【正文】 (b,c)∈R 所以(a,c)∈S，對所有的xi,xj,xk∈A，如果xiRxj∧xjRxk222。18．設R1，R2是A上二元關系，證明(1)r(R1UR2)=r(R1)Ur(R2)(2)s(R1UR2)=s(R1)Us(R2)(3)t(R1UR2)202。(R1UR2)用歸納法可證RnRnn1U2205。t(R1UR2)={a,b,c,d},A上二元關系R={(a,b),(b,a),(b,c),(c,d)}（１）用矩陣算法和作圖法求r(R),s(R),t(R)。233。234。234。 t(R)=234。000100100000233。234。234。0000001234。234。234。i=3233。1111249。1110222。j=2234。222。235。235。235。（１）Ｒ是自反的（２）Ｒ是對稱的（３）Ｒ是傳遞的（提示：以第一象限的點討論）(1)第一象限角平分線(2)關于對角平分線對稱的點對集合(3)若有P1(x1,y1)、P2(x2,y2), 若x2=y1，必有第三個點P3(x1,y2)第四篇：離散數學期末復習試題及答案(一)離散數學習題參考答案第一章 集合１．分別用窮舉法，描述法寫出下列集合（１）偶數集合（２）36的正因子集合（３）自然數中3的倍數（４）大于１的正奇數(1)E={188。N }(4)Ad= {3, 5, 7, 9, ```} = { 2n+1 | n206。φ√（４）φ205。｛ａ，ｂ，ｃ，｛ａ，ｂ，ｃ｝｝（８）｛ａ，ｂ｝205。Ｂ，且Ｂ205。Ｃ，則Ａ205。Ｃ（４）若Ａ205。B=AUB 左差(AIB)197。AI(BUC)，\C205。B，\AIB=f時等式成立o(3)AB=BAIB=B,B205。B=AB=f,若B185。A197。A197。237。B205。B,A205。B時等式成立o７．設Ａ＝｛ａ，ｂ，｛ａ，ｂ｝，｝，求下列各式（１）φ∩｛φ｝=φ（２）｛φ｝∩｛φ｝={φ} （３）｛φ，｛φ｝｝－φ={φ,{φ}}（４）｛φ，｛φ｝｝－｛φ｝= {{φ}}（５）｛φ，｛φ｝｝－｛｛φ｝｝={φ}（６）Ａ－｛ａ，ｂ｝={{a,b}, φ}（７）Ａ－φ = A（８）Ａ－｛φ｝={a,b,{a,b}}（９）φ－Ａ=φ（１０）｛φ｝－Ａ=φ８．在下列條件下，一定有Ｂ＝Ｃ嗎？（１）AUB=AUC否，例：A={1，2，3}，B={4}，C={3,4}, AUB=AUC={1,2,3,4},而B185。（３）A197。B,a207。AIB,a207。AIC,a206。A,a206。B,a207。C矛盾o（４）AIB=AIC且AIB=AICb206。C,若b207。C,同理,C205。(BUC),a207。(AUB),而a207。(BUC)且B205。f,$a206。(BUC),Qa207。B={1, 3, 4} （２）A197。(B197。則根據題意應有：A174。216。D)∧216。(216。B∨216。(216。B∧216。C∨(216。A∧216。B∧216。A∧216。B∧216。D)∨(C∧216。C∧216。C)∨(216。C∧D∧216。D)219。 D∧216。C∧D)∨F 219。B∧C∧216。C∧D)219。B∧C∧216。二、（15分）在謂詞邏輯中構造下面推理的證明：某學術會議的每個成員都是專家并且是工人，有些成員是青年人，所以，有些成員是青年專家。216。B219。A∨x∈B)∧$x(x∈B∧x207。B)∧216。$x(x∈A∧x207。216。216。(B204。五、（10分）R是非空集合A上的二元關系，若R是對稱的，則r(R)和t(R)是對稱的。下證對任意正整數n，R對稱。yRx，所以R對稱。yRn+1x，所以Rn+1對稱。六、（10分）若f：A→B是雙射，則f：B→A是雙射。對任意的yy2∈B，若f(y1)＝f(y2)＝x，則f(x)＝y1，f(x)＝y2。七、（10分）設是一個半群，如果S是有限集，則必存在a∈S，使得a*a＝a。所以對q≥i，有bq＝bp*bq。八、（20分）（1）若G是連通的平面圖，且G的每個面的次數至少為l(l≥3)，則G的邊數m與結點數n有如下關系：m≤rl(n－2)。由歐拉公式得，n－m＋r＝2。R)∧(Q174。S，所以，即要證(P∨Q)∧(P174。S。PT(1)(2)，I(4)P∨QP(5)QT(3)(4)，I(6)Q174。設P(e)：e是考生，Q(e)：e將有所作為，A(e)：e是勤奮的，B(e)：e是聰明的，個體域：人的集合，則命題可符號化為：x(P(x)174。Q(x))$x(P(x)∧B(x))。x(216。Q(a)T(4)，I(7)x(P(x)174。Q(a)T(10)，US(12)216。則：|A|＝12，|B|＝6，|C|＝14，|A∩C|＝6，|B∩C|＝5，|A∩B∩C|＝2，|(A∪C)∩B|＝6。四、（10分）設AA2和A3是全集U的子集，則形如IAi162。證明小項共8個，設有r個非空小項ss…、sr(r≤8)。Usi。綜上可知，{s1，s2，…，sr}是U的一個劃分。證明(5)若R是傳遞的，則∈R*R222。反之，若R*R205。當m＝0時，由于G是連通圖，所以G為平凡圖，此時n＝1，r＝1，結論自然成立。并設其結點數、邊數和面數分別為n162。有兩個連通分支G1和G2。＝m－1，r1＋r2＝r162。＝n，m162。＋r162。證明(1)對任意的x∈A，因為g：A→B是函數，則存在y∈B使∈g。對任意的x∈A，若存在yy2∈C，使得、∈fog＝g*f，則存在t1使得∈g且∈f，存在t2使得∈g且∈f。綜上可知，fog是A到C的函數。證明對于任意a∈G，必有a1∈G使得a1*a＝e∈H，所以∈R。－－－－若∈R，∈R，則a1*b∈H，b1*c∈H。aH。[a]R。綜上可得，R是G中的一個等價關系。因為H是G的子群，故(a1*b)1＝b1*a∈H。又因fog是A到C的函數，則可寫為fog(x)＝f(g(x))。又因f：B→C是函數，則y1＝y2。根據復合關系的定義，由∈g和∈f得∈g*f，即∈fog。由數學歸納法知，結論成立。＝r－1，由歸納假設有n162。由歸納假設有n1－m1＋r1＝2，n2－m2＋r2＝2，從而(n1＋n2)－(m1＋m2)＋(r1＋r2)＝4，n－(m－1)＋(r＋1)＝4，即n－m＋r＝2。顯然n1＋n2＝n162。和r162。下面考慮連通平面圖G的邊數為m的情況。六、（15分）若G為連通平面圖，則n－m＋r＝2，其中，n、m、r分別為G的結點數、邊數和面數。xRc∧cSy，由R是傳遞的得xRy，即有∈R，所以R*R205。R*R205。U，所以U＝Usi。為包含元素a的Ai或Ai，則a∈IAi162。為Ai或Ai)的集合稱為由AA2和i=13A3產生的小項。于是|A∪B∪C|＝12＋6＋14－6－5－3＋2＝20，|AUBUC|＝25－20＝5。而6個會打網球的人都會打另外一種球，求不會打這三種球的人數。(A(a)∨B(a))T(7)，US(9)A(a)∨B(a)T(8)(5)，I(10)x(A(x)174。Q(x))T(2)，E(4)P(a)∧216。x(P(x)174。Q(x))，216。R174。R附加前提(2)P174。S)216。216。證明設G＝是連通平面圖G＝的對偶圖，則G G，于是|F|＝|V*|＝|V|，將其代入歐拉公式|V|－|E|＋|F|＝2得，|E|＝2(|V|－1)。229。對于bkp∈S，有bkp＝bp*bkp＝bp*(bp*bkp)＝…＝232－1－1－1－1－1－1－1－1－1mm222nbkp*bkp。因為S是有限集，所以必存在j＞i，使得bi＝bj。所以f是單射。下證f是雙射。對任意的x、y∈A，若xt(R)y，則存在m使得xRy，于是有yRx，即有yt(R)x。$z(xRnz∧zRy)219。$z(xRz∧zRy)219。因R與IA對稱，所以有yRx或yIAx，于是yr(R)x。四、（15分）設A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元關系，且R＝{，}，求r(R)、s(R)和t(R)。B)∧x(x∈B→x∈A))219。B)∧x(x∈A∨x207。x(x∈A∨x207。B∨x∈A)222。216。A)219。A)。S(x)：x是專家；W(x)：x是工人；Y(x)：x是青年人；則推理化形式為：x(S(x)∧W(x))，$xY(x)$x(S(x)∧Y(x))下面給出證明：(1)$xY(x)P(2)Y(c)T(1)，ES(3)x(S(x)∧W(x))P(4)S(c)∧W(c)T(3)，US(5)S(c)T(4)，I(6)S(c)∧Y(c)T(2)(5)，I(7)$x(S(x)∧Y(x))T(6)，EG三、（10分）設A、B和C是三個集合，則A204。C∧D)219。A∧216。C∧D∧216。A∧216。C∧D∧216。A∧216。C∧D∧216。B∧216。C∧D∧216。C)∨(C∧216。 D∧216。D)∨(C∧216。A∧216。C)∨(216。D))219。B∧216。 D)∨(216。C∨216。 D)∨(216。216。因此(A174。D，216。P(B)={{3},{4},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, {2,3,4},{1,2,3,4},{5},{1,5},{2,5},{1,2,5} }第五篇：離散數學習題及答案離散數學考試試題（A卷及答案）一、（10分）某項工作需要派A、B、C和D 4個人中的2個人去完成，按下面3個條件，有幾種派法？如何派？(1)若A去，則C和D中要去1個人；(2)B和C不能都去；(3)若C去，則D留下。C={1,3,5,6}（３）(A197。B即a207。(AUC)=(AIC),a206。f。A,\a206。B。AIB證:a206。AIB=AIC,b206。A,b206。AIC,a207。AIB,a206。C。B,a206。A,a206。C對,若B185。（２）AIB=AIC否，例：A={1，2，3}，B={2，3}，C={2，3，4} AIB=AIC={2,3},而B185。(BUC)時等式成立o(10)(AB)197。A}A=B\A=B時等式成立o(7)(AB)U(AC)=A左=(AIB)U(AIC)=AI(BUC)=AI(BIC)=A(BIC)=A\AIBIC=f時等式成立o(8)(AB)U(AC)=f左=(AIB)U(AIC)=AI(BUC