【正文】 ＞0，得0＜x＜ 設(shè)容器的容積為y m3，則有y＝x（x＋）（－2x）（0＜x＜)整理y＝－2x3＋＋ ∴y′＝－6x2＋＋4令y′＝0 ∴x1＝1，x2＝－15（舍去）．從而，在定義域（0，）內(nèi)只有在x＝1處使y′＝0，由題意，若x過?。ń咏?）或過大（）時，y值很?。ń咏?），因此，當(dāng)x＝1時，ymax＝， m．3【答】 m時容積最大， m． ［例4］一艘輪船在航行中的燃料費和它的速度的立方成正比，已知在速度為每小時10公里時燃料費是每小時6元，而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元，問此輪船以何種速度航行時，能使行駛每公里的費用總和最小？33【解】設(shè)船速為x（x0）公里/小時，燃料費是Q元，則Q＝kx，由6＝k|y|＝2a（定值）p22．當(dāng)0p【證明】令f（x）＝x－sinx，則當(dāng)0＜x＜2時，f′（x）＝1－cosx＞0 p∴f（x）在（0，2）上單調(diào)增加，而f（0）＝0，p∴當(dāng)0＜x＜2時，f（x）＞0，即x＞sinx222令ｇ（x）＝sinx－px，∴ｇ′（x）＝cosx－p當(dāng)0＜x＜arccosp時，ｇ′（x）＞0，則ｇ（x）單調(diào)增加；2p＝0p當(dāng)arccosp＜x＜2時，ｇ′（x）＜0，則ｇ（x）單調(diào)減小，而f（0）＝f（2）p2∴當(dāng)0＜x＜2時，ｇ（x）＞0，即sinx＞px．2p綜上，當(dāng)0＜x＜2時，px＜sinx＜x．p3．如圖11—1，扇形AOB中，半徑OA＝1，∠AOB＝2，在OA的延長線上有一動點C，過C作CD與相切于點E，且與過點B所作的OB的垂線交于點D，當(dāng)點C在什么位置時，直角梯形OCDB面積最??？【解】設(shè)OC＝x（x＞0），過D作DF⊥OA于F，可知OE＝DF △OEC≌△DFC22∴DC＝OC＝x，∴x＝1＋（x－BD）∴BD＝x－x11221∴S＝2（BD＋OC）x0237。（cosα－2），令f′（α）＝0，得：cosα＝－1或cosα＝2pp3338333∵0【解】過B作對岸所在直線的垂線，垂足記為O，設(shè)在到O距離為x km的點C，分別鋪設(shè)BC、CA間的水下、地下電纜可使費用最?。畡tBC＝x+1千米，AC＝AO－OC＝（15－x）千米，總費用為y，則y＝2（15－x）＋41+x（0≤x≤15）4x求導(dǎo)y′＝1+x21－2，令y′＝0，∴x＝1所以當(dāng)x＝3＝，費用最省． x23．過曲線4＋y2＝1（x≥0，y≥0）上一點引切線分別與x軸正半軸和y軸正半軸交于A、B兩點，求當(dāng)線段|AB|最小時的切點坐標(biāo)．【解】設(shè)|AB|＝l，切點為P（x0，y0），則所求切線方程為：x0x＋4y0y－4＝0（x00，y00），16141+22x0y0x0y02切線在x軸、y軸上的截距分別為、∴l(xiāng)＝，∵P（x0，y0）在曲線上，∵y＝1x24，∴y162。3246。=232。230。3231。180。=39248。248。3246。247。)=cos450=(4)原式=1230。15p12247。231。=2cos6=2180。248。231。2 1sinqcosqtanq1原式====2=223。231。三、課堂練習(xí)求下列各式的值：(1)。已知sina=cos2a,a206。232。已知=k,a206。42248。,247。22sina+sin2a230。,p247。p246。則tanq=2，此時 原式===3++12+1232。p246。則tanq=，此時2232。p246。(2)求值：cosp2p4p17cos17cos17cos8p17.(sinq+2sin2q3)已知tan2q=22，且q206。p6247。=2cos6=1p246。232。)=sin450=(2)原式=12(2sin150cos150)=11112sin300=2180。232。230。,232。246。4247。13246。248。231。(1800,2700),求sin2j、：因為cosj=3,j206。得0122xx(32x)2(2xx+x)=22222xx22xx∵f′（x）＝312令f′（x）＝0，得x＝2或x＝0（舍）3333333檢驗知x＝2是極大值點，由極值點是惟一的，知當(dāng)x＝2時，函數(shù)f（x）的最大值為f（2）＝8，即x2x+．令l′＝0，得x＝10≈，由于該函數(shù)只有這一個極值點．因此它是最小值點． 【答】 km處時，動力線最短．【解題指導(dǎo)】應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解決實際問題，關(guān)鍵是要建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系）．如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個點使f′（x）＝0的情形，此時函數(shù)在此點有極大（?。┲?，那么不與端點比較，也可以知道這就是最大（?。┲担就卣咕毩?xí)】 備選題1．已知x、y為正實數(shù)，且滿足關(guān)系式x2－2x＋4y2＝0，求xx=3500x+2966x，∵y′＝500x96x，2令y′＝0，得x＝20，由于該函數(shù)在（0，＋∞）內(nèi)有惟一的極值點是極小值點，所以該極小值是最小值．因此，當(dāng)船速為20公里/小時時，航行每公里的費用總和最小．［例5］直線y＝a與函數(shù)f（x）＝x3－3x的圖象有相異三個交點，求a的取值范圍．2【解】∵f′（x）＝3x－3＝3（x－1）（x＋1），由f′（x）0得單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－1），（1，＋∞），由 f′（x）當(dāng)－2【達標(biāo)訓(xùn)練】1．證明雙曲線xy＝a2上任意一點的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為定值．a(chǎn)2【證明】設(shè)y＝x上任一點為Q（x0，y0），則k=y162。239。聯(lián)立解得238。=(1+)222x+x+11+x 【解析】y′＝x+x+1lge=021+x，所以f（x）在R上是增函數(shù)． 1．函數(shù)f（x）＝lg（x＋【答案】增函數(shù)212．已知一直線切曲線y＝10x于x＝2，且交此曲線于另一點，則此點坐標(biāo)___________．313【解析】∵k＝y(tǒng)′｜x＝2＝（10x）′｜x＝2＝ 又切點為（2，），切線方程為6x－5y－8＝0236。1時，f′（x）＝0 當(dāng)x＜－1時，f′（x）＜0 當(dāng)－116．設(shè)f（x）＝x－2x－2x＋５（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增、遞減區(qū)間；（2）當(dāng)x∈［－1，2］時，f（x）＜m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．322【解析】（1）令f′（x）＝3x2－x－2＞0，得x＜－3或x＞1．22∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為（－∞，－3）、（1，＋∞），單調(diào)減區(qū)間為（－3，1）（2）原命題等價于f（x）在［－1，2］上的最大值小于m．2由f′（x）＝0，得x＝－3或1，2327又f（2）＝7 ∴m＞［f（x）］max＝7．27．求函數(shù)y＝xlnx的極值． f(1)=11,f(2)=522,f(1)=72，1【解析】定義域D：（0，＋∞），y′＝2xlnx＋x1是函數(shù)的極值點2∴x＝177。1，3）為所求．32［例4］已知f（x）＝ax＋bx＋cx（a≠0）在x＝177。10時，f（x）極?。剑?0當(dāng)x＝0時，f（x）極大＝1 1［例3］曲線y＝3x6上哪一個點的法線在y軸上截距最小?（所謂法線是指：過曲線上一點與以此點為切點的切線垂直的直線）1【解】在曲線y＝3x6上任取一點（x，y），過該點切線的斜率為k＝2x51∴法線的斜率為－2x．51∴法線的方程為Y－y＝－2x（z－x）5Y=y+令z＝0，得法線在y軸上的截距：12x4=x63+12x4xx則令Y′＝0，得x＝177。1 ∴f（1）＝3，f（－1）＝－1． 【答案】D 324．函數(shù)y＝2x－3x－12x＋5在［0，3］上最大、小值是（）A．5，－15B．5，4C．－4，－15 D．5，－16 2【解析】y′＝6x－6x－12＝6（x－2）（x＋1）令y′＝0，得：x＝2或x＝－1（舍）檢驗知，