 ) !xx nnnr x x xnn? ??????． 注意到對(duì)任一確定的 x 值， xe 是一個(gè)確定的常 數(shù)，而級(jí)數(shù) (9 5 6)是絕對(duì)收斂的，因此其一般項(xiàng)當(dāng) n?? 時(shí)， 1 0( 1)!nxn? ??，所以當(dāng) n?? 時(shí)，有 1 0( 1)!nx xen? ??， 由此可知 lim ( ) 0nn rx?? ? ． 這表明級(jí)數(shù) (9 5 6)確實(shí)收斂于 ()xf x e? ，因此有 2111 2 ! !xne x x xn? ? ? ? ? ?… … ( x??? ??? )． 這種運(yùn)用馬克勞林公式將函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的方法，雖然程序明確，但是運(yùn)算往往過(guò)于繁瑣，因此人們普遍采用下面的比較簡(jiǎn)便的冪級(jí)數(shù)展開法． 在此之前，我們已經(jīng)得到了函數(shù) x?11 ， xe 及 sinx 的冪級(jí)數(shù)展開式，運(yùn)用這幾個(gè)已知的展開式，通過(guò)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算，可以求得許多函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式．這種求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式的方法稱為間接展開法． 例 2 試求函數(shù) ( ) cosf x x? 在 0x? 處的冪級(jí)數(shù)展開式． 解 因?yàn)? (sin ) cosxx?? ， 而 3 5 2 11 1 1s in ( 1 )3 ! 5 ! ( 2 1 ) !n
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