【正文】 ) fprintf(39。 證明所觀察到的結(jié)論：若nn x??lim存在，則 ? ? .lim1lim 21 nnnn xxxxn ???? ???? ? 設(shè) axnx ???lim，則 0??? ，存在 01?N 使當(dāng) 1Nn? 時(shí)， 2???axn.于是 18 ? ?? ? ? ? ? ?.21112121121211111???????????????????????????nNnnaNxxxnaxaxaxnaNxxxaxxxnNnNNNn???? 因?yàn)?aNxxx N 1211 ???? ?與 n 無關(guān)，可視為常數(shù)，故存在 02?N ，使當(dāng) 2Nn? 時(shí)有 2121 1 ?????? n aNxxx N? 取 },max{ 21 NNN ? ，則當(dāng) Nn? 時(shí)有 ??? ??????? 22)(1 21 axxxn n? 故 ? ? .1lim 21 axxxn nn ?????? ? 練習(xí) 選擇其他收斂數(shù)列，觀察該數(shù)列的極限與其算術(shù)平均數(shù)列的極限的關(guān)系。 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 的概念及其幾何意義。 f=x*sin(x)。函數(shù) g(x,y,z)。jacobian([f,g],[x,y]) 其運(yùn)行結(jié)果為 ans =[ 2*x*exp(x^2+y^2)*sin(x+2*y)+exp(x^2+y^2)*cos(x+2*y), 2*y*exp(x^2+y^2)*sin(x+2*y)+2*exp(x^2+y^2)*cos(x+2*y)] [ 2*cos(x^2+y)*x, cos(x^2+y)]. （ 4） 求一個(gè)函數(shù)零點(diǎn)的函數(shù) fzero,其調(diào)用格式為 fzero(39。,[a,b]) %求函數(shù) f在 [a,b]區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn) 如輸入語句 fzero(39。,[1,4]) 也得到相同的結(jié)果 . 2. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和偏導(dǎo)數(shù) （ 1） 求 y=f(x)的一階導(dǎo)數(shù) 例 求 xxxy ln2 2??的導(dǎo)數(shù) . 解 輸入命令 diff((x+2)/(2*x^(1/2))*log(x)) 得到結(jié)果 ans =1/2/x^(1/2)*log(x)1/4*(x+2)/x^(3/2)*log(x)+1/2*(x+2)/x^(3/2) 注 開方也可以用函數(shù) sqrt(x)表示，結(jié)果相同 . 練習(xí) 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： ? ? 。2co s2co s 22 xxy ?? (3) sin3 4。dy4_dx=A(4)。 %輸入?yún)?shù)方程 dy_dx=diff(y,t)/diff(x,t) %求導(dǎo)數(shù) 得結(jié)果 dy_dx =sin(t)/(1cos(t)) 24 3. 理解導(dǎo)數(shù)的概念 函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù)是其在點(diǎn) 0x 處的變化率，其幾何意義是曲線在點(diǎn) ))(( 0,0 xfx 處的切線的斜率。limit((exp(0+h)exp(0))/h,h,0) 得結(jié)果 ans=1. 可知 .1)0(39。f 為斜率的直線1??xy ，觀察割線和該直線之間的關(guān)系，語句如下： h=[3,2,1,]。r39。r.39。f 為斜率的直線圖形 運(yùn)行結(jié)果見圖 ，從圖上容易看出 ，隨著點(diǎn) M 與點(diǎn) P 越來越近，割線 PM 越來越接近曲線的切線 . 26 圖 xexf ?)( 在點(diǎn) P（ 0， 1）處的切線和割線圖 思考 如何處理圖形能更好地說明該問題？ 理解與計(jì)算類數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)之 積分 引 ：近年來，世界范圍內(nèi)每年的石油消耗率呈指數(shù)增長，增長指數(shù)大約為 年初，消耗率大約為每年 161 億桶 .設(shè) R(t)表示從 970 年起第 t 年的石油消耗率，則 tetR )( ? 億桶，試用此式估計(jì)從 1970 年到 1990 年間石油消耗的總量。 tRtT ? ，那么 T(t)就是 )(tR 的一個(gè)原函數(shù)，而且滿足 0)0( ?T . ：由上面的分析可知，問題的最后解決歸為求石油消耗率函數(shù)的原函數(shù)，即求它的不定積分，本節(jié)重點(diǎn)進(jìn)行與積分相關(guān)的實(shí)驗(yàn)。 實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 的相關(guān)命令語句 （ 1） 求和函數(shù) sum Sum(x)，給出向量 x 的各個(gè)元素的累加和。6:10。symsum(k^2,0,n) %求從 0 到 n所有的自然數(shù)的平方和 ans＝ 1/3*(n+1)^31/2*(n+1)^2+1/6*n+1/6. ②在上例中如果上限不是符號而是具體的數(shù)值，則求和的結(jié)果也是數(shù)值，如 syms m。 練習(xí) 計(jì)算 .111002?? ?n n 問題 能否用其求級數(shù)的和？ 28 提示 只要將求和的上限寫成無窮大即可。int(y) 該語句和 syms x； int(x^3)是等價(jià)的，結(jié)果都是 ans=1/4*x^4. 2. 計(jì)算積分 （ 1） 計(jì)算不定積分 例 計(jì)算 xdxex sin? 解 輸入命令 syms x。arcsin? xdx （ 2） 。輸入 int(y,x) 得結(jié)果 ans =[x*asin(x)+1x^2)^(1/2),1/2*x/a^2/(x^2+a^2)+1/2/a^3*atan(x/a),1/2*x(a^2x^2)^1/2+1/2*a^2*tan(x/(a^2x^2)^1/2))]. 每一個(gè)分量即是對應(yīng)函數(shù)的不定積分。 例 判別廣義積分 dxxp???1 1， dxe x2221 ?????? ?，與 dxx? ?20 2)1( 1的斂散性，收斂時(shí)計(jì)算積分值。int(1/x^p,1,+inf) 得結(jié)果 ans=inf， 輸入語句 p=。 int(sin(x)/x,0,t) 得結(jié)果 ans=sinint(t). 通過查幫助 help sinint可知 sinint(x)=int(sin(t)/t,t,0,x).結(jié)果相當(dāng)于沒求 ！ 因?yàn)檫@類積分無法用初等函數(shù)來表示 .但我們可以得到它的函數(shù)值 ， 如輸入 31 sinint(3) 得結(jié)果 ans=. 即雖然得不到該積分上限函數(shù)的表達(dá)式，但可以得到它在各個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值，實(shí)際上該值是這一點(diǎn)作為積分上限的積分的近似值 . 。int(1/sqrt(2*pi)*exp(x^2/2),inf,+inf) 得結(jié)果 ans =7186705221432913\18014398509481984*2^(1/2)*pi^(1/2). 由輸出結(jié)果看出這個(gè)積分收斂（因積分值已經(jīng)求出） . 對最后一個(gè)積分輸入命令 syms x。int(1/x^p,1,+inf) 得結(jié)果 ans = limit((xexp(p*log(x)))/(p1)/exp(p*log(x)),x=inf） , 相當(dāng)于 ans = limit（ 1/(p1)*x^(p+1)+1/(p1).,x=inf） . 由結(jié)果看出當(dāng) 1?p 時(shí)， x^(p+1)為無窮；當(dāng) 1?p 時(shí)， ans =1/(p1): 還可以進(jìn)一步驗(yàn)證。 （ 2） 計(jì)算定積分和廣義積分 例 計(jì)算 dxx? ?20 1. 解 輸入命令 syms x。y=[asin(x),1/(x^2+a^2)^2,sqrt(a^2x^2)]。int(y) 得結(jié)果 ans =1/2*exp(x)cos(x)+1/2*exp(x)*sin(x). 使用該命令也可以一次求出多個(gè)函數(shù)的不定積分，見下例。如 syms x。n=log(m)。 ① syms k。 例 輸入 x=1:100。 MATLAB 求不定積分 、定積分和 廣義積分 的方法。由于 T(t)是石油消耗的總量，所以 )(39。g39。 %作出 xexf ?)( 的圖形 hold on。 %計(jì)算連接點(diǎn) M 和點(diǎn) P 的各條割線的斜率 x=1::3。 xf ： ans=exp(x), 而輸入 exp(0) 得 ans=1,即也得到 1)0(39。f 。 x=a*(tsin(t))。dy1_dx 得到結(jié)果 dy1_dx =1/2/(x^22*x+5)^(1/2)*(2*x2) 輸入 dy2_dx=A(2)。sinln xy? .xxy? 思考 利用 MATLAB 命令如何實(shí)現(xiàn)一次求出若干個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？ 例